秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち -29ページ目

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02Dec
- 「秘伝の数学」階差で和を求める①
  階差を利用した和の計算①こんにちは。今回は階差形を利用した和の計算です。「Σの公式をいろいろ学びましたね。今日はΣの公式を階差を利用して求めます」Ｂ男「階差を利用した和の計算はどうやって計算するのですか。教えてください」「わかりました。まず基本の原理について確認しましょう」「①の階差の式を使います。この式をｋ＝1からｎまですべて足し合わせます」Ｂ男「まず①式を作る必要があるわけですね」「そうです。①式から②式が成り立ちます。これはわかりますか」Ｂ男「えっ！Σがわかりにくいので①のＫを1からｎまで並べてみます。具体的に考えます」Ｂ男「途中の式がプラスマイナスで消えるわけですね」「そうです。それではf(n)に具体的に式を決めて計算してみましょう」Ｂ男「f(n)=n²の場合を考えます」Ｂ男「①式から①”のΣＫの公式が導かれました」「次にf(n)=n(n+1)の場合はどうなりますか」Ｂ男「やってみます」Ｂ男「Σｋの公式②式が簡単に出ました。f(n)=n²(n+1)²についても計算します」Ｂ男「Σｋ³の公式も簡単に出ました（➂式）」「ここまで来るとさらに調べてみたいですね」Ｂ男「そうですね。f(n)=n³(n+1)³で計算します」Ｂ男「④式からΣｋの5乗の公式も求まりました」「少し工夫するといろいろな計算ができますね」Ｂ男「これが数学の思考ですね。アイデアですね」Ｂ男「例えば等差数列の和の公式を習いましたが、この公式で導けますか」「それでは考えてみましょう」Ｂ男「➅式の一般項に対して➆式となるf(n)を見つければよいわけですね」「➆式はnの1次式なのでｆはｎの2次式です。係数比較で求めましょう」Ｂ男「⑧式から⑨式の和の公式になりました。係数Ｃは差を取るので消えます」Ｂ男「いろいろできますね。次は等比数列の和の公式を考えてみます」　今回はここまで。次回をお楽しみに
01Dec
- 「秘伝の数学」等比形にして漸化式を解く
  等比形にして漸化式を解くこんにちは。今回も漸化式についての2回目です。Ｂ男「漸化式は複雑で難解です」「高校で扱う漸化式は等比形と階差形です。前回は階差形、今回は等比形について考えます」「扱う漸化式の形は1．2．3．4．5です」Ｂ男「等比形にどうしたら変形できるかを中心に学びたいです」「それでは等比形の基本漸化式1．2．を復習してみましょう」Ｂ男「1は等比数列の一般項です。これがすべての基本ですね」Ｂ男「2．はαだけずらして等比形にするおなじみの隣接2項間の漸化式です」「そうですね。それでは3．はどうしますか」Ｂ男「これは2．のようにどう等比形にしたらいいのですか」「漸化式を満たすｎの2次式f(n)を求めて差を取ってみましょう」「②式を満たすf(n)を求めてみます」Ｂ男「2次式を係数比較で求めます」Ｂ男「求まりました。あとは差を取れば➂式のように等比の形になります」Ｂ男「あとは公差2の等比形なので一般項は④式のようになります」「次に隣接3項間の漸化式です。解法は参考書に載っていますね」Ｂ男「はい。特性方程式の解α、βを使い①、②の等比形に変形します」Ｂ男「それぞれ一般項を求め、差を取って一般項を求めます」「そうですね。今回はこの変形をよく吟味して隣接4項間の漸化式を解いてみましょう」Ｂ男「えっ！隣接4項間なんて解いたことありません」「原理を理解すれば解けるはずです。それが数学です」「④の等比の形は展開すると➂式です。右側が特性方程式です」Ｂ男「方程式と漸化式が対応していますね」「解α、βの2次方程式が特性方程式です」Ｂ男「ということは隣接4項間では解α、β、γの3次方程式が特性方程式ですね」「そうです。この3次方程式を変形して等比形の漸化式を導いてみましょう」Ｂ男「同様な変形で等比形の特性方程式➄を漸化式に変換します」「変換の規則は緑色部分です。規則性が面白いですね」「そうですね。等比形は➅式になります」Ｂ男「3次方程式の解がα、β、γになるわけですね」「そうです。それでは最後に➆の漸化式を解いてみましょう」Ｂ男「特性方程式の解は2，3，4です。あとは3つの等比形を作り一般解です」「3つの式を連立して解けば一般解が求まります」Ｂ男「4項間の漸化式は実質3次方程式を解いているわけですね」　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
