組み合わせ
今回は組み合わせです。
組み合わせの重要な問題で組分けの問題があります。
（１）『６人を二人ずつＡ、Ｂ、Ｃの組に分ける』
（２）『６人を二人ずつ３組に分ける』
この二つの問題の違いを考えます。
最初の問題は組にＡ、Ｂ、Ｃと区別されます。
（２）は組の区別はありませ。これに注意してください。
（１）の解答
6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2
（２）の解答
6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2÷3！
となります。（２）のように組の区別がないときには、区別できない物の個数の階乗で割らなければなりません。（１）では二人ずつ分かれたときにＡ、Ｂ、Ｃのどこにいるかの区別がつきます。しかし（２）では組の区別がつかないのでどこにいても同じです。それで割ることになってきます。
ようするに
『区別できない物の個数の階乗で割る』
と覚えてください。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_2
で確認してください。
組み合わせの重要な問題で組分けの問題があります。
（１）『６人を二人ずつＡ、Ｂ、Ｃの組に分ける』
（２）『６人を二人ずつ３組に分ける』
この二つの問題の違いを考えます。
最初の問題は組にＡ、Ｂ、Ｃと区別されます。
（２）は組の区別はありませ。これに注意してください。
（１）の解答
6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2
（２）の解答
6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2÷3！
となります。（２）のように組の区別がないときには、区別できない物の個数の階乗で割らなければなりません。（１）では二人ずつ分かれたときにＡ、Ｂ、Ｃのどこにいるかの区別がつきます。しかし（２）では組の区別がつかないのでどこにいても同じです。それで割ることになってきます。
ようするに
『区別できない物の個数の階乗で割る』
と覚えてください。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_2
で確認してください。
確率 順列 ６の倍数
今回は３ 桁の６の倍数です。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（７）３桁の６の倍数
６の倍数は
『３の倍数であり２の倍数でもある』
となります。つまりまず３の倍数をまず取り出してその中から偶数を取り出します。逆をやらないように注意してください。偶数はたくさんありますし、その中から３の倍数を取り出すのは大変です。
以前にやった３の倍数から
（０、１、２）（０、１、５）のように３の倍数を取り出しました。例えば（０、１、２）からは４種類の３の倍数が作れます。つまり
１２０
１０２
２１０
２０１
です。さらにこの中で偶数は３個あります。よって（０、１、２）からの６の倍数は３個でてきます。
同様に（０、１、５）からは
１５０
５１０
の２個でてきます。このようにすべての３の倍数の組み合わせで地道にだしてください。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（７）３桁の６の倍数
６の倍数は
『３の倍数であり２の倍数でもある』
となります。つまりまず３の倍数をまず取り出してその中から偶数を取り出します。逆をやらないように注意してください。偶数はたくさんありますし、その中から３の倍数を取り出すのは大変です。
以前にやった３の倍数から
（０、１、２）（０、１、５）のように３の倍数を取り出しました。例えば（０、１、２）からは４種類の３の倍数が作れます。つまり
１２０
１０２
２１０
２０１
です。さらにこの中で偶数は３個あります。よって（０、１、２）からの６の倍数は３個でてきます。
同様に（０、１、５）からは
１５０
５１０
の２個でてきます。このようにすべての３の倍数の組み合わせで地道にだしてください。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
確率 順列 ４の倍数
今回は４の倍数です。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（６）４桁の ４の倍数
４の倍数になるのは
『下２桁が４の倍数のとき、４の倍数になる』
ということになります。よって下２桁で４の倍数になるものを書き出します。
０４
１２
２０
２４
３２
４０
５２
となります。
すでに０を使っている０４ ２０ ４０については千と百の位の決め方は
4Ｐ2
となります。
その他は千の位に０を使えないので
千の位 ３通り
十の位 ３通り
よって答えは
4Ｐ2×３＋３×３×４
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（６）４桁の ４の倍数
４の倍数になるのは
『下２桁が４の倍数のとき、４の倍数になる』
ということになります。よって下２桁で４の倍数になるものを書き出します。
０４
１２
２０
２４
３２
４０
５２
となります。
すでに０を使っている０４ ２０ ４０については千と百の位の決め方は
4Ｐ2
となります。
その他は千の位に０を使えないので
千の位 ３通り
十の位 ３通り
よって答えは
4Ｐ2×３＋３×３×４
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
確率 順列 ９の倍数
今回は３桁の９の倍数です。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（５）３桁の９の倍数
３桁の３の倍数のときに各桁をたして３の倍数になれば３の倍数でした。今回も同様で
『各桁の和が９の倍数ならば、９の倍数』
となります。和が９の倍数になる組み合わせを書き出します。
（０、４、５）（１、３、５）（２、３、４）
となります。０を含む組み合わせは４通り、含まないものは ６通りなので、合計は
４＋６×２＝１６通りとなります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（５）３桁の９の倍数
３桁の３の倍数のときに各桁をたして３の倍数になれば３の倍数でした。今回も同様で
『各桁の和が９の倍数ならば、９の倍数』
となります。和が９の倍数になる組み合わせを書き出します。
（０、４、５）（１、３、５）（２、３、４）
