２０２５年の年号がらみの問題として、今回は立方数の和と平方数が絡んだ問題を取り上げます。
まず、洛南高等附属中学校２０１９年算数第１問（５）を解いてみましょう。
それを踏まえて、次の問題を解いてみましょう。
次の計算をしなさい。
１×１×１＋２×２×２＋３×３×３＋４×４×４＋５×５×５＋６×６×６＋７×７×７＋８×８×８＋９×９×９
（解法１）
上の洛南の問題の出題者の意図と解説のように、１からの連続する奇数の和（平方数になります）に持ち込んで解きます。
１×１×１（１×１）・・・１（平均が１となるような１個の奇数を１に「近い」ものから配置）
２×２×２（４×２）・・・３＋５（平均が４となるような２個の奇数を４に「近い」ものから配置）
３×３×３（９×３）・・・７＋９＋１１（平均が９となるような３個の奇数を９に「近い」ものから配置）
４×４×４（１６×４）・・・１３＋１５＋１７＋１９（平均が１６となるような４個の奇数を１６に「近い」ものから配置）
５×５×５（２５×５）・・・２１＋２３＋２５＋２７＋２９（平均が２５となるような５個の奇数を２５に「近い」ものから配置）
６×６×６
７×７×７
８×８×８
９×９×９（８１×９）・・・７３＋７５＋７７＋７９＋８１＋８３＋８５＋８７＋８９（平均が８１となるような９個の奇数を８１に「近い」ものから配置）
結局、１から８９までの連続する（８９＋１）/２＝４５個の奇数の和を求めればよいから、答えは４５×４５＝２０２５となります（「１から連続する奇数の和＝平方数（四角数）」については、下の図を参照）。
（解法２）
上のような知識が仮になくても、規則性があるはずと考え、小さい数から順番に調べていけば解くことができます。
１個目（までの和） １
２個目までの和 １＋８＝９
３個目までの和 １＋８＋２７＝３６
４個目までの和 １＋８＋２７＋６４＝１００
このあたりまでくれば、次のように、計算結果が平方数になっていることがわかるはずです。
１×１、３×３、６×６、１０×１０、・・・
しかも、１、３、６、１０、・・・を考えると、次のように、三角数になっていることもわかりますね。
１、１＋２、１＋２＋３、１＋２＋３＋４、・・・
結局、求める和は
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）
＝４５×４５ （１から９までの整数の和が４５となることは覚えているはずですね。）
＝２０２５
となります。
なお、上の解説からわかるように、
１×１×１＋２×２×２＋３×３×３＋・・・＋□×□×□
＝（１＋２＋３＋・・・＋□）×（１＋２＋３＋・・・＋□）
＝（□＋１）×□×１/２×（□＋１）×□×１/２ （等差数列の和の公式を利用しました。）
＝{（□＋１）×□×１/２}2
となります。
これは高校で習うシグマkの３乗の公式になります（シグマ公式と算数の問題については、規則性（群数列）の問題（神戸女学院中学部２０２０年算数第５問）と高校で習うシグマ公式を参照）。
