奇数と平方数の関係

前回のブログで、息子と高校数学の問題を考えましたが、そのときの答え 5,12,13 を見て、面白いことを言っていました。
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これってピタゴラスの三平方の定理だけど、オレ、高校受験の最中に思いついたことがあるんだよね：
ある奇数mの2乗を半分に、ただし奇数なのでnとn+1になるんだけど、すると
m² + n² = (n+1)²
が成立するんだよ！
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え、そうなの？私は知りませんでした！ということで少し確かめてみると、

3² = 9 = 4 + 5
-> 3² + 4² = 25 = 5²

5² = 25 = 12 + 13
-> 5² + 12² = 169 = 13²

7² = 49 = 24 + 25
-> 7² + 24² = 625 = 25²

9² = 81 = 40 + 41
-> 9² + 40² = 1,681 = 41²

11² = 121 = 60 + 61
-> 11² + 60² = 3,721 = 61²

13² = 169 = 84 + 85
-> 13² + 84² = 7,225 = 85²

15² = 225 = 112 + 113
-> 15² + 112² = 12,769 = 113²

17² = 289 = 144 + 145
-> 17² + 144² = 21,025 = 145²

ホントだ、美しい♪　素晴らしい発明じゃないか！

この関係は、m² = 2n+1 と表せるので実は簡単に証明することができます。しかし、はじめからその代数式が提示されても、なんも面白くないのですよね。やっぱり、自分で法則を見つけたからこそ面白いわけです。

そういえば随分前に「連続する平方数の和」についてこのページで紹介しましたが、平方数はミステリアスで楽しいですね(^^)

冬休みの宿題（高校数学）

珍しく冬休みに数学の宿題が出たようで、それも習っていない範囲、模範答案なし、ネットで調べても近い問題なし、ということでかなりイライラしていた息子(苦笑)。大学では一応数学科を専攻していたワタクシでしたので、リハビリも兼ねて一緒に考えてみました。

＜問題＞
素数p、整数m,n(m != 0)が、以下の関係にある。p,m,n を求めよ。
・n, p-m, n+m の順に等差数列
・(p-m), n, (p+m) の順に等比数列

息子曰く「この問題には解法がないので、数え上げてみるしかないが、そんなの数学ぢゃない！」と。確かに(苦笑)。しかし考えてみると「役立つのかどうか知る由もない意味不明な数式を変形したりして導かれるものこそ、数学なのか？」という内なる思いがフツフツと沸き上がってきたので、「いやいや、数を数えることこそが純粋な（学問としての）数学だよ」と応戦。

＜私のアプローチ＞
以下の戦略を立ててみました。
・素数があるので、代数的に処理することは極めて難しそう。なので、とりあえず小さい数からしらみつぶしに試してみる。
・等差数列と等比数列、どちらの関係から試すか、について
等比数列なら {1,2,4,8,...}, {1,3,9,27,...}, {1,4,16,64,... } となり、1項(p-m)と3項(p+m)を(1,4),(2,8),... (1,9),(3,27),... (1,16),(4,64),... と順に当てはめることができてp,m,nが決まるので、それが等差数列の条件を満たすもの、という順に数え上げる。

この戦略に沿って、以下のようなワークシートをつくり、小さい方から順に数を当てはめてみます。

(m,p)=(3,5)や(4,5)のとき、n=4や3で等比数列ができあがりますが、いずれも等差数列の条件を満たしません。
ちなみに、考えているときは手元にあった裏紙と鉛筆をつかってカリカリ書き進めていたので、このあたりまで書くと、もう疲れちゃって。表もどこまでデカくなるかわからないし、すでに諦めムードにｗ

そこで、何か効率的な数え方がないかと「次のアプローチ」を考えることにしました。
・まず見つけたいのは、デカいワークシートの中で色のついたセル部分のように、等比数列の条件を満たすp,m,n を洗い出すこと。
・(p-m)と(p+m)の差は、mを +1 すれば +2 となるので、例えば
{3,9,27} になるようなmは(27-3)/2=12など（この例ではp=15なので素数ではないですが）、ワークシートを作らずにmとpを決めてからnを探そうと。

すると、(m,p)=(12,13)のときp-m=1, n=5, p+m=25で公比5の等比数列ができあがり、n=-5とするとp-m=1, n+m=7で公差6の等差数列が見事にできあがりました！　答え(p,m,n)=(13,12,-5)

他の整数の組み合わせもあるかもしれませんが、ひとつ答えが見つかったので、それは追々考えることにしましょう(笑)

とまぁ、答えが出ても「だから、何？」という感じが否めない問題ではありましたが、答えを導くのに公式を当てはめず、効率的な解決アプローチを自分で考えてみる、という観点でまぁまぁ良い問題だったかなぁ、と思いました。

でも、時間が掛かりますよね。受験生はイライラしちゃうかも。可哀想ですね(苦笑)