数と式 命題
今回は数と式の命題です。
例えば
命題『りんごならば果物である』
という命題があってこれは正しいですね。リンゴであって果物でないものはありません。よって命題は真です。
次に逆を考えます。
逆『果物ならばリンゴである』
逆は簡単ですね。命題を反対から言っただけです。果物であってもリンゴでないものはたくさんあります。例えばミカンなど。これが反例です。よって逆は偽です。
次に裏です。
裏『リンゴでないならば果物でない』
裏は命題を否定したものです。リンゴでなくても果物であるものはたくさんあります。よって偽となります。
最後に対偶です。対偶は『裏』の『逆』です。
対偶『果物でなければリンゴでもない』
これは真です。
このように命題、逆、裏、対偶それぞれ覚えてくださいね。
『命題と対偶の真偽は一致する』
つまり対偶が真ならば命題も真です。これはよく使われて、命題を直接考えると難しい場合は対偶を示していきます。また
『逆と裏の真偽は一致する』
これも言えます。それぞれ使いこなしてくださいね。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kihon_5
くださいね。
例えば
命題『りんごならば果物である』
という命題があってこれは正しいですね。リンゴであって果物でないものはありません。よって命題は真です。
次に逆を考えます。
逆『果物ならばリンゴである』
逆は簡単ですね。命題を反対から言っただけです。果物であってもリンゴでないものはたくさんあります。例えばミカンなど。これが反例です。よって逆は偽です。
次に裏です。
裏『リンゴでないならば果物でない』
裏は命題を否定したものです。リンゴでなくても果物であるものはたくさんあります。よって偽となります。
最後に対偶です。対偶は『裏』の『逆』です。
対偶『果物でなければリンゴでもない』
これは真です。
このように命題、逆、裏、対偶それぞれ覚えてくださいね。
『命題と対偶の真偽は一致する』
つまり対偶が真ならば命題も真です。これはよく使われて、命題を直接考えると難しい場合は対偶を示していきます。また
『逆と裏の真偽は一致する』
これも言えます。それぞれ使いこなしてくださいね。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kihon_5
くださいね。
重複組み合わせ 補足
前回重複組み合わせをやりましたがその補足です。
前回やった問題では
『一つも選ばないくだものがあってもよい』
という条件がありました。この条件を
『どのくだものも一つは選ぶ』
に変えたらどうでしょうか？答えは簡単です。選ぶ前に一つずつかっておけばよいのです。
『３種類のくだものから重複を許して５個買う。ただしどのくだものを一つは買う』
このとき最初に一つずつかっておくので、残り２個を買うことになります。つまり
○２個
仕切り２個 の並べ方
よって
4Ｃ2
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_3
で確認してください。
前回やった問題では
『一つも選ばないくだものがあってもよい』
という条件がありました。この条件を
『どのくだものも一つは選ぶ』
に変えたらどうでしょうか？答えは簡単です。選ぶ前に一つずつかっておけばよいのです。
『３種類のくだものから重複を許して５個買う。ただしどのくだものを一つは買う』
このとき最初に一つずつかっておくので、残り２個を買うことになります。つまり
○２個
仕切り２個 の並べ方
よって
4Ｃ2
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_3
で確認してください。
重複組み合わせ
今回は重複組み合わせです。
重複組み合わせとは
『異なるｎ個から重複を許してｒ個とる取り方』
例えば３種類のくだものがあります。この３種類のくだものを適当に選んで５個買いたいとします。一つも買わない物があってもよいです。このときに
○○○○○
これを３種類にわけます。つまり仕切りを２本いれていきます。
○｜○○｜○○
もしこのように分けたら
くだものＡ １個
くだものＢ ２個
くだものＣ ２個
となります。つまり
『○５個、仕切り２本の並び方』
となります。（同じ物を含む順列です）
よって７ヵ所から仕切りの場所をえらべばよいので
7Ｃ2
となります。
一般形で考えると
『くだものｎ種類から重複を許してｒ個買う』
○ｒ個
仕切りｎ-1個
合計ｎ+ｒ-1個の並び方になります。よってｎ+ｒ-1ヵ所からｒ個選ぶので
ｎ+ｒ-1Ｃｒ
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_3
で確認してください。
重複組み合わせとは
『異なるｎ個から重複を許してｒ個とる取り方』
例えば３種類のくだものがあります。この３種類のくだものを適当に選んで５個買いたいとします。一つも買わない物があってもよいです。このときに
○○○○○
これを３種類にわけます。つまり仕切りを２本いれていきます。
○｜○○｜○○
もしこのように分けたら
くだものＡ １個
くだものＢ ２個
くだものＣ ２個
となります。つまり
『○５個、仕切り２本の並び方』
となります。（同じ物を含む順列です）
よって７ヵ所から仕切りの場所をえらべばよいので
7Ｃ2
となります。
一般形で考えると
『くだものｎ種類から重複を許してｒ個買う』
○ｒ個
仕切りｎ-1個
合計ｎ+ｒ-1個の並び方になります。よってｎ+ｒ-1ヵ所からｒ個選ぶので
