『 解の公式は導くもの ３ 』
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ２ 』 の宿題 ）の解答
具体的な操作は何のためにしたのか。
次の（ ① ）から（ ⑥ ）に入る適切なものを、下の (ア) ～ (カ) から選びなさい。
また、４番目の等式の ( b /2a )² は どのようにして出てくるのか答えなさい。
（解答）
① （オ） ② （ウ） ③ （エ） ④ （ア） ⑤ （カ） ⑥ （イ）
３番目の等式の左辺は、x の２乗、x と何かの積の２倍 の２項式だから、
あとその何かの２乗があれば、２項式の２乗に因数分解 ( 完全平方式に ) できる。
その何かは、x の係数の半分である。つまり、b/a の半分 b/2a である。
よって、４番目の等式の ( b /2a )² は ３番目の等式の左辺の x の係数の半分の２乗である。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 または a は 0 でない ]
（x ＝ にするため、左辺の c を移項）
⇔ ax²＋bx ＝－c
（x ＝ にするため、両辺を a でわる）
⇔ x²＋( b /a ) x ＝－c /a
（x ＝ にしたいから、左辺の x の２次式を、
x の１次式の２乗(完全平方式)にするため、両辺に ( b /2a )² をたす）
⇔ x²＋( b /a ) x＋( b /2a )² ＝－c/a＋( b /2a )²
（x ＝ にしたいから、左辺の２乗、積の２倍、２乗の３項式を
２項式の２乗(完全平方式) にし、右辺は文字式計算）
⇔ ( x＋b /2a )² ＝ (b²－4ac) /4a²
（x ＝ にしたいから、左辺の２乗をはずし、
右辺は平方根をとる）
⇔ x＋b /2a ＝ ±√(b²－4ac) /2a
（x ＝ にするため、左辺の b /2a を移項）
⇔ x ＝－b /2a ±√(b²－4ac) /2a
⇔ x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a
解の公式の導出過程の一番のポイントは、もうわかりましたね。
○ 解の公式の意味は？
解の公式の意味なんて考えたことありますか。
私は、現役の中３生のとき、あまり考えたことはありませんでした。
多くの同級生と同じように。
しかし、塾講師として２次方程式、２次関数、２次不等式などを指導しているうちに、
中３数学で｛解の公式｝を
単に｛２次方程式の計算問題を解くだけのもの ( 覚えて代入して計算するだけのもの ) ｝
として扱っている生徒は、将来 高校数学を学習していくことが困難になると感じました。
そのため、｛解の公式｝の意味を少し考えてみたいと思います。
「 ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] のとき、
x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a である。」の意味は、
「 ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] のとき、
x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a である。」である。
これは、同語反復で、普通 情報量はゼロ です。
「 ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] のとき、
x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a である。」の意味は、
「 ２次方程式の解は、係数と定数(項) から成る。」である。
これは、たんに 当たり前のことを言っている だけに過ぎないのか。
当たり前過ぎて、取るに足りないことなのか。
しかし、上の同語反復より、情報量は多い。
(上は、同じ言語を繰り返しているのに対して、これは、認識した内容です。)
そして、この当たり前すぎて軽視してしまう内容が後々重要になります。
当たり前のことを組み合わせることから、
新しい使用獲得すべき知識が生まれる場合が多いのです。
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ３ 』 の宿題 ）
ax²＋2b'x＋c＝0 ( a≠0 ) のとき、
x ＝ { －b'±√(b'²－ac) } / a になります。
この x の係数が２の倍数のときの 解の公式 を導きなさい。（ただし、途中の等式は６つで）
解答は、補講 『 解の公式は導くもの ４ 』に掲載します。