30Nov
- 「秘伝の数学」階差の方法で漸化式を解く
  階差の方法で漸化式を解く　こんにちは。今回は難しいと言われている漸化式について考えます。Ｂ男「たしかに漸化式は解法が多くて難解です」「高校で扱う漸化式は等比形と階差形です。今日は階差形について考えます」Ｂ男「今回は難しそうな話ですね」「いや、漸化式は基本、2つの解法でほとんどの場合は対応できます」「今回はそのうちの階差の方法について考えましょう」「扱う漸化式の形は1．式です」Ｂ男「1．の形は階差数列がｆ(n)の数列です。公式を書くと次の②式です」「具体的に扱う漸化式は2．3．です。順に考えていきましょう」Ｂ男「2．の漸化式は教科書では等比の形に変形して解いています」「今回は階差の公式を使う解法を考えてみましょう」Ｂ男「➂式の両辺を2のn＋1乗で割るわけですね」Ｂ男「④式のように階差の形になりました」「後は階差の公式に当てはめれば求まります」Ｂ男「階差数列の和が等比数列の和になります」「他の方法はありますか」Ｂ男「漸化式で添え字nを一つ増やした漸化式をかき、両辺の差をとります」Ｂ男「階差数列の漸化式が公比2の等比数列になり求まりました」「次に漸化式3．を考えてみましょう」Ｂ男「2．と同じように2のn+1乗で両辺を割ってできませんか」「そうですね。計算してみましょう」Ｂ男「同じように計算できます。ただし、階差数列の和の計算が複雑です」「そうですね。公比倍かけて差を取りましょう」「他の方法はありますか」Ｂ男「2.の場合の漸化式と同じで、添え字を一つ増やした漸化式を使う方法もできそうです」「それでは、やってみましょう」「階差を表す数列bｎが隣接2項間の漸化式となり解くことができます」Ｂ男「なるほど。この形では他の解法はありますか」「あります。漸化式を満たすｎの1次式を求めて解きます」Ｂ男「数列との差を取った数列が➂式のように公比2の等比数列にわるわけですね」「そうです。あとは等比数列の一般項を求めればよいわけです」「今回の解法をまとめましょう」Ｂ男「この形の漸化式は変形で階差の公式適用の形にできます」　　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
29Nov
- 「秘伝の数学」内積の意味
  内積の意味こんにちは。今回は質問の多い内積について考えます。Ｂ男「たしかに内積はよくわからないものです」「内積の基本と簡単な応用について押さえてみます」Ｂ男「まず、内積の定義ですね。ここからわかりにくいです」「定義をはっきりさせましょう」Ｂ男「まず、正射影ですね。上から光をあてて下に落ちた影が射影です」「その積が内積となります」「確かにこれだけだとよくわかりませんね」「もう一つの観点から内積を眺めてみましょう」Ｂ男「それはどんな観点ですか」「余弦定理です」Ｂ男「あの三角形の辺の長さと角の定理ですか。どのように結びついていますか」「①式は余弦定理です」「②式はベクトルの展開式で内積の項が含まれます」Ｂ男「①と②は同じですね。余弦定理が成立すると➂式となりますね」Ｂ男「だから、長さを求めるときは大きさの2乗の計算で内積を使うわけですね」「長さを求めるのは当然余弦定理、展開式に余弦定理が含まれているわけです」Ｂ男「なるほど。これは面白いですね」「つぎに応用を説明しましょう」「成分表示です」Ｂ男「なるほど、これで内積がｘ成分とｙ成分の積になるわけですね」「ここでの説明では加法定理が使われていることに注意しましょう」「次は合成公式です」Ｂ男「教科書では加法定理で説明されていました」「上の説明でしたように、内積の成分表示には加法定理が含まれています」「だから、合成公式が作れるのです。具体的に式変形でみてみましょう」Ｂ男「内積の成分表示がそのまま合成公式ですね」「普通はサインの合成公式が使われますが、このコサインの形でも問題ありません」Ｂ男「いろいろな見方や応用を考えると内積の意味がわかった気がしました」　　　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