ｎ+ｒ-1Ｃｒ
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_3
で確認してください。
反復試行
今回は反復試行です。
反復試行というのは独立試行の繰り返しです。独立というのはサイコロやコインなど前後に影響されないもの（確率がいつも一定）でした。
『サイコロを５回投げて１の目が二回でる確率』
まずサイコロ一回投げて
１の目がでる確率 6/1
その他の目がでる確率 5/6
５回のうち１の目がでる場所を選ぶと 5Ｃ2
よって確率は
5Ｃ2(1/6)^2 (5/6)^3
となります。
注意 (1/6)^2 は1/6の２乗という意味です。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kousiki_7
で確認してください。
反復試行というのは独立試行の繰り返しです。独立というのはサイコロやコインなど前後に影響されないもの（確率がいつも一定）でした。
『サイコロを５回投げて１の目が二回でる確率』
まずサイコロ一回投げて
１の目がでる確率 6/1
その他の目がでる確率 5/6
５回のうち１の目がでる場所を選ぶと 5Ｃ2
よって確率は
5Ｃ2(1/6)^2 (5/6)^3
となります。
注意 (1/6)^2 は1/6の２乗という意味です。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kousiki_7
で確認してください。
同じものを含む順列
今回は同じ物を含む順列です。
今まで紹介した順列はすべて異なる物を並べた場合でした。今回は同じ物（区別できない物）を並べます。
『白玉４個、赤玉３個を一列に並べる並び方』
まず赤玉の場所を決めます。７ヵ所から３ヵ所選びます。
7Ｃ3
ここで場所を選ぶだけなので注意してください。（区別できないので並べる必要はないです）
残りはすべて白玉なので１通りです。
よって答えは
7Ｃ3
となります。
別解として
7！/(3！4！)
このように区別できない物の個数の階 乗でわってもよいです。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kousiki_4
で確認してください。
今まで紹介した順列はすべて異なる物を並べた場合でした。今回は同じ物（区別できない物）を並べます。
『白玉４個、赤玉３個を一列に並べる並び方』
まず赤玉の場所を決めます。７ヵ所から３ヵ所選びます。
7Ｃ3
ここで場所を選ぶだけなので注意してください。（区別できないので並べる必要はないです）
残りはすべて白玉なので１通りです。
よって答えは
7Ｃ3
となります。
別解として
7！/(3！4！)
このように区別できない物の個数の階 乗でわってもよいです。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kousiki_4
で確認してください。
独立と排反
今回ははいはんです。
はいはんとはどういうものかと言うと、簡単に言えば、場合分けです。場合分けすると、「～のとき」
とやります。このそれぞれの「～のとき」がすべてはいはんの事象です。絶対に同時に起こることはない事象です。
例えば以前紹介した
４桁の偶数を求める問題
では
「１の位が０のとき」
「１の位が２のとき」
「１の位が４のとき」
で場合分けをしました。このそれぞれははいはんの事象です。そして場合分けをしたら『たす』です。はいはんの場合はたすので注意してください。（かけないです）
式で言うと
Ａ∩Ｂ＝φ（空集合）
→Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）
となります。
独立→掛け算
はいはん→足し算
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_mokuji
で確認してください。
はいはんとはどういうものかと言うと、簡単に言えば、場合分けです。場合分けすると、「～のとき」
とやります。このそれぞれの「～のとき」がすべてはいはんの事象です。絶対に同時に起こることはない事象です。
例えば以前紹介した
４桁の偶数を求める問題
では
「１の位が０のとき」
「１の位が２のとき」
「１の位が４のとき」
で場合分けをしました。このそれぞれははいはんの事象です。そして場合分けをしたら『たす』です。はいはんの場合はたすので注意してください。（かけないです）
式で言うと
Ａ∩Ｂ＝φ（空集合）
→Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）
となります。
独立→掛け算
はいはん→足し算
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_mokuji
で確認してください。
独立と排反
今回は用語の説明です。
よく『独立』『はいはん』という言葉をききます。区別できるようにしてくださいね。
まず『独立』です。独立とは簡単に言えば
『他の事象と無関係』
ということです。事象同士が影響しないことです。
例えば
『サイコロを二回投げたとき二回連続して１の目がでる確率は？』
このような問題のときに自然に
1/6×1/6＝1/36
となると思います。これは実は独立を使っていて、
『一回目に１の目がでてもでなくても、二回目に１の目がでる確率はかわらない』
ということです。
式で言うと
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)
