数はどこからきて、どこへいくのだろう？
とても壮大で興味深い問いかけです。
普段、当たり前のように接している 「数」 ですが、
あらためて考えると、不思議な気持ちになります。
数って何だろう？
ここでは、数について考えてみたいと思います。
１，２，３，４，５，・・・
というような数を自然数といいます。
羊が１頭、２頭、３頭、・・・
と数えるように、これは最も自然な数といえます。
ただ、自然数はたし算はうまくできるのですが、
ひき算になると困ったことが起こります。
大きい数から小さい数をひくことはできますが、
３－５ のように小さい数から大きい数を
ひくことができないからです。
つまり、マイナスやゼロの考え方が必要になるのです。
・・，－２，－１，０，１，２，３，４，・・・
というような数を整数といいます。
これは自然数にゼロとマイナスの数を加えた数のことです。
整数の考え方は、日常生活で使うでしょうか？
たとえば、１００円お金をもらうことを、
プラス１００円と考えると、
逆に１００円お金を借りることは、
マイナス１００円と表現できます。
借金ですね。
このように、マイナスの考え方もさりげなく日常で使っているのです。
数学的には、整数の世界を考えると、
たし算やひき算が自由にできるようになる、
という利点があります。
２つの整数を、たしても、ひいても、必ず整数になるからです。
これが自然数と整数の数学的な違いです。
そして、
自然数 → 整数
と数の世界が広がったと考えることができます。
ところで、整数では、たし算やひき算、かけ算はうまくできるのですが、
今度は、わり算ができないことがあります。
２÷３ のように整数にならずに、分数になる場合があるからです。
そこで、整数と分数を合わせた数を
有理数といいます。
有理数になると、（０でわることを除いたら）
たし算、ひき算、かけ算、わり算がすべてできるようになります。
たし算、ひき算、かけ算、わり算のことを四則演算といいますが、
数学用語で、「有理数は四則演算で閉じている」 といいます。
自然数 → 整数 → 有理数
と数が広がり、四則演算が自由にできるようになりました。
日常生活でも、ピザを３等分するときは、
1/3 ですから、分数となります。
ですから、有理数も日常で現れます。
有理数までくると、もう数は充分なように思えますが、
まだここに入っていない数があります。
それは、円周率です。
3.14と習いますが、正確には、
3.1415926535・・・
と無限に続く数なのです。
たとえば、
0.234234234・・・
のように繰り返す（循環する小数）は、
26/111 ＝0.234234234・・・
のように分数に直すことができます。
しかし、円周率は分数で表せないことが知られています。
このように分数で表わせない数のことを無理数といいます。
円周率以外には、ルート２なども無理数です。
（1.41421356・・・）
有理数と無理数を合わせた数を実数といいます。
果たして、無理数は日常で現れるでしょうか？
実は、無理数も日常で現れているのです。
身近な例では、Ａ４サイズやＢ５サイズの用紙の
タテとヨコの長さの比率は、１対ルート２と定められています。
これは実用的な比率で白銀比と呼ばれています。
黄金比も無理数です。
黄金比は、だいたい 1 対 1.618 くらいの比率ですが、
正確には、
1.6180339887・・・
と無限に続く数なのです。
（１とルート５をたして、２でわった数です）
黄金比は、人間にとって最も美しい比率といわれていて、
ギリシャのパルテノン神殿やミロのビーナスに見られます。
ですから、私たちの日常生活には、
実数まですべてみることができるのです。
ここまでをまとめると、
数は、次のように広がることが分かります。
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数
自然数から始まり、
だんだんと数の世界が広がってきたのです。
実数まで数の世界が広がることで、
四則演算がすべてできて、
無限に続く数も入っていて、
数学的には、すべてうまくいくことになります。
そして、
私たちの世界は、数で満ちあふれていることが分かります。
歴史的には。必ずしもこの順番で、
「数」 が発見されてきた訳ではありませんが、
数学的に整理すると、
このような順序がとても自然なのです。
マイナスや無理数までいくと算数の範囲を超えていますが、
算数を教える人も、
このような数の背景を知っておくことが大切です。
なぜなら、これが数の本質的な広がりだからです。
◆ さらに詳しくは、私の本 『数の世界』 をご覧ください。
数の世界 自然数から実数、複素数、そして四元数へ (ブルーバックス)
（Amazon）
『数の世界』 では、
自然数から実数、複素数、四元数、八元数への「数の広がり」
について、数学的に詳しく書かれています。
◆ 数のひろがりに興味はある方は、次をご覧ください。
◆ 算数・数学コラムの一覧は、次をご覧ください。
【執筆者】
松岡 学
数学者、博士 （学術）
高知工科大学 准教授
大学で研究や教育に携わる傍ら、
一般向けの講座を行っている。
アドラー心理学の造詣も深く、
数学の教育や一般向け講座に取り入れている。
音楽 （J-POP） を聴くのが趣味。
ファッションを意識し、自然な生活を心がけている。
出版物：『数の世界』ブルーバックスシリーズ、講談社。
『5歳からはじめる いつのまにか子どもが算数を好きになる本』スタンダーズ社。
『キララな恋愛や結婚生活を送るエッセンス』CLAP。
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