28Nov
- 「秘伝の数学」点と曲線の距離
  点と曲線の距離　こんにちは。今回は原点と放物線の最短距離を求める解法を考えます。この解法から点と直線の距離公式を求めてみましょう。「高い次元の解法から低い次元の解法を求めてみます」Ｂ男「どういうことですか」「放物線と点の最短距離を求めます。放物線は2次関数ですね」「この解法から1次関数の点と直線の距離公式を考えるのです」Ｂ男「次数を上げてから下げると言うことですね」「そうです。それでは具体的に問題を考えてみましょう」「原点中心の円を考えてみましょう。原点と放物線の最短距離を考えます」Ｂ男「図の様に原点中心の円が放物線に接する時、原点と接点Ａの距離が最短距離です」「そうですね。接する時の円の半径が最短距離です。半径はどのように求めますか」Ｂ男「円と放物線が接するので、連立方程式を解いてできる式が重解になればよいです」「具体的に計算してみましょう」Ｂ男「➂式が重解になればよいですが、3次式です」「そうですね。2次式なら判別式が使えますが3次式の場合は微分を使います」「次の（公式Ａ）を使います」Ｂ男「3次方程式④を解く必要があります」「そうですね。3次方程式なのでこのままでは解けません」「この点は後で考えるとして別解を考えてみましょう」Ｂ男「接線とＯＡが垂直ということから④式は出ませんか」「なかなかいいですね。やってみましょう」Ｂ男「④式が出ました。αから距離ｄが求まります」「αはグラフから読み取って見ましょう」Ｂ男「極小値をとるα＝1.621、最短距離ｄ＝ｒ＝2.687となります」「原点から曲線上の点までの距離を表す関数ｄに対して、その極小値（最小値）の時のαを使えばよいわけです」Ｂ男「距離を表す関数が極小値をとるときのαですね」「整理してみましょう。次の（公式Ｂ）から最短距離ｄが求まります」「この（公式Ｂ）を直線の場合に当てはめてみましょう」「➄式になります。ここから➅式が導かれます」Ｂ男「2次関数の解法を1次関数の解法に適用したわけですね」「一般に次数が高い方が複雑になりますが、下げると簡単になり見通しがよくなります」「公式の拡張ともいえます」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
26Nov
- 「秘伝の数学」点と直線の距離（ヘッセの標準形）
  点と直線の距離公式(ヘッセの標準形）こんにちは。今回は点と直線の距離公式をヘッセの標準形から考えます。「有名な点と直線の距離公式を新しい観点で考察しましょう」Ｂ男「ヘッセの標準形とはどんなものですか」「原点から直線に垂線を引きます。垂線とｘ軸とのなす角θと直線までの距離Ｐで直線を表現したものです」Ｂ男「へぇ、①式がヘッセの標準形」「原点と直線の距離Ｐが与えられているのでこれが利用できそうです」Ｂ男「なるほど。まず、ヘッセの標準形を理解したいです」「わかりました。次を見てください」Ｂ男「わかりました。この問題は距離Ｐをいかに使うかですね」「そうですね。点と直線の距離を一般の直線形で求めてみましょう」「問題をはっきりさせましょう」Ｂ男「どうしたらできますか」「直線と平行で、点を通る直線は作れませんか」Ｂ男「そうか。２直線の距離ならば原点を介してヘッセの標準形で距離が求まりそうです」「➄式は点（ｘ１，ｙ１）を通る直線です」Ｂ男「Ｐ２からＰ１を引けばいいわけですね」「そうです。そのためには一般形の直線からＰを求めないといけませんね」Ｂ男「⑧式がＰを求める式です」Ｂ男「Ｐ２からＰ１を引けば距離ｄというわけですね」「Ｐの符号については調整が必要ですが、同じ形で差をとれば結果的にＯＫです」Ｂ男「面白いですね。このような形からでも導かれるのですね」「外国の教科書ではこの形式で書かれているものもあります」今回はここまで。次回をお楽しみに。
