2023年
東京大学・文科
数学 第4問
大谷選手,
9回裏,第３号
サヨナラ
ホームラン
飛距離121.6ｍ
凄い
ドジャース,
開幕8連勝
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆さんを心より応援しております
それでは、まずは偉人の言葉からです
『問題を解く技術を教
えるとは,その意欲を
育てることである.』
（D・ポーヤ，ハンガリー生まれの
アメリカの数学者，1887-1985）
それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください
（問題）
（※ 時間の目安） １7分 
Elementary geometry
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
（１）“余弦定理”から、直ちにですね
（２）“初等幾何的手法”で解いてみました
どのように“記述”するかでしょうか
頑張れ,大谷選手
頑張れ,受験生
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです
2019年
慶應義塾大学・商
数学 第２問
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆様を心より応援しております
それでは、まずは偉人の言葉からです
『論理学は幾何学の諸
定理を,その真の意義
を理解しないまま借
用した.私は論理学者
を,思考力を導く真の
方法を明らかにする
幾何学者と同等に見よ
うとは思わない….誤り
を避けようと努めるの
は誰も同じである.この
点についての優先権を
論理学者たちは主張し
ているが,実際このこと
を達成したのは幾何学
者たちなのだ.なぜなら,
彼らの学問の外には真
の証明は存在しないの
だから.』
（Ｂ・パスカル,フランスの数学者,物理学者,
哲学者,1623 - 1662）
今回の下の平面ベクトルも初等幾何に
かなり精通していないと時間内に解くの
は厳しい問題です
やはり早慶レベル
となると、なかなか難しくなりますね
“傍心”に関しての経験があると比較的
解き易くはなるのではないでしょうか
それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください
（問題）
（※ 時間の目安） （ⅰ）３分 （ⅱ）８分 （ⅲ）９分
Excenter
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
（ⅰ）時短を考慮したら、△ＡＢＣの面積は“ヘロンの公式”
が速いでしょう内積は“余弦定理”から直ちにです
（ⅱ）“陰の平方の差”から直ちにですね
“外心”は、
作問者の誘導に乗るのが時短でしょう
もちろん,→ＡＯ＝ｓ→ＡＢ＋ｔ→ＡＣ として,
ｓ，ｔ の
連立方程式でも導出できます
（ⅲ）実は、内心の位置ベクトルは、
→ＯＩ＝(ａ→ＯＡ＋ｂ→ＯＢ＋ｃ→ＯＣ)/(ａ＋ｂ＋ｃ)
傍心の位置ベクトルは、
→ＯＥ＝(-a→ＯＡ＋→bＯＢ＋→＋c→ＯＣ)/(-a＋b＋c)
で、上で Ｏ＝Ａ，Ｅ＝Ｑ とすれば直ちに、
→ＡＱ＝(6→ＡＢ＋7→ＡＣ)/(－8＋6＋7) です
頑張れ,大谷選手
頑張れ,受験生
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです
質問にお答えします
赤チャート数Ⅲ
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆さんを心より応援しております
それでは,まずは偉人の言葉からです
『……数学教育は,各個人
がその国籍,性別,地位
および職業のいかんを
問わず,享受すべき権利
を有する福祉である.』
(第19回国民教育国際会議勧告文,1956年)
今回の下の問題は,
ある都立高生のお
子さんからの質問
です
K大幼稚舎は,お金
持ちの有名人の子
息が多く入学する
そうです
K大学は,人の上に
人をつくり人の下
に人をつくる
“K大幼稚舎出身者
は,政財界の要職に
就くことを禁止する”
という法律をつくっ
てはどうでしょうか
私立中高一貫校では,
中１で中学の数学を
すべて終わらせ,中２,
中３で高校数学もすべ
て終わらせるそうです
果たして,日本の教育は
平等なのでしょうか
がんばれ,公立高生
それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください
H26版・赤チャート数Ⅲ,P194練164,165★★★☆☆
（※ 時間の目安） １６４．（１）３分 （２）４分 （３）５分
１６５．６分
Differential method
of implicit function
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
“陰関数の微分法”です
“陰関数”や“媒介変数を含む関数”の“第２次導関数”の
導は勘違いしやすいので注意しましょう
また,微分した(答)は,できるだけ簡単な形にしておく方
がよいですが,(答)の最終形は必ずしも“一意ではない”
ので,合っているかどうか教師に確認してもらいまでしょう
“がんばれ,公立高生”
H26版・赤チャート数Ⅲ,練166,167★★☆☆☆
（※ 時間の目安） １６６．７分 １６７．（１）５分 （２）５分
Derivative of
the parametric
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
１６６．“媒介変数の導関数”です
書きたくはありませんが、“第２次導関数”を決して、
ｄ^2ｙ/ｄｘ^2＝(ｄ^2ｙ/ｄｔ^2)/(ｄ^2ｘ/ｄｔ^2)
としないでください<(_ _)>
“第２次導関数”は,上の四角で囲った形となります
１６７．（１）ゆめゆめ,“第２次導関数”を誤らないでください<(_ _)>
（２）ｔａｎθ/2＝ｔ のとき、
ｃｏｓθ＝(1－ｔ^2)/(1＋ｔ^2)
ｓｉｎθ＝2ｔ/(1＋ｔ^2)
となります
“がんばれ,公立高生”
H26版・赤チャート数Ⅲ,Ｐ201練習168～171★★☆☆☆
（※ 時間の目安） １６８．（１）３分 （２）５分 １６９．５分
１７０．５分 １７１．５分
Tangential equation
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
