センター数ⅠA 問３ 解説

2010年度　センター試験

数ⅠA，問３の解説です。

問題はこちら

ここ数年の三角比と図形のなかで一番難しいと思います。

（2），（3）は円周角に気がつかなければ計算の泥沼にはまりそうです。

（1）OP，ORは，内接円の半径なので

　　面積＝周の長さ×半径×1/2

を用いて

　　3×4×1/2＝（3＋4＋5）×半径×1/2

　半径＝1

　OP＝OR＝1

四角形ORBPは正方形になるので，AR＝3-1＝2

AQ＝AR＝2

cosA＝3/5　なので

三角ARQにおいて余弦定理より

QR＾2＝2＾2＋2＾2－2・2・2・3/5＝16/5

QR＝4√5/5

△PQRで正弦定理より

QR/sin∠QPR＝2×半径

　sin∠QPR＝4√5/5÷2＝2√5/5

（2）　△APB　は∠B＝90°なので　三平方の定理より

　AP＝√（3＾2＋1＾2）＝√10

　方べきの定理より

　AS・AP＝AR＾2

　AS＝2＾2/√10＝2√10/5

　SP＝AP－AS＝√10－2√10/5＝3√10/5

　PS：SA＝3：2→PS：PA＝3：5

　SH//ABなので

　PH：PB＝PS：PA

　　PH：1＝3：5

　　PH＝3/5

　SH：AB＝PS：PA

　　SH：3＝3：5

　　SH＝9/5

△HCSにおいて

　　HC＝3＋3/5＝18/5

　　SH＝9/5

　tan∠BCS＝tan∠HCS＝SH/HC＝1/2　・・・①

（3）　図より，tan∠BCT＝1/2　・・・②

　①②より

　CTSは一直線上にある。

　∠RSC＝∠RST

　RTは直径なので，

　∠RSC＝90°

　弧TPに対する円周角より

　∠PSC＝∠PRT

　△PRBは直角二等辺三角形なので

　∠PRT＝45°，∠PSC＝45°