ぐるぐるマークのまま表示されないのも気持ち悪いものです´д` ;
原因はいくつかある様ですが、IEのキャッシュをクリアすればたいてい直ります。
（Skypeホームの表示のためにIEのキャッシュフォルダを利用している模様）
※自分の場合は、超定番のPC環境クリーナーCCleanerで各種キャッシュファイルを削除すると必ずこの症状が出てしまいます。
以下にざっくり手順をご紹介。
Skypeで、ずっとこのままでぐるぐるマークが終わらない場合。
タスクトレイのアイコンから右クリック⇒終了。
インターネットオプションを開く。
（IEのメニューからでもOK。）
インターネットのプロパティ⇒全般タブ。
「削除」をクリック。
自分はいつもこの項目を消してますが、
「インターネット一時ファイルおよびWebサイトのファイル」だけのチェックでいいかと思います。
そして「削除」。
改めてSkypeを立ち上げると見事に復帰しています。
自分の場合は冒頭の通りCCleaner実行後に必ずこうなるので、IEのキャッシュクリアもセットで行っています。
ちと面倒くさいですね´д` ;