１６９．(１)は,“判別式”でも導出できます
“がんばれ,公立高生”
頑張れ,大谷選手
頑張れ,受験生
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです
中学生でも解ける
大学入試問題!!(15)
(やや難)
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆さんを心より応援しております
それでは、本日もまずは偉人の言葉からです
『幾何学は空間についての
純粋な直観に基礎を置い
ている．算数は適時に単
位を付け加えることによ
って，それ自身の数の概
念をつくりだす……．』
（I・カント,ドイツの哲学者,1724-1804）
今回の下の問題は,
私立大学・医学部の
問題です
かなり,高度な
空間認識能力が求め
られます
考えたら当然かもし
れません
将来の来た
るべき手術を想定に
いれたら身体の臓器を
すばやく立体的に認識
する事が求められるわ
けですから
強靭な立体感覚を身に
付けて欲しいというこ
となのでしょう
下の問題は正二十面体
の問題で,
頻出問題で
はありますが,かなり
手馴れていないと本番
で手こずる一題だと
思います
筑駒・灘・開成・桜陰
・早慶付属などの難関
高校志望の生徒さんを
御指導の進学塾の講師
の方が,もしこのブログ
を御覧になられておら
れましたらアレンジし
て中学生に解いてもら
っても,おもしろいと
思います
今回の下の問題は
難関医学部からの問題
です
さすがに,誘導付
きとはいうものの,
正二十面体の体積
を求めるのは厳しいで
すね
誘導も作問者の意
を忖度しながらですか
ら意外にきついです
また,正十二面体に関しては下記の
ブログを御参照ください<(_ _)>
中学生でも解ける大学入試問題!!(14)(やや難) | ますいしいのブログ (ameblo.jp)
それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。
2016 順天堂大学・医・医
（※ピッチクロック） ２３分 
A Regular icosahedron
① Regular tetrahedron (正四面体)
② Regular hexahedron (立方体)
➂ Regular octahedron (正八面体)
④ Regular dodecahedron (正十二面体)
⑤ Regular icosahedron (正二十面体)
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
うまく作問者の誘導に乗れるかどうかでしょうか
あとは，立体図形をイメージできるかどうかですね
“正多面体”について表にまとめてみましたので，
御活用ください<(_ _)>
また，正十二面体に関しては下記の
ブログを御参照ください<(_ _)>
中学生でも解ける大学入試問題!!(14)(やや難) | ますいしいのブログ (ameblo.jp)
頑張れ,大谷選手
頑張れ,受験生
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです
中学生でも解ける
大学入試問題!!(14)
(やや難)
おはようございます。ますいしいです
受験生の皆さんを心より応援しております
それでは、本日もまずは偉人の言葉からです
『幾何学は空間についての
純粋な直観に基礎を置い
ている．算数は適時に単
位を付け加えることによ
って，それ自身の数の概
念をつくりだす……．』
（I・カント,ドイツの哲学者,1724-1804）
今回の下の問題は,
国立大学・医学部の
問題です
かなり,高度な
空間認識能力が
求められます
考えたら当然かも
しれません将来の
来たるべき手術を
想定にいれたら
身体の臓器をすば
やく立体的に認識
する事が求められ
るわけですから
強靭な立体感覚を
身に付けて欲しい
ということなので
しょう下の問題は
正十二面体の問題で,
頻出問題ではありま
すが,かなり手馴れて
いないと本番で手こ
ずる一題だと思います
正五角形に関しては,
難関高校受験など
でも頻出ですから,
筑駒・灘・開成・
桜陰・早慶付属など
の難関高校志望の生徒
さんを御指導の進学塾
の先生の方が,もしこの
ブログを御覧になられ
ておられましたら
アレンジして中学生に
解いてもらっても,おも
しろいと思います
下記のブログも御参照ください<(_ _)>
中学生でも解ける大学入試問題!!(15)(やや難) | ますいしいのブログ (ameblo.jp)
それでは，まずは，解答を見ずにチャレンジしてみてください
2011 福井大学・医・医
（※ピッチクロック） （１）１０分 （２）１５分 （３）１５分
A regular dodecahedron
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
（１）正五角形の対角線は,相似な二つの三角形から比例式
を作り求めるのが最もはやいです!! 三角関数の公式
を駆使しても出来ますが……
角が,36°,54°,72°,108°,144°などは,かならず√5 が
でてきますから覚えておいてください
（２）→ＣＤはすぐに出ると思いますが,→ＯＦは図形的な
気づきがないと手こずるかもしれません
（３）→ＯＨも図形的な気づきが必要です!! 最初の解答の
ようにベクトル的なアプローチでも良いのですが,
御覧の通り計算量がかなり,かさんでしまいます
図形的アプローチであれば連立方程式など解く必要が
なくなりますから時間の圧縮というメリットが生まれ
ます！お勧めです!!最後の ＯＨ の長さですが,計算量
からいったら(中学生バージョン)の解法が圧倒的に速
いと思います これなどは,灘,筑駒,開成,早慶など
を受験する方に解いてもらっても良い問題です
なお上の事から正十二面体の体積を求めることが出来
ます！すなわち,ＡＢを一辺とする立方体と上の楔形
の立体×６との和で出ます！
因みに,一辺が １ の正十二面体の体積は，
（15＋7√5）/4 となります！
下記のブログも御参照ください<(_ _)>
中学生でも解ける大学入試問題!!(15)(やや難) | ますいしいのブログ (ameblo.jp)
頑張れ,大谷選手
頑張れ,受験生
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです
