背理法
今回は背理法です。
背理法とは示したいものを否定すると矛盾がでてくるので否定した名題が間違い、つまり元の名題が正しい という証明方法です。
π（円周率）が無理数ということを用いて、π＋1が無理数ということを示せ。
π＋1が無理数ということを否定します。つまりπ＋1が有理数とします。
π＋1＝ａ（ａは有理数）
移項して
π＝ａ－1
ａは有理数なのでａ－1も有理数です。けれどπは無理数なので左辺と右辺で無理数＝有理数となってしまうので矛盾となります。
よって最初に否定した『π＋1は有理数』が間違いだということになります。
よって
『π＋1は無理数』
ということが証明されました。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/
で確認してくださいね。
背理法とは示したいものを否定すると矛盾がでてくるので否定した名題が間違い、つまり元の名題が正しい という証明方法です。
π（円周率）が無理数ということを用いて、π＋1が無理数ということを示せ。
π＋1が無理数ということを否定します。つまりπ＋1が有理数とします。
π＋1＝ａ（ａは有理数）
移項して
π＝ａ－1
ａは有理数なのでａ－1も有理数です。けれどπは無理数なので左辺と右辺で無理数＝有理数となってしまうので矛盾となります。
よって最初に否定した『π＋1は有理数』が間違いだということになります。
よって
『π＋1は無理数』
ということが証明されました。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/
で確認してくださいね。
対称式
今回は対称式です。
対称式とは
α＋β
αβ
で表すことをします。
①α＾2＋β＾2＝（α＋β）＾2－2αβ
②α＾3＋β＾3＝（α＋β）＾3－3αβ（α＋β）
このふたつはよく使うので覚えておくと便利です。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_8
で確認してください。
対称式とは
α＋β
αβ
で表すことをします。
①α＾2＋β＾2＝（α＋β）＾2－2αβ
②α＾3＋β＾3＝（α＋β）＾3－3αβ（α＋β）
このふたつはよく使うので覚えておくと便利です。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_8
で確認してください。
数と式 不等式の証明
今回は不等式の証明です。
不等式の証明には基本的には３パターンあります。
パターン１
Ａ≧Ｂ を示す。
→Ａ-Ｂ≧０を示す
このとき ( )^2≧0を利用します。２乗すればかならす０以上になるからです。
パターン２
絶対値、ルートがある場合
→両辺２乗してから計算する。
絶対値やルートがある場合には２乗すればとれるのでまず２乗します。あとはパターン１と同じ方法です。
注意として２乗するときに「両辺正なので」ということを書いてください。負だと不等号の向きが変わってしまう 場合があります。
パターン３
相加相乗平均利用
ａ＞0、ｂ＞0 のとき
ａ＋ｂ≧2√ab
等号は ａ=ｂ のとき
これもよく使うので覚えてくださいね。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_7
で確認してくださいね。
不等式の証明には基本的には３パターンあります。
パターン１
Ａ≧Ｂ を示す。
→Ａ-Ｂ≧０を示す
このとき ( )^2≧0を利用します。２乗すればかならす０以上になるからです。
パターン２
絶対値、ルートがある場合
→両辺２乗してから計算する。
絶対値やルートがある場合には２乗すればとれるのでまず２乗します。あとはパターン１と同じ方法です。
注意として２乗するときに「両辺正なので」ということを書いてください。負だと不等号の向きが変わってしまう 場合があります。
パターン３
相加相乗平均利用
ａ＞0、ｂ＞0 のとき
ａ＋ｂ≧2√ab
等号は ａ=ｂ のとき
これもよく使うので覚えてくださいね。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_7
で確認してくださいね。
数と式 絶対値
今回は絶対値です。
まず絶対値とはなんでしょう？絶対値とは
『原点からの距離』
です。距離なのでかならずプラスですね。距離で負になることはありません。ようするに
｜５｜＝５
｜-５｜＝５
となります。つまりマイナスをとってしまえばよいのです。では
｜ｘ｜
はどうでしょう？
｜ｘ｜＝ｘ
は間違いです。注意してください。
｜ｘ｜
ｘ≧０のとき ｘ
ｘ＜０のとき -ｘ
となります。つまりｘが負のときはマイナスをかけてあげれば
マイナス×マイナス＝プラス
となります。絶対値の中身が文字の場合はこの様に場合分けが必要になるので注意してくださいね。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_3
