ノルムさんからバトン回ってきましたのでお答えします。
ルール
１、とりあえず４人の人にバトンを回す
２、バトンを回す人にメールでお知らせする
３、渡す人の名前をブログにＵＰする時、タイトルに表記する
４、11番目の質問は自分が考えた質問とし、バトンを回す時チェンジする
では、始めます
１、好きなこと
●物理
２、会いたい人
●秘密?
３、気になること
●将来の自分はどうなっているんだろう？
４、好きな歌手
●YUI
５、好きなキャラ
QOO
６、一番欲しいもの
●知力、体力、忍耐力
７、やりたいこと
●世界各国を放浪
８、行きたい所
●サクラダファミリア
９、好きなタイプ
●好奇心旺盛な人。自分の芯を持っている人。
10、もし時間が戻せるなら、いつ、どんな時？
●中学で陸上をやっていた時代。燃え上がれ青春!!
11、夢は？
●研究者になって、なおかつ家庭を持ちたいです。
回した方、よろしくお願いします
ある教科書を読んでいたら、Noetherの定理の証明の際に、計算ミスをしてそれをそのまま使っているのに、正しい答えを出しているというアンビリバボーなことになっていました。
自分の計算とどうも合わないから、自分を信じて突き進んだら、正しい結果を得られ たので、教科書のミスの発見に至ったわけです。
このことから、教科書の書いてあることを鵜呑みにするなという教訓が得られます。
解析力学の授業で、「時間の無限小変換まで考慮したNoetherの定理を理解できるのはクラスの中にほとんどいないと思いますが、それでいいです」と先生が言っていましたので、これは学生への挑戦状だと思い、図書館で色々な文献を調べて、勉強していました。
まぁ、途中、図書館のソファーで一時間ほど寝ていたんですが・・・
まず、昨日の解析力学の授業でやったことはただ二つ、「Noetherの定理の導出」、「対称性による保存則の導出」です。次回のイントロ的な感じで仮想仕事の原理についても少々話していましたが、これは来週の話題ってことで。
授業の板書を見ても、ひたすら変数変換と微分ばかりやっているので、一層のこと、板書は無視して、一から計算してNoetherの定理を導出してやろうということで、さくさく計算していました。
さて、「Noetherの定理」が何を言いたいか簡単に言うと、「作用Iに対称性があると、それに対応して保存則がある」というものです。
授業では、最初に空間の無限小変換を考えてから、時間の場合も考えていましたが、最初から空間と時間を一辺に考えた方が包括的になるので、時間と空間の無限小変換を同時に考えます。すなわち
t→t'+δt
q(t)→q'(t')=q(t)+δq
という無限小変換を考えます。このとき、注意すべきことは、δqは変分ではなく、言ってみれば、ものさしの目盛を変えることです。この変換に対して、
(2)のように定義します。これは、q'(t)-q(t)という、同じ時間を用いた時の座標間の差を計算したものです。
ここで、数学的に面倒臭い計算をエンヤコラサッとやってやると、(1)のように定義される保存量がでてきます。この計算の時に重要なのは、時間変数が違うために、積分経路が異なってきますが、作用の差をとるために同じ時間変数にして、積分経路を同じにするということだと思います。作用の差を取って、積分区間を時間変数tを用いた場合にそろえると以下のような式になります。
さて、∑の中を見ていただけば分かると思いますが、これはLagrange方程式となっていますので、運動が実現されるとき、∑の中は0となります。したがって、第二項が残りますが、これを計算したら、作用の差は
という形になります。
ここら辺でまとめます。
(1)で与えられる量のことをNoether chargeと呼びます。そして、Noether chageはLagrangianと無限小の変換が与えられれば、決めることができ、上の式より作用が、その変換に対して形を変えなければNは保存します。つまり、作用の対称性、ひいてはLagrangianの対称性が、物理量Nの保存とつながっているということが言えるのです。
