正多面体についてまとめてみました
☆正多面体(全5種)
・正4面体(正3角錐)
・正6面体(立方体)
・正8面体(正3反角柱)
・正12面体
・正20面体
☆正多面体の面・辺・頂点と双対関係
| 特徴・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 立方体 |
正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 面の形 と数 |
正3角形 4枚 |
正方形 6枚 |
正3角形 8枚 |
正5角形 12枚 |
正3角形 20枚 |
| 辺の数 | 6本 | 12本 | 12本 | 30本 | 30本 |
| 頂点ごとの 辺の数 |
3本 | 3本 | 4本 | 3本 | 5本 |
| 頂点の数 | 4個 | 8個 | 6個 | 20個 | 12個 |
・正多面体の面の形は順に、正3,4,3,5,3角形です。
・正多面体の各頂点には順に、3,3,4,3,5本の辺が集まります。
・正多面体の辺の数は、
正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、2つの面が1つの辺を共有しているので、
(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷2=(6,12,12,30,30)本です。
・正多面体の頂点の数は、
正3,4,3,5,3角形が4,6,8,12,20枚で、3,3,4,3,5つの面が1つの頂点を共有しているので、
(3,4,3,5,3)×(4,6,8,12,20)÷(3,3,4,3,5)=(4,8,6,20,12)個です。
・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の 辺の数はそれぞれ12、30本で同じです。
・正6面体と正8面体、正12面体と正20面体の頂点の数は、
それぞれ8と6本、20と12本で面の数と入れ替わります(双対)。
・正4面体の頂点の数と面の数はどちらも4つで同じです(自己双対)。
☆正多面体の座標
| 座標・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 係数 | 1/2√2 | 1/2 | 1/√2 | 1/2 | 1/2 |
| 座標1 | (1,1,1) | (±1,±1,±1) | - | (±φ,±φ,±φ) | - |
| 座標2 | (1,-1,-1) | - | (±1,0,0) | (0,±1,±φ²) | (0,±1,±φ) |
| 座標3 | (-1,1,-1) | - | (0,±1,0) | (±φ²,0,±1) | (±φ,0,±1) |
| 座標4 | (-1,-1,1) | - | (0,0,±1) | (±1,±φ²,0) | (±1,±φ,0) |
・正4面体(正3角錐)
…(1/2√2)×{(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)}
・正6面体(立方体)
…(1/2)×(±1,±1,±1)
・正8面体(正3反角柱)
…(1/√2)×{(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)}
・正12面体
…(1/2)×{(±φ,±φ,±φ),(±1,±φ²,0),(0,±1,±φ²),(±φ²,0,±1)}
・正20面体
…(1/2)×{(±1,±φ,0),(0,±1,±φ),(±φ,0,±1)}
・立方体は各頂点、x,y,zの3座標の絶対値が揃っています。
3つの座標軸の符号が正負2種類ずつの8点です。
各座標の絶対値を１とした時、隣合う2点の距離が2なので、
座標全体を2で割り、係数を1/2とします。
・正4面体の頂点は、立方体の8頂点のうち互いに隣り合わない4頂点です。
正4面体の辺は立方体の面の対角線(辺の√2倍)なので、
立方体(係数1/2)からさらに√2で割るので、係数は1/(2√2)~0.3536です。
各頂点の座標の符号は、1点は全て揃い、
他の3点は各1座標のみ、揃った1点の符号になります。
・正8面体の頂点は、各軸上に正負2点ずつの6点です。
各頂点の座標の絶対値は等しく、
各座標の絶対値を１とした時、隣合う2点の距離が√2なので、
座標全体を√2で割るので、係数は1/(√2)~0.7071です。
・正20面体の頂点間の距離は3種類あり、
辺(長さ1、5点)、5角形の対角線(長さφ、5点)、対蹠点(1点)です。
正20面体の各頂点は同一球面上にあるので、
円周角の定理より、辺と5角形の対角線は垂直です。
よって、正20面体の4頂点を結ぶと長方形になることがあります。
また、1²+φ²+(φ-1)²=φ⁻²+1+φ²
={F(2)+(-1)²⁺¹F(2)}φ+F(2-1)+(-1)²F(2+1)+1
=(1-1)φ+1+2+1=4=2²
1²+φ²+(φ+1)²=1+φ²+φ⁴=(2φ)²
より、座標の軸を1つずつずらすと、これら3種類の長さのみ出現します。
・正12面体
正12面体の頂点間の距離は5種類あり、
最も短いのは辺で長さを1とすると、次に短いのは面の対角線で長さはφです。
隣合う2面について考えると、正5角形全体、正5角形の台形部分と三角形の部分の高さの比は(φ+1=φ²):φ:1なので、
4番目に短いのは面の対角線φのφ倍である、φ²となります。
対蹠点の距離は、円周角の定理より、辺と4番目に短い距離でできる直角三角形の斜辺なので、
√{1²+(φ²)²}=√(3φ+3)=(√3)×φとなります。
