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Macbook Pro ２０１１，２０１２，２０１３ で発生する画像が乱れる、起動しなくなると言う問題を引き起こす AMD 製のGPU の不具合（Apple の設計不具合）問題の対処方法です。
熱衝撃サイクルによる半田部のクラックが原因の接触不良の問題なので、画面の状態はケースによって違う様です。
幸運にも、CPU の内臓 GPU がそこそこ強力なので、ほぼ問題なくこれを使って画面を表示することができます。ただし、外部のディスプレを使用すことはできない様です。
全体のまとめ的なものは、こちらにあります。
Macbook Pro GPU Fix - What I've Learned
https://www.youtube.com/watch?v=yB9pp6JIKe8
https://shrib.com/#8hFKqOvvSNEYB2sK6-_9
どうりで、ヤフオクで HDD なしでチェックできていないとする多分、偽装の転売が多かったり、画面の異常を治しますと言う修理（16,000円+）の出品があったりするわけですね。
一瞬、自分も、アドバイスだけの出品をしようかと思いましたｗ
１．リフロー
いきなり恐ろしい方法ですが、不具合は AMD の GPU の半田クラックが原因ですので、この GPU を温めて、一度半田を溶かせれば修復できます。
但し、根本原因の対策をしないと、いつかまた同じ不具合が再発します。根本対策としては、このGPUを使わない設定をすることやファンでガンガン冷やす設定にするなどです。
下記の参考サイトでは、かなり大胆な方法ですが、オーブンで１７０℃で7分焼いていますが、動画の例では250℃で7分焼き直しをしていますね。温度や時間の設定はいろいろとあるので、いろいろと実例をチェックする必要があります。この他の方法としては、ドライヤーやヒートガンを使って、 GPU 部を熱する方法です。 Youtube でも、5分ほどドライヤーで熱して修理する動画がありました。
半導体のジャンクション温度を超えなければ、壊れないのでしょうが、コンデンサなど高い温度に弱い部品もあるのではないかと思うと、何だか勇気がいりますね。
MacBook Pro Early2011 GPU不具合発生 ロジックボード オーブンでリフロー
http://letsu.exblog.jp/23118317/
Macbook Pro 15 late 2011 GPU Reballing or Reflowing Fix
https://www.youtube.com/watch?v=nwi0m9p5YSs&t=191s
壊れたMacBookをオーブンで修理
https://www.youtube.com/watch?v=89pLQ2o1Vl8
MacBook Pro GPU fix
https://www.youtube.com/watch?v=pcIJFPQ0eNI
MacBook Pro 15" Late 2011 Fast Reballing GPU
https://www.youtube.com/watch?v=MfBqIRjeQUs
Reflow GPU MacBook Pro Early 2011
https://www.youtube.com/watch?v=c5uzCnFbfIw
２．GPU の電源カット
この方法では、 GPU に電力を供給するプルアップ抵抗（R8911 10Ω）を取り除く方法です。 これで恒久的に AMD 製 GPU が使えなくなるので、完全な対策になります。
起動しない Macbook を起動用 USB メモリ（Linux の Unbuntu）から起動し、ターミナルからの作業（スクリプトが供給されているので、ターミナルでの作業は非常に簡単です。）で AMD 製の GPU （Radeon） を使用しない様に Farmware を書き換え、その後、一度、セーフモードで起動してから、ロジックボード上の抵抗（GPU の電源ライン抵抗）を取り除いています。
起動用 USB は、Linux で書かれたもので、US$10 で、USB に焼く内容を購入できます。但し、この抵抗が極小なので、ハンダこてに20倍などの様に倍率の大きなスタンド付ループが必要です。
