2010年度 センター試験
数ⅠA，問２の解説です。
G1； y＝3x^2－2x－1
G2； y＝x^2＋2ax＋b
G2を平方完成して y＝（x＋a）＾2＋b－a^2
G2の頂点は（－a， b－a^2）
G2の頂点が 放物線G1上にあるので
b－a^2＝3a^2＋2a－1
b＝4a^2＋2a－1 ・・・（1）
（1）式より，G2の頂点をaを用いて表すと
（－a，3a^2＋2a－1）
〔１〕 G2の頂点のy座標 をYとおくと
Y＝3a^2＋2a－1
＝3（a＋1/3）＾2－4/3
よって，Yは a＝－1/3 のとき，最小値－4/3 をとる。
a＝－1/3のとき，b＝－11/9
G2； y＝（x－1/3)^2－11/9－1/9
ｙ＝（x－1/3）＾2－4/3
軸は x＝1/3
x軸との交点は y＝0とおいて
（x－1/3)^2＝4/3
x－1/3＝±2/√3
x＝（1±2√3）/3
〔２〕 ごちゃごちゃしてくる設定なので，計算は面倒ですが，
いちいちG1，G2の式に立ち返って計算しましょう。
G2が（0，5）を通るので
5＝b
このとき（1）式より
4a＾2＋2a－1＝5
（a－1）（2a＋3）＝0
a＝1，－3/2
a＝1のとき， G2； y＝（x＋1）^2＋4
頂点は（－1，4）
x軸方向，y軸方向にともにp平行移動したとき
頂点は（p－1，p＋4） になる。
これがG1上にあるので
p＋4＝3（p－1）＾2－2（p－1）－1
3p^2－9p＝0
p（p－3）＝0
p＝0，3