『 平方根のある問題から学ぶこと ６ 』
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ５ の宿題 ) と その（解答）
次の（ ）に入る適切な語句を下から選んでください。
(１) ab＝0 は a＝0 かつ b＝0 である ための（ ）。
(２) a²＝b² は a＝b である ための（ ）。
(３) a は √a² である ための（ ）。
(４) b＝ac は b/a＝c である ための（ ）。
(５) a と b が実数のとき、 a＝b＝0 は a²＋b²＝0 である ための（ ）。
① 必要条件ではあるが、十分条件ではない
② 必要条件ではないが、十分条件である
③ 必要条件であり、十分条件でもある
④ 必要条件でもないし、十分条件でもない
（解答）(１) ① (２) ① (３) ② (４) ① (５) ③
(１) ab＝0 は a＝0 かつ b＝0 である ための（ ）。
ab＝0 は a＝0 または b＝0 に 同値 だから、
a＝0 または b＝0 は a＝0 かつ b＝0 に含まれない。
[ 反例 ： a≠0 あるいは b≠0 ]
よって、ab＝0 は a＝0 かつ b＝0 に含まれない。
a＝b＝0 を ab に代入すると ab＝0 ・0 ＝0 だから、
a＝0 かつ b＝0 は ab＝0 に含まれる。
(２) a²＝b² は a＝b である ための（ ）。
a²＝b²
⇔ a²－b² ＝ 0
⇔ (a＋b)(a－b)＝0
⇔ a＋b＝0 または a－b＝0
⇔ a＝－b , a＝b
よって、 a²＝b² は a＝b に含まれない。 [ 反例 ： a＝－b ]
a＝b は a²＝b² に含まれる。
(３) a は √a² である ための（ ）。
√a² ＝ | a |
a＜0 のとき | a |＝－a
0≦a のとき | a |＝ a だから、
a は √a² に含まれる。
√a² は a に含まれない。 [ 反例 ： a＜0 のとき √a² ＝ | a |＝－a ]
(４) b＝ac は b/a＝c である ための（ ）。
b＝ac の両辺を a で割りたいので、a について場合分け
ⅰ) a≠0 のとき b＝ac の両辺を a で割って b/a＝c
ⅱ) a＝0 のとき b＝ac の両辺を a で割れないので b＝ac に a＝0 を代入すると
b ＝ 0 ・c ＝ 0 となり、c は任意の値をとれる
つまり c は b/a 以外の値をとれる
b/a＝c の両辺を a 倍すると、b＝ac になる
以上より、 b＝ac は b/a＝c に含まれない 。[ 反例 ： a＝0 ]
b/a＝c は b＝ac に含まれる。
(５) a と b が実数のとき、 a＝b＝0 は a²＋b²＝0 である ための（ ）。
a＝b＝0 を a²＋b² に代入すると、 a²＋b²＝0²＋0²＝0
a＝b＝0 は a²＋b²＝0 に含まれる。
正の実数 を２乗すると 正 になる。
負の実数 を２乗しても 正 になる。
0 の２乗は 0 になる。
よって、実数の２乗 は 0 以上 である。 (実数)² ≧ 0 ( これは、とても重要ですよ！)
a と b が実数のとき、 a²≧0 , b²≧0 であり a²＋b²≧0 になるから
a²＋b²＝0 が成り立つのは、
a²＝0 かつ b²＝0
⇔ a＝0 かつ b＝0
すなわち a＝b＝0 のときである
a²＋b²＝0 は a＝b＝0 に含まれる。
☆ より厳密に十分条件・必要条件を捉える
「 A は B であるための ( )。」という文の( ) に、
｛ 必要条件 ・ 十分条件 ・ 必要十分条件 ・ 必要条件でも十分条件でもない ｝うちから
適切なものを１つ選んで入れるためには、
「 A は B であるための ( )。」の
主語部分A と 補語部分にある B の関係を捉えることが大切です。
主語部分A が 補語部分にある B に含まれるとき、十分条件。
補語部分にある B が 主語部分A に含まれるとき、必要条件。
