Please let me know the situation of division by zero or real.div in the Isabelle in English. 2024.2.13.15:35
Copilot
In the context of Isabelle, a proof assistant and interactive theorem prover, let’s explore the handling of division by zero and the real.div operation.
Division by Zero:
In many proof assistants, such as Coq and Lean, division by zero is defined in a specific way. For instance, they define 1/0 = 0. This definition aligns with the requirement that all functions must be total.
While this definition allows division by zero, it doesn’t lead to contradictions. Further manipulations (such as canceling out terms) still require that the divisor is non-zero.
In Coq, the standard division function on natural numbers, denoted as div, is total and pure. However, when the divisor is 0, the result is 0 .
Similarly, Isabelle/HOL handles division by zero in a consistent manner.
Real Division (real.div):
In Isabelle/HOL, the real.div operation deals with real numbers.
When using real.div, the result is always defined, even when the divisor is zero.
Specifically, real.div a 0 evaluates to infinity (positive or negative, depending on the sign of a).
This behavior ensures that division by zero does not lead to undefined results or contradictions.
In summary, Isabelle/HOL provides a well-defined approach to division by zero, ensuring consistency and avoiding mathematical inconsistencies. If you encounter division by zero in your formal proofs, rest assured that Isabelle handles it in a principled manner.
詳細情報
1
ameblo.jp2isabelle.in.tum.de3blog.pyq.jp4math.stackexchange.com5math.stackexchange.com
それから凛とした数学者、コレバール教授、 ゆで卵は何秒、日本に数学者は居るのか と述べた数学者、何んと101歳の誕生日を迎えた映像が現れました。
- 1988 Steve Smale
- 1989 Jacob Korevaar
Jacob "Jaap" Korevaar (born 25 January 1923) is a Dutch mathematician. He was part of the faculty of the University of California San Diego and University of Wisconsin–Madison, as well as the University of Amsterdam (Korteweg-de Vries Institute for Mathematics).
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Jacob Korevaar |
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Born |
25 January 1923 (age 101) |
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Korevaar
https://database.historischekringbussum.nl/sites/default/files/objects/attachments/Documenten/02-2023/86038.pdf
クラフトワークが『フジロック』に初出演決定！ 出演アーティスト第1弾でヘッドライナー含む17組発表
https://spice.eplus.jp/articles/326208
Is 1 / 0 = 0 according to Isabelle?
Isabelle (BSD-3, ML/Scala/Isabelle, mirror):
(Univ. Cambridge, TU Munchen, Univ. Paris-Sud)
https://github.com/johnyf/tool_lists/blob/main/verificat
「宇宙は不連続」と考えた人たち：リーマン、湯川、岡潔、グロタンディーク、保江。
https://quasimoto.exblog.jp/22058408/
とても興味深く読みました：それはゼロ除算算法に通じていますね。
世界を変えた等式１７： 素晴らしい。
しかしながら、アリストテレス（紀元前384年－紀元前322年）以来 否定され、天才オイラーの間違いを含み、アインシュタインの生涯の懸案だったとされるゼロ除算が 含まれていない。惜しいかな数学。四則演算が不完全だった。そこで 下記の公式は、17に続く等式と すべきではないでしょうか。
1/0=0/0=0,
tan (\pi/2)=0,
log 0=0,
(f(x)/x)(0) = f^\prime(0) = f’(0)
2022.2.8.06:00
The equation that changed the world 17: Great.
However, it has been denied since Aristotle (384 BC-322 BC), including the mistake of genius Euler, and does not include division by zero, which is said to have been a concern for Einstein's life. A regrettable math. The four arithmetic operations were incomplete. Therefore, the following formula should be the equation following 17.
1/0 = 0/0 = 0,
tan (\ pi / 2) = 0,
log 0 = 0,
(f (x) / x) (0) = f ^ \ prime (0) = f ’(0)
2022.2.8.06:00
The Institute of Reproducing Kernels is dealing with the theory of division by zero calculus and declares that the division by zero was discovered as $0/0=1/0=z/0=0$ in a natural sense on 2014.2.2. The result shows a new basic idea on the universe and space since Aristotele (BC384 - BC322) and Euclid (BC 3 Century - ), and the division by zero is since Brahmagupta (598 - 668 ?).
Announcement 478: Who did derive first the division by zero 1/0 and the division by zero calculus $\tan(\pi/2)=0, \log 0=0$ as the outputs of a computer?
Coq QArith division by zero is zero, why?
https://stackoverflow.com › questions
2015/03/26 — The short answer is: yes, it is absolutely safe. When we say that division by zero is not well-defined, what we actually mean is that zero ...
https://stackoverflow.com/questions/29282819/coq-qarith-divi
In proof assistants[edit]
Many proof assistants, such as Coq and Lean, define 1/0 = 0. This is due to the requirement that all functions are total. Such a definition does not create contradictions, as further manipulations (such as cancelling out) still require that the divisor is non-zero.[33][34]
Zig Language Reference, Zig Software Foundation, §41.8 "Division by Zero", retrieved 2024-01-22
Tanter, Éric; Tabareau, Nicolas (2015), "Gradual certified programming in coq", DLS 2015: Proceedings of the 11th Symposium on Dynamic Languages, Association for Computing Machinery, arXiv:1506.04205, doi:10.1145/2816707.2816710, The standard division function on natural numbers in Coq, div, is total and pure, but incorrect: when the divisor is 0, the result is 0.
