連続する平方数の和

年末の大掃除でメモが出てきた話 のつづきです。

3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

一番最初はピタゴラスの三平方の定理でおなじみですね。
で、この次ですが、メモはやはり書き損じていたようで、

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

で、左辺 = 7230 = 右辺となり計算結果が一致しました。

となると、この先にも「(N+1)個の連続する平方数の和 = (N)個の連続する平方数の和）」という数の組が存在するのか、気になりまして。Basic (Excel の VBA) でちょっと計算をしてみたところ：

55² + 56² + ... + 60² = 61² + ... + 65²
78² + 79² + ... + 84² = 85² + ... + 90²
105² + 106² + ... + 112² = 113² + ... + 119²

素晴らしい！どんどん続きます。しかも、次の数の出現にも単純な規則性がありそうです。

10 - 3 = 7
21 - 10 = 11
36 - 21 = 15
55 - 36 = 19
78 - 55 = 23
105 - 78 = 27

ここから、次の数は 105 + 27 + 4 = 136 と予測されます。で、実際計算してみると、

136² + 137² + ... + 144² = 145² + ... + 152²

となり成立するようです。
Excel で組んだ簡単な Basic では long（符号付き32bit整数）がオーバーフローしてしまう：
6105² + 6106² + ... + 6160² = 6161² + ... + 6215² ( = 2,106,037,780 )
まで計算できましたが、すべてこの規則に当てはまる平方数の組が見つかりました。

美しいと思いませんか(笑)