となります。０を含む組み合わせは４通り、含まないものは ６通りなので、合計は
４＋６×２＝１６通りとなります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
確率 順列 ３の倍数
今回は３の倍数です。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（４）３桁の３の倍数の数
３の倍数になるためには
『各桁の和が３の倍数になる』
をみたすことです。具体的に和が３の倍数になるものをだしていきます。
（０、１、２）（０、１、５）（０、２、４）（０、４、５）（１、２、３）（１、３、５）（２、３、４）（３、４、５）
さらに組み合わせに０があるものは ４通り
０なしだと ３！＝６通り
よって
４×４＋６×４＝４０
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（４）３桁の３の倍数の数
３の倍数になるためには
『各桁の和が３の倍数になる』
をみたすことです。具体的に和が３の倍数になるものをだしていきます。
（０、１、２）（０、１、５）（０、２、４）（０、４、５）（１、２、３）（１、３、５）（２、３、４）（３、４、５）
さらに組み合わせに０があるものは ４通り
０なしだと ３！＝６通り
よって
４×４＋６×４＝４０
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1-1
で確認してください。
確率 順列 ４桁の５の倍数
今回は５の倍数です。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（３）４桁の５の倍数の数
５の倍数は一の位が０か５なので、場合分けしていきます。
（i）一の位が０のとき
残りの５個の数字から３個選んで千、百、十の位に割り当てます。よって
5Ｐ3
となります。
（ii）一の位が５のとき
千の位 ４通り
百と十の位 4Ｐ2
よって
４×4Ｐ2
答えは
5Ｐ3＋４×4Ｐ2
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（３）４桁の５の倍数の数
５の倍数は一の位が０か５なので、場合分けしていきます。
（i）一の位が０のとき
残りの５個の数字から３個選んで千、百、十の位に割り当てます。よって
5Ｐ3
となります。
（ii）一の位が５のとき
千の位 ４通り
百と十の位 4Ｐ2
よって
４×4Ｐ2
答えは
5Ｐ3＋４×4Ｐ2
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1
で確認してください。
確率 順列 ４桁の偶数
今回も数字の問題の続きです。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（２）４桁の偶数の数
偶数とは１の位が０、２、４のどれかですね。場合分けをしていきます。
（i）一の位が０のとき
千、百、十の位の決め方はすでに０を使っているので残り５個から３個とって並べるので
5Ｐ3
となります。
（ii）一の位が２のとき
千の位 ４通り
百と十の決め方は残り４個から２個選んで並べるので
4Ｐ2
よって
４×4Ｐ2
となります。
（iii）一の位が４のとき
これも（ii）のときと同じなので
４×4Ｐ2
となります。
よって答えは
5Ｐ3＋（４×4Ｐ2）×２
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（２）４桁の偶数の数
偶数とは１の位が０、２、４のどれかですね。場合分けをしていきます。
（i）一の位が０のとき
千、百、十の位の決め方はすでに０を使っているので残り５個から３個とって並べるので
5Ｐ3
となります。
（ii）一の位が２のとき
千の位 ４通り
百と十の決め方は残り４個から２個選んで並べるので
4Ｐ2
よって
４×4Ｐ2
となります。
（iii）一の位が４のとき
これも（ii）のときと同じなので
４×4Ｐ2
となります。
よって答えは
5Ｐ3＋（４×4Ｐ2）×２
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1
で確認してください。
確率 順列 ４桁の整数
今回は順列の数字関連の問題です。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（１）４桁の整数の数
注意することは千の位には０が使えないということです。
よって千の位の決め方は０以外なので５通りとなります。
次に百、十、一の位ですが残り５個の数字から３個選んで並べるので 5Ｐ3 となります。
よって答えは
５×5Ｐ3
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1
で確認してください。
『０、１、２、３、４、５の数字を一回だけ使えるとき』
（１）４桁の整数の数
注意することは千の位には０が使えないということです。
よって千の位の決め方は０以外なので５通りとなります。
次に百、十、一の位ですが残り５個の数字から３個選んで並べるので 5Ｐ3 となります。
よって答えは
５×5Ｐ3
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_oyo_1
で確認してください。
確率 円順列２
今回は円順列の問題です。
『男女４人ずついます』
（１）８人円形
これは公式通りです。
（８―１）！ です。
（２）特定の男子二人が隣り合い円形に並ぶ
特定の男子二人を一人とみなすので合計７人です。これを円形に並べるので
（７―１）！
となります。特定の男子二人の並び方を考えると
（７―１）！×２！
となります。
（３）特定の男子二人が隣り合わない。
（ 全体）―（隣り合う場合）
よって （８―１）！―（７―１）×２！
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_2
で確認してくださいね。
『男女４人ずついます』
（１）８人円形
これは公式通りです。
（８―１）！ です。
（２）特定の男子二人が隣り合い円形に並ぶ
特定の男子二人を一人とみなすので合計７人です。これを円形に並べるので
（７―１）！
となります。特定の男子二人の並び方を考えると
（７―１）！×２！
となります。
（３）特定の男子二人が隣り合わない。
（ 全体）―（隣り合う場合）
よって （８―１）！―（７―１）×２！
となります。
詳しくは
http://wwwd.sscb.info/kakuritu_kihon_2
で確認してくださいね。