25Nov
- 「秘伝の数学」直交性の証明（垂心）
  直交性の証明（垂心）　こんにちは。今回は垂心を問題にして直交することの証明を考えます。Ｂ男「今回も直交性の問題を扱うのですね」「直交することはいろいろな応用で使われます。数学を考える上でも重要です」「垂心の問題です。問題をはっきりさせましょう」「中学校で習う図形の知識で解いてみましょう」Ｂ男「これは難しいです。ヒントをください」「問題の設定として、頂点Ａ、Ｂから対辺に下ろした垂線の交点をＨとしそのＨでＡＨ⊥ＢＣを示しましょう」Ｂ男「なるほど。わかりました」「円に内接する四角形はありませんか」Ｂ男「えっ？直角なので四角形ＡＤＨＦ」「もうひとつあります」Ｂ男「∠Ｄと∠Ｆが９０°なので四角形ＤＢＣＦです」「等しい角を捜してください」Ｂ男「なんとかできました。こんな方法があるわけですね」「次の別解はどうしますか」Ｂ男「垂直なのでベクトルの内積で考えます」「まずはベクトルの設定ですね。交点Ｈをベクトルの始点としましょう」Ｂ男「内積の式①、➁の連立式を解いて証明できました」「次の別解はありますか」Ｂ男「ベクトルの次は座標を使った解法を考えます」「座標をどのように設定しますか」Ｂ男「計算が簡単になるようにします」Ｂ男「辺ＢＣがｘ軸、頂点Ａがｙ軸上にあるように座標を設定します」Ｂ男「直線の式①、➁を連立して交点Ｈがｙ軸上の点であることがわかりました」「よくできました。他に方法はありますか」Ｂ男「ベクトルが出たので、複素数で考えます」「設定はベクトルの場合と同じです。Ｈを原点、直交条件は？」Ｂ男「えーと、分数が純虚数です」Ｂ男「ここからどうしたらよいのか」「前の解法と同じです。①、➁をβ、γの連立方程式として解いてみましょう」Ｂ男「別解の解法がヒントになるわけですね」Ｂ男「できました。少し計算が大変ですね」「複素数の直交条件は➂にかいておきました」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
24Nov
- 「秘伝の数学」直交性の証明
  直交性の証明こんにちは。今回は直交することの証明を考えていきます。「図形の問題から直交することの証明方法について考えます」Ｂ男「いろいろな方法で考えてみます」Ｂ男「中学の相似の知識を使って考えてみます」「相似図形では、対応する辺のなす角が等しいわけです」Ｂ男「次は、直交性なのでベクトルです。内積の計算で示します」「次はどうしますか。角というと直線の傾き？」Ｂ男「そうか！座標を使って直線の方程式を作ります」Ｂ男「これも簡単ですね。傾きの積が－１から直交です」「あとは何か方法はありますか？」Ｂ男「えっ？角を扱うのだから……」「複素数は使えませんか」Ｂ男「そうか！やってみます」Ｂ男「分数形で純虚数なので偏角の差が９０°になります」「よくできました。他にどうですか」Ｂ男「もうわかりません」「直角なので原点に戻り三平方の定理を使いましょう。辺の長さを求めます」Ｂ男「なるほど。いろいろな解法がありますね」Ｂ男「いろいろな解法を考えるとそれぞれの特色が出て面白いですね」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
23Nov
- 「秘伝の数学」相加相乗平均④
  相加相乗平均の不等式④こんにちは。今回も相加相乗平均の不等式について考えていきます。凸関数の不等式の性質を使います。「今回も相加相乗平均の不等式を考えます。相加相乗平均は凸関数の不等式です」Ｂ男「凸関数とはどんな関数ですか」「イメージとしては二次関数で２乗の係数が負のグラフです」Ｂ男「上に膨らんだグラフですね」「上の図で曲線上の２点Ａ，Ｂをとったとき、直線の上側に曲線があるとき上に凸のグラフと言います」Ｂ男「線分ＡＢ上の点Ｃについて①式の不等式が成り立つわけですね」「①式の不等式を凸関数の不等式といいます」Ｂ男「これがどうして相加相乗平均の不等式なんですか」「説明します。それでは、相加相乗平均の不等式を順にみていきましょう。