また、2,3,5番目の距離も直角三角形なので、3番目の辺の長さは、
√({(√3)×φ}²-φ²)=(√2)×φとなります。
φ²+φ²+0²={(√2)×φ}²
φ²+φ²+φ²={(√3)×φ}²
1²+(φ²)²+0²={(√3)×φ}²
1²+(φ²)²+(φ²+1)²={(2√2)×φ}²
1²+(φ²)²+(φ²-1)²=(2φ)²
φ²+(φ+φ²)²+(φ+1)²=(2φ²)²
φ²+(φ+φ²)²+(φ-1)²={(2√2)×φ}²
φ²+(φ-φ²)²+(φ+1)²=(2φ)²
φ²+(φ-φ²)²+(φ-1)²=2²
より、1辺φの立方体と正20面体のようなもの(φ→φ²)を組合せたものになります。
☆正多面体の計量
| 計量・正〇面体 | 正4面体 | 正6面体 | 正8面体 | 正12面体 | 正20面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 体積 | (√2)/12 0.1179 |
1 | (√2)/3 0.4714 |
(7/2)φ+2 7.6631 |
(5/6)φ² 2.1817 |
| 表面積 | √3 1.7321 |
6 | 2√3 3.4641 |
(3√5)×√(3+4φ) 20.6457 |
5√3 8.6603 |
| 内接球の半径 | (√6)/12 0.2041 |
1/2 0.5 |
(√6)/6 0.4082 |
{(√5)/10}×√(7+11φ) 1.1135 |
{(√3)/6}×φ² 0.7558 |
| 外接球の半径 | (√6)/4 0.6124 |
(√3)/2 0.8660 |
(√2)/2 0.7071 |
{(√3)/2}×φ 1.4013 |
(1/2)×√(2+φ) 0.9511 |
☆正多面体の体積
・正4面体(正3角錐)…(2³-4×2³/6)/(2√2)³
=(√2)/12~0.1179
・正6面体(立方体)…2³/2³=1
・正8面体(正3反角柱)…(2³/6)/(√2)³
=(√2)/3~0.4714
・正12面体…{(2φ)³+6×(φ²-φ)×{(2φ)×(2φ-2)/3+(2φ)×2/2}}/2³
=(8φ³+6×1×{(4φ²-4φ)/3+4φ/2})/2³
=(8φ³+{2×(4φ²-4φ)+3×4φ})/2³
=(8φ³+8φ²-8φ+12φ)/2³
={8(2φ+1)+8(φ+1)+4φ}/2³
=(16φ+8+8φ+8+4φ)/2³
=(28φ+16)/2³
=(7/2)φ+2~7.6631
・正20面体…(20×2×φ×φ/6)/2³
=(5/6)φ²=(5/6)×(φ+1)~2.1817
☆正多面体の表面積
◯正多角形の面積は、
・正3角形…(1/2)×1²×sin60°
=(√3)/4~0.4330
・正方形…1²=1
・正5角形…{(√5)/4}×√(3+4φ)~1.7205
なので、
・正4面体…4×(√3)/4
=√3~1.7321
・立方体…6×1=6
・正八面体…8×(√3)/4
=2√3~3.4641
・正12面体…12×{(√5)/4}×√(3+4φ)
=(3√5)×√(3+4φ)~20.6457
・正20面体…20×(√3)/4
=5√3~8.6603
☆正多面体の内接球の半径
内接球の半径は体積の3倍を表面積で割ったものです。
・正4面体…3×{(√2)/12}÷(√3)
=(√6)/12~0.2041
・立方体…3×1÷6=1/2=0.5
・正8面体…3×{(√2)/3}÷(2√3)
=(√6)/6~0.4082
・正12面体…3×{(7/2)φ+2}÷{(3√5)×√(3+4φ)}
={(√5)/10}×√(7+11φ)~1.1135
・正20面体…3×{(5/6)×(φ+1)}÷(5√3)
={(√3)/6}×(φ+1)~0.7558
☆正多面体の外接球の半径
・正4面体
内接球の半径と外接球の半径の和が高さになります。高さは(√6)/3であるから、外接球の半径は、
{(√6)/3} - {(√6)/12}
=(√6)/4~0.6124
・正4面体以外
外接球の直径は最も遠い点(対蹠点)同士の距離です。
対蹠点と他の1点で作られる三角形は円周角の定理より直角三角形です。
・立方体…(1/2)×√{1²+(√2)²}
=(√3)/2~0.8660
・正8面体…(1/2)×√(1²+1²)
=(√2)/2~0.7071
・正12面体…(1/2)×√{1²+(φ²)²}
={(√3)/2}×φ~1.4013
・正20面体…(1/2)×√(1²+φ²)
=(1/2)×√(2+φ)~0.9511
☆頂点の中心角
頂点の中心角は等辺が外接球の半径で底辺が2点間の距離である二等辺三角形の頂角です。
・正4面体…Cos⁻¹{(2×{(√6)/4}²-1²)/(2×{(√6)/4}²)}
=Cos⁻¹(-1/3)~109.4712
・立方体…Cos⁻¹{(2×{(√3)/2}²-1²)/(2×{(√3)/2}²)}
=Cos⁻¹(1/3)~70.5288
・正8面体…Cos⁻¹{(2×{(√2)/2}²-1²)/(2×{(√2)/2}²)}
=Cos⁻¹(0)=90°
・正12面体…Cos⁻¹{(2×({(√3)/2}φ)²-1²)/(2×({(√3)/2}φ)²)}
=Cos⁻¹{(2φ-1)/3}=Cos⁻¹{(√5)/3}~41.8103
・正20面体…Cos⁻¹{(2×{(1/2)×√(2+φ)}²-1²)/(2×{(1/2)×√(2+φ)}²)}
=Cos⁻¹{(2φ-1)/5}=Cos⁻¹{(√5)/5}~63.4349