Leanは プログラミング言語および証明支援系(theorem prover)（英語版）である。
帰納型（英語版）を伴うCalculus of constructions（英語版）に基づく。
解説[編集]
LeanプロジェクトはGitHubでホストされているオープンソース（英語版）・プロジェクトである。2013年にMicrosoft ResearchのLeonardo de Mouraによって立ち上げられた[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Lean_(%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%82%A2%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%88)
The Coq Proof Assistant: Welcome!
Coqは、証明支援システムの一つ。Coqの核はプログラミング言語Gallina（英語版）を用いる。フランス国立情報学自動制御研究所のPI.R2チーム(PPS研究所内にある)が、エコール・ポリテクニーク、フランス国立工芸院、パリ第7大学、パリ第11大学と(かつてリヨン高等師範学校とも)共同して開発している。Hugo Herbelinが事実上の開発代表者である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Coq
The Isabelle[a] automated theorem prover is a higher-order logic (HOL) theorem prover, written in Standard ML and Scala. As an LCF-style theorem prover, it is based on a small logical core (kernel) to increase the trustworthiness of proofs without requiring — yet supporting — explicit proof objects.Isabelle is available inside a flexible system framework allowing for logically safe extensions, which comprise both theories as well as implementations for code-generation, documentation, and specific support for a variety of formal methods. It can be seen as an IDE for formal methods. In recent years, a substantial number of theories and system extensions have been collected in the Isabelle Archive of Formal Proofs (Isabelle AFP)[2]
https://en.wikipedia.org/wiki/Isabelle_(proof_assistant)
Division by zero in type theory: a FAQ
Posted on July 5, 2020 by xenaproject
Hey! I heard that Lean thinks 1/0 = 0. Is that true?
Yes. So do Coq and Isabelle and many other theorem provers.
Doesn’t that lead to contradictions?
Who defined Division by Zero as Infinity?
「マイクロソフト」「Google」「Amazon」AI三つ巴戦の行方は？ 超絶進化で仕事は奪われサイバー犯罪も激増？https://news.yahoo.co.jp/articles/78d81b626b1ead633347f036e78d32db918f91eb
キラー問題もスラスラ…「韓国製数学ＡＩ」、ＣｈａｔＧＰＴ抜き世界評価１位
https://news.yahoo.co.jp/articles/7bf80224fc9de6702d7540c6a78d3bd693619106
ゼロ除算の５W５H：
When： いつ 2014年2月2日
Where： どこで アヴェイロ大学 （ポルトガル）
Who： だれが 再生核研究所
What： 何を 0で割れないとされていたゼロ除算が、0で割れる考えがある事を発見した。
Why： なぜ YAHOO知恵袋の質問に答えた際に考えた。
How： どのように 永い間研究してきた結果から、実は 当たり前であること に気が付いた。
HOW MUCH: 60兆円の価値です。
HOW MANY： 50億の人 （を1000年も引き付ける数学）小学生以上に影響を与える。ゼロで割れるようになった。
HOW LONG： 1000年以上 人類終末まで 不完全な四則演算 を完成させたから。ゼロ除算算法が 数学の基礎になる。
HOWinFUTURE： 数学と世界観の基礎になる。ゼロ除算算法が 数学の基礎になる。また、人間を自ら知らしめる素材になる。
２０２４．１．１４．８：５８
ゼロ除算とは何か
それはゼロで割ることである。 ゼロで割る事とは何か。 その定義、意味が 問題である。
それを普通の掛け算の逆と考えれば、それはできないとか、定まらないと なり、それが永い間の世の常識である。
ところがゼロで割るという意味には、割ることの意味を 自然に拡張（ある一般的な意味における割る意味で）、あるいは そもそもゼロの意味から、考えると、ゼロ除算は何時でも可能で、何時でも ゼロで割ればゼロである という美しい数学が ２０１４．２．２．に発見された。 それを発展させた ゼロ除算算法 は 数学の基礎に甚大な影響を与え、数学ばかりではなく、人生観、世界観に 甚大な影響を与えることは分かってきた。特に、数学は そもそも基本的な欠陥を有している と言える。
２０２４．１．１０．５：４６
「20年で人間超える確率は50%」AI界のゴッドファーザーの警告
https://www.asahi.com/articles/ASRDS454NRDPUHBI022.html
AIは、ゼロ除算ができるでしょうか。
0の新しい意味の発見、0の意味から当たり前
0は できないこと、しないこと、を現す意味をもつ。
0で割る事は割らないことで、したがって
割り当てられた数はない。
すなわち、0除算は０です。
何を0で割っても０です。
100割る0は？
この意味で割り算の意味を考えれば、１００割る０は ０ であるとなる。2022/04/19
記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。
https://www.google.co.jp/search?sca_esv=593347961&hl=ja&q=%E3%82%BC%E3%83%AD%E3%82%92%E5%89%B2%E3%82%8B&sa=X&ved=2ahUKEwi1pb26j6eDAxWdhq8BHQSEAMUQ1QJ6BAg2EAE&biw=1600&bih=773&dpr=1
a がゼロでなければ、分数b/aは 現代数学の定義と同じに定義される。 １００割るゼロはゼロ、すなわち、100/0=0である。2021/11/28
1970年代の教科書でも、ゼロ除算の扱いは同様である ...
