■チャプター
0:00 オープニング
0:05 大問1：小問集合
8:34 大問2-1：2次関数
13:13 大問2-2：図形と計量
18:15 大問3：確率
25:04 大問4：整数の性質
34:30 大問5：式と証明、複素数と方程式
42:13 大問6：三角関数
49:17 大問7：ベクトル
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科目：数学
指導講師：久保田先生
■問題文全文
θの関数。 f(θ)=1/2sin2θ-√2kcos(θ-π/4)+k² がある。ただし、kは正の定数である。
(1)sin2θ,cos(θ-π/4)のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)f(θ)を(sinθ-p)(cosθ-q) (p,qは定数)の形で表せ。 (ii)k=√3/2のとき、方程式f(θ)=0を0≦θ＜2πにおいて解け。
(3)θの方程式f(θ)=0が0≦θ＜2πにおいて相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式f(θ)=0の0≦θ＜2πにおける最小の解をα、最大の解をβと する。α+β=5π/3となるようなkの値を求めよ。
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0:05 問題文
0:20 問題解説(1)：倍角と加法定理
1:10 問題解説(2-i)：形からkだよね
1:47 問題解説(2-ii)：単位円のイメージで
2:40 問題解説(3)：sinとcosが同じになるのは45°
3:34 問題解説(4)：(3)の2つに場合分け
6:51 15°と75°の三角比の値：覚えておくと便利!!
7:01 名言
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科目：数学
指導講師：久保田先生
■問題文全文
aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。
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0:05 問題文
0:20 問題解説(1)：x=-2を代入
0:48 問題解説(2)：(x+2)が因数
2:35 問題解説(3-i)：丁寧に計算するだけ
4:55 問題解説(3-ii)：3乗に注目
7:40 名言
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指導講師：久保田先生
■問題文全文
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10について、2^zを7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 7x=2^z+3・・・① を満たしている。0≦z≦10のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 (4x+3y)(x-y)=2^z・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。
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0:05 問題文
0:20 問題解説(1-i)：ごり押し
1:25 問題解説(1-ii)：(i)の意味は？
3:04 問題解説(2-i)：大小、偶奇に注目
4:51 問題解説(2-ii)：(1)の形が出現
5:52 問題解説(2-iii)：互いに素を使って整理しよう
9:10 名言
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