が成り立ちます。
次回はいはんを紹介します。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_mokuji
で確認してください。
よく『独立』『はいはん』という言葉をききます。区別できるようにしてくださいね。
まず『独立』です。独立とは簡単に言えば
『他の事象と無関係』
ということです。事象同士が影響しないことです。
例えば
『サイコロを二回投げたとき二回連続して１の目がでる確率は？』
このような問題のときに自然に
1/6×1/6＝1/36
となると思います。これは実は独立を使っていて、
『一回目に１の目がでてもでなくても、二回目に１の目がでる確率はかわらない』
ということです。
式で言うと
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)
が成り立ちます。
次回はいはんを紹介します。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_mokuji
で確認してください。
じゃんけん ４人
今回は４人でじゃんけんをする問題です。
『４人でじゃんけんをして
（１）一人だけ勝つ
（２）二人だけ勝つ
（３）三人だけ勝つ
（４）あいこ
』
（１）まず４人の手の出し方は
３×３×３×３＝８１
勝つ人の選び方は
4Ｃ1
勝つ手の出し方は
３通り
よって
（4Ｃ1×３）/８１
（２）これも同様に
（4Ｃ2×３）/８１
（３）（4Ｃ3×３）/８１
（４）１－（１）－（２）－（３）
となります。余裕のある人はあいこの場合を直接求めてください（余事象を使わないということです。）
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_5
で確認してください。
『４人でじゃんけんをして
（１）一人だけ勝つ
（２）二人だけ勝つ
（３）三人だけ勝つ
（４）あいこ
』
（１）まず４人の手の出し方は
３×３×３×３＝８１
勝つ人の選び方は
4Ｃ1
勝つ手の出し方は
３通り
よって
（4Ｃ1×３）/８１
（２）これも同様に
（4Ｃ2×３）/８１
（３）（4Ｃ3×３）/８１
（４）１－（１）－（２）－（３）
となります。余裕のある人はあいこの場合を直接求めてください（余事象を使わないということです。）
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_5
で確認してください。
じゃんけん
今回はじゃんけんの問題です。
『三人でじゃんけんをして
（１）一人だけ勝つ
（２）二人が勝つ
（３）あいこ
』
（１）まず三人の手の出し方は、一人につき３通りあるので合計３×３×３＝２７通り
だれが勝つかで 3Ｃ1＝３通り
何で勝つかで３通り
よって
（３×３）/２７＝１/３
となります。
（２）誰が勝つかで 3Ｃ2＝３通り
何で勝つ かで３通り
よって
（３×３）/２７＝１/３
となります。
（３）あいこになる場合は（１）と（２）以外なのて
１ー１/３－１/３＝１/３
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_5
で確認してください。
『三人でじゃんけんをして
（１）一人だけ勝つ
（２）二人が勝つ
（３）あいこ
』
（１）まず三人の手の出し方は、一人につき３通りあるので合計３×３×３＝２７通り
だれが勝つかで 3Ｃ1＝３通り
何で勝つかで３通り
よって
（３×３）/２７＝１/３
となります。
（２）誰が勝つかで 3Ｃ2＝３通り
何で勝つ かで３通り
よって
（３×３）/２７＝１/３
となります。
（３）あいこになる場合は（１）と（２）以外なのて
１ー１/３－１/３＝１/３
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_5
で確認してください。
組み合わせ 組み分け
今回は組み合わせの問題です。
『６人を
（１）二人、二人、二人
（２）一人、二人、三人
（一人、一人、４人）
に分ける』
（１）6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2÷3！
３組とも二人ずつなので区別できない組が３組あります。だから３！で割ることになります。
（２）6Ｃ1×5Ｃ2×3Ｃ3
今度は人数がすべて異なるので区別できない組はありません。だから割る必要もありません。
（３）6Ｃ1×5Ｃ1×4Ｃ4÷2！
今度は一人の組が二つあります。よって区別できない組が二つあるので2！で割ります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_3
で確認してください。
『６人を
（１）二人、二人、二人
（２）一人、二人、三人
（一人、一人、４人）
に分ける』
（１）6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2÷3！
３組とも二人ずつなので区別できない組が３組あります。だから３！で割ることになります。
（２）6Ｃ1×5Ｃ2×3Ｃ3
今度は人数がすべて異なるので区別できない組はありません。だから割る必要もありません。
（３）6Ｃ1×5Ｃ1×4Ｃ4÷2！
今度は一人の組が二つあります。よって区別できない組が二つあるので2！で割ります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_3
で確認してください。