MBP 2011 GPU REPAIR
https://realmacmods.com/macbook-2011-radeon-gpu-disable/
起動させる方法（USB の作り方）は、次に紹介する方法でも良いので、ターミナル作業を自力でやるのであれば、10ドル払う必要はありません。
この起動用 USB には、手入力するコマンドをスクリプト化してありますので、それを実行するだけです。
でも、これって、HDD を外して、他の Mac でルートにスクリプトを書きこんだファイルを入れれば、シングルユーザモードでも、簡単設定できると言うことですね。
2011 Macbook Pro Graphics Card FIX 100% WORKING!!!
https://www.youtube.com/watch?v=vrBLJIepJXU
こちらも、詳しい説明があります。
Fixing a 2011 MacBook Pro booting to a Grey Screen
- AMD Radeon Video Glitch
https://www.jeffgeerling.com/blog/2017/fixing-2011-macbook-pro-booting-grey-screen-amd-radeon-video-glitch
R8911（15"）の写真があります。
３．ファームウエアを書き換え
この方法では、ターミナルからのコマンド入力だけなので、ハード的に壊す心配はぐっと下がります。但し、OS のアップデート（マイナーアップデートは問題ないらしい）などをすると基に戻ってしまうので、OS のアップデートは出来ません。
また、何種類かの例があるので、いくつか試す必要があります。
注意）System Integrity Protecton(SIP)
El Capitan以降のOS（Yosemite 以前は対象外）でこの機能がデフォルトで有効となっているため、Library配下の変更ができなくなっている。
リカバリーモード（ [command] + [R] + [S] ）で以下のコマンド実行が必要。
csrutil disable
How to Repair a Mac Disk with fsck from Single User Mode
http://osxdaily.com/2013/08/07/how-to-repair-a-mac-disk-with-fsck-from-single-user-mode/
MacBook Pro 2011のGPU問題を自力で解決する方法 - ソフトアンテナ
http://www.softantenna.com/wp/mac/macbook-pro-2011-gpu-fix/
GPU problem - Boot Hangs on Grey Screen
https://apple.stackexchange.com/questions/267581/gpu-problem-boot-hangs-on-grey-screen
Force 2011 MacBook Pro 8,2 with failed AMD GPU to ALWAYS use Intel integrated GPU (EFI variable fix)
https://forums.macrumors.com/threads/force-2011-macbook-pro-8-2-with-failed-amd-gpu-to-always-use-intel-integrated-gpu-efi-variable-fix.2037591/
＜例１＞ （注： OSX が ElCapitan 以降であれば、SIP 解除が必要）
① [command] + [S] + [Power] で SingleUserMode に
入る
② /sbin/fsck -fy と入力し [enter]
③ “File system was modified” と表示したら再度②を
入力し、[enter]
④ “The volume (name) appears to be OK” と
表示したら、⑤へ進む
⑤ 以下のコマンドを順次入力
*) /sbin/mount -uw /
*) mkdir /Disabled_System_Library_Extensions
*) cd /Disabled_System_Library_Extensions
*) mv /System/Library/Extensions/ATI* .
*) mv /System/Library/Extensions/AMD* .
*) touch /System/Library/Extensions
*) exit
ここまでの操作で、正常に動作する様であれば、ここまで終了。但し、CPU Fan Control などのアプリを入れて、温度管理を強化する。
動作が遅いなど、問題があれば、更に以下の操作を行う。 起動時に CPU 内臓の GPU の性能を100%引き出す。
＜例２＞
① SMC リセット、及び NVRAM リセット
・ Macbook をシャットダウン
・ [leftShift] + [Ctrl] + [Opt] + [Power] を押して、
同時に離す
・ [Cmd] + [Opt] + [p] + [r] を押して2度チャイムが
なるのを確認
② Single User Recoverly Mode で起動
・ [Cmd] + [r] + [s] を押して起動
③ SIP の解除
System Integrity Protecton(SIP)
El Capitan以降のOSで この機能がデフォルトで有効となっているため、
Library配下の変更ができなくなっている。
・ 以下のコマンドを入力
*) csrutil disable
・ disable dGPU on boot with setting the following variable:
*) nvram fa4ce28d-b62f-4c99-9cc3-6815686e30f9:gpu-power-prefs=%01%00%00%00
・ verbose mode にする場合は、以下のコマンドを入力