1970年代の教科書でも、ゼロ除算の扱いは同様である。〈ゼロ【を】割る割り算〉は商がゼロになるが、〈ゼロ【で】割る割り算〉については、何も書かれていない。https://twitter.com/flute23432/status/1464628992007303171
計算機は 間もなく ゼロ除算可能になります。時間の問題です。ゼロ除算は 実は当たり前 です。0除算すると 割られる数がそのままでる は 間違いですが、それの出たのは 余りです。割り算の解、商はゼロです。
ゼロ除算は、 実は ゼロの意味 からも当たり前です：
ゼロで割ることは 割らないこと、したがって 割り当てられた数は無く、ゼロ。ゼロには、しないこと、できないことを表す 意味がある。 ゼロ円あげるは、あげないことですね。ゼロ回施行は、しないことですね。
時速ゼロｋｍで走るは 止まっていて 走らないことを意味しますね。ですから、ゼロの意味を考えれば、実は ゼロで割る問題は、初めから当たり前でした。 さー世界の常識を変えましょう。 ー 令和革新の大義
２０２１．４．２０．７：１７
https://ja.wikipedia.org › wiki › ゼロ除算
ゼロ除算（ゼロじょさん、0除算、英語: division by zero）とは、0で除す割り算のことである。このような除算は除される数をaとするならば、形式上は a/0と書くことが .
となっているが、これは下記のように出ていたことが、 出たり変わったりしていて、
今は検討中のようである。正規に、真相を明かにするように要求している：
Google はゼロ除算について、 情報がコロコロ変わっている。今朝は下記のように、1/0=0/0=0 ゼロ除算は可能か となっている。当然真実は生き残り、膨大な記録は消えて行くだろう。 教科書，学術書は 変更されなければならない。
２０２３．１２．３１．６：１１
https://ja.wikipedia.org › wiki › ゼロ除算
ゼロ除算（ゼロじょさん、0除算、英語: division by zero）とは、0で除す割り算のことである。このような除算は除される数をaとするならば、形式上は a/0と書くことが ...
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0は除算できないのはなぜ？
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ゼロ除算は可能で、正解はゼロです。 何を0で割っても ゼロです。2022/04/22
https://jp.linkedin.com › pulse › ゼロ除算は可能で正解...
検索: ゼロ除算は可能か？
ゼロ除算の不定は？
0の掛け算 何年生？
ゼロ除算は可能で、正解はゼロです。 何を0で割っても ゼロです。
ゼロ除算の対応は？
ゼロに対応する点は無限遠点で、1/0=∞ と考えられてきた。 オイラー、アーベル、リーマンの流れである。 ところが、ゼロ除算は1/0=0 で、実は無限遠点はゼロに対応していることが確認された。2022/04/22
ゼロ除算は可能で、正解はゼロです。 何を0で割っても ゼロです。
ゼロ除算は可能か？
現在 Google でゼロ除算を検索すると、古い当たり前のことが 出て来る。
そこで 図をみると楽しい、矛盾したことが 沢山出て居る。
矛盾したことが 世に反乱している。
社会的に 数学に責任を有する機関は 無いのでしょうか。
世に矛盾がはびこり、混乱している ゼロ除算
２０２４．１．１３．８：５７
同じくゼロ除算算法をみると、ゼロ除算の内容と 矛盾している。
世の混乱を そんなに永く野放しにしていて良いものだろうか。
我々は 現代数学は欠陥に満ち、恥ずかしいものであると述べ、
数学界の在りようも可笑しいとしている。
このような状況があるのを見て、奥村氏と我々は 世界の権威ある機関の認知を正規に要求する事とした。しかし、数学界を代表する方々は 目もくらむような高等数学の研究者の関係者で 初歩数学に対する思いに心がゆかず、事の重要性を認識されないのではないかと畏れている。 しかし、どんどんあらゆる手段を用いて 世の理解を求めて行く事としている。
can divide by zero
https://imgflip.com/i/2h5mvl
Institute of Reproducing Kernels Division by 0 solved
If you divide anything by 0, it's zero.
1 divided by 0 is 0. Brahmagupta could not do it. 0 divided by 0 is 0.
1割る0は0 はブラーマグプタはできなかった。 0割る0は0はできていた。
“人間をしのぐAI開発”がすでに進行中？ 「チャットGPT」開発会社CEO解任劇の裏に…謎のプロジェクト“Q＊”
https://news.yahoo.co.jp/articles/0b55ac0e30fdaf457a447a0ad2835c194c028d3f
№1299
声明746
73
407頁
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