自分なりの理解をまとめてみましたが、同じ授業を受けた人が、この記事読んだら分かるくらいの分かりやすさになっているかな・・・
自分の理解したことを説明するのは難しいです・・・・
授業中、先生はこの定理の美しさをやや興奮気味に語っていましたが、じっくり考えてみると対称性と保存則の関係にスポットを当てているので、やっぱり美しいと思います。Noetherの定理は場の理論などでもバンバン使われていると聞きましたし、一般相対論の教科書にも載っていましたので、やっぱり重要なんでしょう。
最近、昼のドラマで「恋に落ちたら」が再放送されています。
録画してためているんですが、全然見る時間がありません。
休日が一番忙しく、天体物理のレポートとネットゼミの予習であたふたしています。
こりゃあ、夏休みまで持ち越しだなぁ。
ていうか、学年が上に行くにしたがって、忙しさの度合いが増していき、物理漬けの生活になっていくんだろうなぁ。まだ、専門課程が始まってすらいないので、その忙しさが分からず、ガタガタブルブルです（笑）
ブログネタ：先輩、後輩、どっちから好かれる？
参加中
電気力学の授業にて、ダランベール方程式を解き、先進ポテンシャルと遅延ポテンシャルを導くことを学習しました。スーパーポテンシャルについての話もしていましたが、いまいちよく分からなかったので、割愛します。
まず、(1)の式ですが、これはローレンツゲージと呼ばれています。マクスウェル方程式はゲージ変換に対して形を変えないので、それだけ自由度がありますが、このゲージを使います。尚、このローレンツさんはローレンツ変換のローレンツさんではありませんので、ご注意を。
(2),(3)の式はベクトルポテンシャルを用いて表した、電場と磁場の式です。この式は自動的に磁場に対する発散定理とファラデーの法則を満たしていますので、残りのマクスウェル方程式、つまり、電場に対する発散定理とアンペール・マクスウェル則を書き表します。
それを書き表したのが、(4)と(5)です。これで、マクスウェル方程式が２つの式によって表わされました。対称的できれいですね。ちなみに特殊相対性理論では４元ポテンシャルを導入することで、マクスウェル方程式がたった一つの式になります。
さて(4)、(5)の形の式のことをダランベール方程式と言い、□のことをダランベルシアンと言います。ラプラシアンが△でしたので、角が一つ増えましたね（笑）
この方程式を解くためにグリーン関数Gを(6)式で導入します。グリーン関数を求めることにより、１個の点電荷が作る場を知ることができますが、線形性より電場や磁場は重ね合わせをすることができますので、求めた場を最後に積分してやれば、各ポテンシャルを求めることができます。
フーリエ変換や逆変換を使うことにより、(6)式はヘルムホルツ方程式と呼ばれる(7)式に帰着し、この方程式の解として、(7)式がでてきます。これをフーリエ変換してやれば、(８)式が出てきます。つまり、グリーン関数が求めることができました。
電荷分布と電流密度が与えられていれば、それらにグリーン関数をかけて時間と、空間で積分を実行してやれば、各ポテンシャルが求められます。
今、考えているのは時間変動を含む場の話ですが、出てきたポテンシャルは、時間を含まない場とほとんど同じ形をしています。ただ、近接作用的な考えを使っていますので、δ関数の中のようになるのが時間を含む場と含まない場の違いになります。
ちなみにδ関数の中の符号が+の場合のポテンシャルを先進ポテンシャル、-の場合のポテンシャルを遅延ポテンシャルと言いますが、一般には遅延ポテンシャルがよく使われています。
さて、これまでの議論で注意しなければならない事がありまして、それは、求めたポテンシャルがローレンツゲージを満たしているかどうかということです。ポテンシャルを求めるに当たり使ったのは(2),(3)式で、(1)のローレンツ条件を満たすかどうかについては何も言及していませんでした。
実は、このことを確かめるためにスーパーポテンシャルというのを導入して計算を進めると、結果的にローレンツ条件を満たすことが示せます。