（verbose mode にすると、実行中や停止時のコマンドが
確認できる。）
・ enable verbose boot mode:
*) nvram boot-args="-v"
④ Single User-mode で起動
・ [Cmd] + [s] を押して、起動
・ 以下のコマンドを入力
（ここ以降は、やらなくても問題ないと思います。）
*) /sbin/mount -uw /
*) make a kext-backup directory
*) mkdir -p /System/Library/Extensions-off
*) mv /System/Library/Extensions/AMDRadeonX3000.kext /System/Library/Extensions-off/
*) touch /System/Library/Extensions/
⑤ 通常の reboot
⑥ 起動後、
・ ターミナルを開く
・ 以下のコマンドを実行する。
*) sudo kextcache -v 1 -m /System/Library/Caches/com.apple.kext.caches/Startup/Extensions.mkext /System/Library/Extensions/
・ OS のアップデートは禁止する。
＜例３＞ （注： OSX が ElCapitan 以降であれば、SIP 解除が必要）
① Single User-mode で起動
・ [Cmd] + [s] を押して、起動
・ 以下のコマンドを入力
*) fsck -fy
(to check a disk) 注意）必要に応じて2回実施
*) mount -uw /
(mount a root filesystem with read/write permissions)
*) sudo mkdir /AMD_Kexts/
(make a directory to store the AMD drivers in case you'll need them in future)
*) sudo mv /System/Library/Extensions/AMD*.* /AMD_Kexts/
(move the AMD drivers)
*) sudo rm -rf /System/Library/Caches/com.apple.kext.caches/
(remove the AMD drivers cache)
*) sudo mkdir /System/Library/Caches/com.apple.kext.caches/
(just in case OS X will be dumb and will not recreate this directory, I am creating it for OS X)
*) sudo touch /System/Library/Extensions/
(to update the timestamps so that new driver caches - without AMD drivers - will be definitely rebuilt)
*) sudo umount /
(umount a partition to guarantee that your changes are flushed to it)
*) sudo reboot
更に以下のコマンドの紹介もあります。
*）cd /
*）umount / sys / firmware / efi / efivars /
*）mount -t efivarfs rw / sys / firmware / efi / efivars /
*）cd / sys / firmware / efi / efivars /
*）printf "¥x07¥x00¥x00¥x00¥x01¥x00¥x00¥x00"> / sys / firmware / efi / efivars / gpu-power-prefs-fa4ce28d-b62f-4c99-9cc3-6815686e30f9
*）chattr + i "/ sys / firmware / efi / efivars / gpu-power-prefs-fa4ce28d-b62f-4c99-9cc3-6815686e30f9"
*）cd /
*）umount / sys / firmware / efi / efivars /
*）reboot
起動時、こんな画面から進まなかったのですが、、、、
見事に復活できました。
（MacboopPro2009 のバックアップHDDを使用）
その後、外部ディスクに HighSierra をインストールして、同様の作業をして OS のアップデートも完了。
OSインストール済みのHDDが必要な場合は、こちらの記事からバックアップを復元してください。
外部 GPU 破損の MacbookPro2011 用起動ドライブ（ElCapitan）
https://ameblo.jp/odoriko-link/entry-12341143379.html
参考）Macbook Pro 2011 の GPU
MacBook Pro (15-inch, Early 2011)
AMD Radeon HD 6490Mグラフィックプロセッサ、
256MB GDDR5メモリ（2.0GHzシステム）
or
AMD Radeon HD 6750Mグラフィックプロセッサ、
1GB GDDR5メモリ（2.2GHzシステム）
Intel HD Graphics 3000、
384MB DDR3 SDRAMをメインメモリと共有
MacBook Pro (15-inch, Late 2011)
AMD Radeon HD 6750Mグラフィックプロセッサ、
512MB GDDR5メモリ（2.2GHzシステム）
or
AMD Radeon HD 6770Mグラフィックプロセッサ、
1GB GDDR5メモリ（2.4Hzシステム）
Intel HD Graphics 3000、
384MB DDR3 SDRAMをメインメモリと共有