で確認してください。
まず絶対値とはなんでしょう？絶対値とは
『原点からの距離』
です。距離なのでかならずプラスですね。距離で負になることはありません。ようするに
｜５｜＝５
｜-５｜＝５
となります。つまりマイナスをとってしまえばよいのです。では
｜ｘ｜
はどうでしょう？
｜ｘ｜＝ｘ
は間違いです。注意してください。
｜ｘ｜
ｘ≧０のとき ｘ
ｘ＜０のとき -ｘ
となります。つまりｘが負のときはマイナスをかけてあげれば
マイナス×マイナス＝プラス
となります。絶対値の中身が文字の場合はこの様に場合分けが必要になるので注意してくださいね。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_3
で確認してください。
因数分解
今回は因数分解です。
因数分解をまとめると
（１）中学のとき習ったもの
①ｘ^2－ｙ^2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)
②ｘ^2＋2ｘｙ＋ｙ^2＝(ｘ＋ｙ)^2
③ｘ^2＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)
(２)高校で習ったもの
④ｘ^3＋ｙ^3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2)
⑤ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－3ｘｙｚ＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ)
⑥たすきがけ
(３）３次以上の因数分解
⑦因数定理、組み立て除法利 用
(４）その他
⑧次数の一番低い文字で整理
おおまかにまとめるとこのようになります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_1
で確認してください。
因数分解をまとめると
（１）中学のとき習ったもの
①ｘ^2－ｙ^2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)
②ｘ^2＋2ｘｙ＋ｙ^2＝(ｘ＋ｙ)^2
③ｘ^2＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)
(２)高校で習ったもの
④ｘ^3＋ｙ^3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2)
⑤ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－3ｘｙｚ＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ)
⑥たすきがけ
(３）３次以上の因数分解
⑦因数定理、組み立て除法利 用
(４）その他
⑧次数の一番低い文字で整理
おおまかにまとめるとこのようになります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_1
で確認してください。
必要十分条件
今回は必要十分条件です。
『ＰはＱであるための何条件』
このような問題がでてきたとき
「Ｐ→Ｑ」が成り立てば「十分条件」
「Ｐ←Ｑ」が成り立てば「必要条件」
「Ｐ⇔Ｑ」が成り立てば「必要十分条件」です。
ようするに問題文の最初にでてきたものからＰ、後からでてきたものがＱとなります。
『猫は哺乳類であるための何条件？』
この場合
Ｐ：猫
Ｑ：哺乳類
まず「猫→哺乳類」
これは正しいですね。よって十分条件が成り立ちます。
次に「猫←哺乳類」を考えます。哺乳類といっても猫ばかりではないですね。よって成り立ちません。
したがって答えは十分条件になります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_6
で確認してください。
『ＰはＱであるための何条件』
このような問題がでてきたとき
「Ｐ→Ｑ」が成り立てば「十分条件」
「Ｐ←Ｑ」が成り立てば「必要条件」
「Ｐ⇔Ｑ」が成り立てば「必要十分条件」です。
ようするに問題文の最初にでてきたものからＰ、後からでてきたものがＱとなります。
『猫は哺乳類であるための何条件？』
この場合
Ｐ：猫
Ｑ：哺乳類
まず「猫→哺乳類」
これは正しいですね。よって十分条件が成り立ちます。
次に「猫←哺乳類」を考えます。哺乳類といっても猫ばかりではないですね。よって成り立ちません。
したがって答えは十分条件になります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kazu_kousiki_6
で確認してください。