主語部分A が 補語部分にある B に含まれ、
かつ補語部分にある B が 主語部分A に含まれるとき、必要十分条件。
そして
｛含まれる｝、｛含まれない｝を決めるとき、その根拠を示すこと。
｛含まれない｝の根拠になる 反例 を見つけることが重要になります。
( 反例とは、A と B のどちらか一方を満たすが、他方を満たさないものです。)
特に、反例を見つけようとすることが、判別できるきっかけを与えてくれる場合が多いのです。
十分条件・必要条件の問題を、根拠にもとづいて解答することは、
記述入試問題の対策へつながります。
大学 ・ 高校入試の記述問題を解くということは、
数学の場合、｛解答へのプロセス｝を記述する、つまり、根拠そのものを記述すること、
英語の場合、根拠(文法・構文など) にもとづいて解答を記述することです。
そのため、普段から根拠を示しながら解く姿勢が合格するために必要です。
大学入試センター試験は、選択肢から選択して解答する客観テストですから、
根拠なく、なんとなくでも、たぶんでも 選択肢を選んで解答できます。
しかし、根拠なしに答えを選ぶと、高得点は望めません。
なんとなくじゃ 正答率は４割 (平均７割位で) にも届きません。
そして国公立大学２次試験の記述テストは
根拠がなければ、解答できず 解答用紙は ほとんど白紙になってしまいます。
☆ 逆 裏 対偶
「 ｐ ならば ｑ である。」・・・(１) という文は、ｐ が ｑ に含まれるとき、正しい。
「 ｑ ならば ｐ である。」・・・(２)
「 ｐ でない ならば ｑ でない。」・・・(３)
「 ｑ でない ならば ｐ でない。」・・・(４) は、
｛q でないもの｝ が ｛p でないもの｝ に含まれるとき、正しい。
（１）を中心に関係づけると
（１）と（２）の関係は、逆
（１）と（３）の関係は、裏
（１）と（４）の関係は、対偶です。（だから、（２）と（３）の関係も対偶です。）
（例）
「 4 の倍数 ならば 2 の倍数 である。」・・・① という文は、正しいでしょうか。
4 の倍数 を 4m ( m は整数 ) とおくと、
4m ＝ 2 (2m)
2 (2m) は、 2×(整数) で 2 の倍数 だから、
4 の倍数 は 2 の倍数 に含まれる。
よって、「 4 の倍数 ならば 2 の倍数 である。」という文は、正しい。
① の 逆 「 2 の倍数 ならば 4 の倍数 である。」・・・② は、正しいでしょうか。
2 は 2 の倍数であるが、 4 の倍数ではない。 ( 反例 ： 2 )
2 の倍数 は 4 の倍数 に含まれない。
よって、②は誤り。
① の 裏 「 4 の倍数 でない ならば 2 の倍数 でない。」・・・③ は、正しいでしょうか。
2 は 4 の倍数でないが、 2 の倍数である。 ( 反例 ： 2 )
( 4 の倍数でない数 ) は ( 2 の倍数でない数 ) に含まれない。
よって、③は誤り。
① の 対偶 「 2 の倍数 でない ならば 4 の倍数 でない。」・・・④ は、正しいでしょうか。
( 2 の倍数でない数 ) は 奇数 である。
奇数 は 4 の倍数 でない。
( 2 の倍数でない数 ) は、( 4 の倍数でない数 ) に含まれる。
よって、④は正しい。
1) 対偶 の関係にあるものの正誤は 一致 する。
2) 逆 は、必ずしも真ならず。 ( 逆 の関係にあるものの正誤は 必ずしも 一致しない。)
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ６ の宿題 )
次の各文の 逆、裏、対偶 を述べて、それらの正誤を判断しなさい。
(１) 「 xy が 奇数 ならば x , y はともに 奇数 である。」
(２) 「 xy が 偶数 ならば x , y はともに 偶数 である。」
(３) 「 ( 2 の倍数で かつ 3 の倍数 ) ならば 12 の倍数 である。」
解答は、補講『 平方根のある問題から学ぶこと ７ 』に掲載します。