今回は立方8面体の各辺に電気抵抗を繋いだときの合成抵抗を求めてみようと思います。
☆立方8面体
・立方8面体の面は正方形6枚と正3角形8枚です。
・立方8面体の各頂点には4本の辺が集まり、
正3角形2枚と正方形2枚が交互に集まります。
・正12面体の辺の数は、
正方形6枚と正3角形8枚で、2つの面が1つの辺を共有しているので、
(4×6+3×8)÷2=24本です。
・正12面体の頂点の数は、
頂点が立方体・正8面体の辺の中点なので、12点です。
☆各頂点の位置関係
・ある頂点Oから
・1番近い点は、辺で繋がっている4点です。
これらをA,B,C,Dとします。
この4点を結んでできる長方形は、縦横比1:√2です。
AB,CDを1、BC,DAを√2とします。
AB,CDは辺で繋がっています。
・2番目に近い点は、正方形の対角線となる2点です。
この2点は対蹠点同士になっています。
B,Cと繋がっている方をE、D,Aと繋がっている方をE'とします。
・3番目に近い点は、
1番近い点の対蹠点である、A',B',C',D'の4点です。
A,B,C,Dと同様にA'B',C'D'が繋がっています。
・1番近い点と3番目に近い点では、
4個のうち反対の文字(2つ違い)同士が繋がっています。
・4番目に近い点はOの対蹠点O'です。
よって、頂点間の距離は4種類です。
・O…A,B,C,D
・A…O,B,E',C'
・B…O,A,E,D'
・C…O,D,E,A'
・D…O,C,E',B'
※各対蹠点については'の有無が変わるだけです。
☆抵抗と電位と電流
◯オームの法則により、抵抗にかかる電圧は抵抗と電流の積です。
今回は各辺の抵抗は同じ(1とする)なので、各辺にかかる電圧は電流に比例します。
◯2点間の合成抵抗を求めるときは、
片方の電位を1,他方を0とします。
また、各頂点の電位はその点の記号をそのまま使います。
◯ある2点間X→Yを流れる電流は、
電位差(電圧)、X-Yです。
◯キルヒホッフの法則
各頂点について、流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しくなります。
ある頂点X₀がa個の頂点X₁,…,Xₐと繋がっているとき、
X₀ついての式は、抵抗が同じなので、
aX₀=X₁+…+Xₐ
と書けます。
◯合成抵抗
回路に流れる電流は、一方の頂点から繋がっている点への電流の和です。
端子間の電圧が1なので、合成抵抗は「電流の逆数」になります。
☆対蹠点同士の合成抵抗
◯立方8面体の頂点間の位置関係は4種類です。
◯点の振り方から、合成抵抗を求めるのが最も簡単なのが対蹠点だと思います。
◯対蹠点同士の2点、O(1),O'(0)からの距離を括弧内に表記します。
・A(1,3)、B(1,3)、C(1,3)、D(1,3)
・E(2,2)、E'(2,2)
・A'(3,1)、B'(3,1)、C'(3,1)、D'(3,1)
となります。
◯距離が同じ点同士は電位が等しいので、
・A=B=C=D
・E=E'=1/2
・A'=B'=C'=D'
です。
◯距離が逆な点同士の電位を足すと1になるので、
・A+A'=1
です。
◯O(1)と繋がっている点はA,B,C,Dの4点です。
よって、電流の和は、
(O-A)+(O-B)+(O-C)+(O-D)=(1-A)+(1-A)+(1-A)+(1-A)
=4(1-A)…(0)
です。
◯A(1,3)についての式
4A=O+B+E'+C'=1+A+1/2+(1-A)
4A=5/2
A=5/8…(1)
◯式(1)を式(0)に代入すると電流の和は、
4(1-A)
=4×(1-5/8)=3/2
◯合成抵抗は2/3と求まりました。
また、各頂点の電位は、
・O(0,4)…1=8/8
・A,B,C,D(1,3)…5/8
・A',B',C',D'(3,1)…3/8
・O'(4,0)…0=0/8
です。
次回は辺の合成抵抗について求めていきます(11/24)。
