『 平方根のある問題から学ぶこと ５ 』
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ４ の宿題 ) とその（解答）
次の（ ）に入る適切な語句を下から選んでください。
(１) x²＝121 は x＝11 である ための（ ）。
(２) 二等辺三角形 は 三角形 である ための（ ）。
(３) 二等辺三角形 は ２辺の長さが等しい三角形 である ための（ ）。
(４) 三角形 は 四角形 である ための（ ）。
(５) ab＝0 は a＝0 または b＝0 である ための（ ）。
(６) 正三角形 は 二等辺三角形 である ための（ ）。
(７) x＝3 は x²－x－6＝0 である ための（ ）。
(８) xy＝1 は x＝y＝1 である ための（ ）。
(９) t＝2 は t²－4t＋4＝0 である ための（ ）。
① 必要条件ではあるが、十分条件ではない
② 必要条件ではないが、十分条件である
③ 必要条件であり、十分条件でもある
④ 必要条件でもないし、十分条件でもない
（解答） (１) ① (２) ② (３) ③ (４) ④ (５) ③ (６) ② (７) ② (８) ① (９) ③
(１) x²＝121 は x＝11 である ための（ ）。
未知数 x を２乗(平方)すると、121 になるから、
x を求めることは、121 の平方根を求めることです。
この２次方程式の解き方
x²＝121
左辺は２乗をはずし、右辺は平方根にする
⇔ x＝±11
別の解き方 ( 因数分解の利用 )
x²＝121
⇔ x²－121＝0
左辺の ２乗ひく２乗 は 和と差の積
⇔ ( x＋11)( x－11)＝0
(５) の「ab＝0 は a＝0 または b＝0 である」(必要十分条件)
⇔ x＋11＝0 または x－11＝0
⇔ x＝－11 または x＝11
⇔ x＝±11
補語が主語に含まれるだけ なので、必要条件。
(２) 二等辺三角形 は 三角形 である ための（ ）。
二等辺三角形 は 三角形の一種ですから、
主語が補語に含まれるだけ。よって、十分条件。
(３) 二等辺三角形 は ２辺の長さが等しい三角形 である ための（ ）。
「 二等辺三角形 は ２辺の長さが等しい三角形 である 」は定義です。
主語が補語に含まれ、かつ補語が主語に含まれるから、必要十分条件。
二等辺三角形 は ２辺の等しい三角形 に 同値 である
(４) 三角形 は 四角形 である ための（ ）。
三角形は多角形であり、四角形も多角形である。
しかし、
三角形であれば四角形ではないし、四角形であれば三角形ではない。
よって、主語は補語に含まれないし、補語は主語に含まれないから、
必要条件でもないし十分条件でもない。
(５) ab＝0 は a＝0 または b＝0 である ための（ ）。
先ず、ab＝0 から a＝0 または b＝0 を導く。
(ⅰ) a≠0 のとき、 ab＝0 の両辺を a で割ると b＝0
(ⅱ) b≠0 のとき、 ab＝0 の両辺を b で割ると a＝0
(ⅲ) a＝b＝0 のとき、 これらを ab＝0 に代入すると 0 ＝0 となり、適切である
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) より、 ab＝0 ならば a＝0 または b＝0 である。
次に、a＝0 または b＝0 から ab＝0 を導く
(ⅳ) a＝0 のとき、 任意の数 b を a＝0 の両辺にかけると ab＝0
(ⅴ) b＝0 のとき、 任意の数 a を b＝0 の両辺にかけると ab＝0
(ⅳ), (ⅴ) より、a＝0 または b＝0 ならば ab＝0 である。
以上より、
主語が補語に含まれ、かつ補語が主語に含まれるから、必要十分条件。
ab＝0 は a＝0 または b＝0 に 同値 である。
(６) 正三角形 は 二等辺三角形 である ための（ ）。
正三角形は３辺の長さが等しい三角形であり、
二等辺三角形 は ２辺の長さが等しい三角形 である。
正三角形は二等辺三角形の一種であるから、
主語が補語に含まれるだけ。よって、十分条件。
(７) x＝3 は x²－x－6＝0 である ための（ ）。
x²－x－6＝0
左辺を因数分解
⇔ ( x－3 )( x＋2 )＝0
(５) の「ab＝0 は a＝0 または b＝0 である」(必要十分条件)
を使って、計算すると
⇔ x＝3 ,－2
主語が補語に含まれるだけ。よって、十分条件。
(８) xy＝1 は x＝y＝1 である ための（ ）。
xy＝1 を満たす実数 x と y の組は無数にある。例として x＝2 かつ y＝1/2
よって、xy＝1 は x＝y＝1 に含まれない。
x＝y＝1 を xy＝1 に代入すると 1 ・ 1＝1 だから、x＝y＝1 は xy＝1 に含まれる。
補語が主語に含まれるだけ なので、必要条件。
(９) t＝2 は t²－4t＋4＝0 である ための（ ）。
t²－4t＋4＝0
⇔ ( t－2 )²＝0
⇔ t＝2
主語が補語に含まれ、かつ補語が主語に含まれるから、必要十分条件。
t＝2 は t²－4t＋4＝0 に 同値 である
☆ 必要条件 ・ 十分条件は、
(高校数学の教科書傍用問題集)では、次のように表現されています。
1. ｐ ⇒ ｑ が成り立つとき、 ｐ は ｑ であるための 十分条件
ｑ は ｐ であるための 必要条件
2. ｐ ⇒ ｑ , ｑ ⇒ ｐ がともに成り立つとき、すなわち ｐ ⇔ ｑ が成り立つとき、
ｐ は ｑ であるための 必要十分条件 である。このとき、ｐ と ｑ は 同値 である。
「 ｐ ⇒ ｑ 」 は 『 ｐ ならば ｑ 』と読み、
その意味は「 ｐ が ｑ に含まれる。 ｐ が成り立てば必ず ｑ も成り立つ。」
やはり、「主語」と「 補語 」と「含まれる」という言葉が使えないと、
十分条件 ・ 必要条件 ・ 必要十分条件 の判別は、難しいのです。
この補講では、今のところ
「 A は B であるための（ ）。」 という表現から、
「 A は B である 」の部分を取り出し、
・ 主語A が 補語B に含まれるとき、十分条件
・ 補語 が 主語 に含まれるとき、必要条件
・ 主語 が 補語 に含まれ、かつ 補語 が 主語 に含まれるとき、必要十分条件
と判別しています。
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ５ の宿題 )
次の（ ）に入る適切な語句を下から選んでください。
(１) ab＝0 は a＝0 かつ b＝0 である ための（ ）。
(２) a²＝b² は a＝b である ための（ ）。
(３) a は √a² である ための（ ）。
(４) b＝ac は b/a＝c である ための（ ）。
(５) a と b が実数のとき、 a＝b＝0 は a²＋b²＝0 である ための（ ）。
① 必要条件ではあるが、十分条件ではない
② 必要条件ではないが、十分条件である
③ 必要条件であり、十分条件でもある
④ 必要条件でもないし、十分条件でもない
解答は、補講『 平方根のある問題から学ぶこと ６ 』に掲載します。