n＝２の場合です」「相加相乗平均の不等式の両辺の対数をとります。底は１より大とします」Ｂ男「➁式になります。そういえば対数関数は上に凸でした」Ｂ男「線分ＡＢの中点Ｇの座標は➂式になります」Ｂ男「x=(a+b)/2の関数上の点Ｐの座標は④式です」Ｂ男「点Ｇと点Ｐのｙ座標の大小が➁式の相加相乗平均の不等式ですね」「そうです。確かに相加相乗平均の不等式になっていますね」Ｂ男「相加相乗平均の不等式はこのように解釈できるわけだ」Ｂ男「さらに具体的にn＝３の場合を考えてみます」Ｂ男「不等式の両辺の対数をとると➄式です」Ｂ男「➄式の右辺は三角形ＡＢＣの重心のｙ座標です」「そうですね。重心なのでグラフ下側の点になります。ここがポイントです」Ｂ男「凸関数の性質ですね。重心と同じｘ座標の曲線上の点Ｐの座標は➆式です」「ここから➅と➆のｙ座標の大小が➄式の不等式になるのです」Ｂ男「点Ｇが重心というところが面白いですね。n＝４でも確認してみます」Ｂ男「n=4はn＝３の場合と同じです。⑧式の右辺は四角形ＡＢＣＤの重心Ｇのｙ座標です」「重心は辺の内分点の交点のなので四角形の内部の点です」Ｂ男「だから凸関数の性質が使えるわけですね」Ｂ男「一般のnの場合も重心なので同じですね。見方が変わって背景が広がりました」「凸関数の性質を使うといろいろな不等式が見つかりそうですね」Ｂ男「また、いろいろ考えてみます」今回はここまで。次回をお楽しみに。
22Nov
- 「秘伝の数学」相加相乗平均➂
  相加相乗平均の不等式➂　こんにちは。今回は相加相乗平均の不等式についてさらに考えていきます。最初に一般（n）の場合の証明について前回とは別の解法で証明しましょう。「今回は相加相乗平均の別の解法を考えます」Ｂ男「まだ、方法があるのですか」「あります。いきなりだとわかりにくいので、具体例から考えよう」Ｂ男「やっぱり具体例からですね」「n＝３から始めます」Ｂ男「文字の置き換えをするわけだ」Ｂ男「置き換えをして、nの１つ小さい場合を示すわけですね」Ｂ男「n＝４からｎ＝３の場合も証明できるか確認してみます」Ｂ男「同様に文字の置き換えをすれば相加相乗平均の不等式はnからn-1の証明ができるわけですね」「そうです。あとは大きなnで成立することがわかればそれよりも小さい自然数で成立することになります。正確には数学的帰納法ですね」Ｂ男「なるほど。あとは大きなnで成立するかどうか」「この部分も具体例で考えてみましょう。n＝４の場合からです」Ｂ男「n＝４の場合、４つの和を２つの和に変えてn=2の相加相乗平均の不等式を使う。上手く示すことができますね」「次はn＝８の場合を考えましょう」Ｂ男「これも２つずつ分割して次々にn＝２の場合の相加相乗平均を使うわけだ」Ｂ男「だから２³なのですね。ということはnが２²、２³、……と２の指数乗の場合にも証明できるわけだ」「その通り。だから大きい２の指数乗のnについて成立するわけです」Ｂ男「考え方を整理してみます」「➅➆の考え方を使い一般の証明は数学的帰納法になります」Ｂ男「とても面白いですね。こんなことができるわけですね！」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
21Nov
- 「秘伝の数学」相加相乗平均➁
  相加相乗平均の不等式➁こんにちは。今回は相加相乗平均の不等式について一般の場合の証明を考えます。具体的な例から考えます。「今回は一般のnの場合の相加相乗平均について考えましょう」Ｂ男「どうすればいいですか」「以前、差を取り平方式にして証明しましたが、今回はグラフで考えてみましょう」Ｂ男「グラフなら、微分して関数の増減を調べてみます。ｎが２の時から考えます」Ｂ男「①式なので関数は➁とおき、増減を調べます」Ｂ男「ｆ（ｘ）≧０なので不等式は成立します。証明完了です」「次にn＝３の時を考えてみよう」Ｂ男「n＝2の時と同じように関数を置いてみます」Ｂ男「極小値（最小値）のところで０以上になればよいわけですね」Ｂ男「ここでn＝２のときの相加相乗平均の不等式が使われるわけですね」「n＝3でn＝２の時の相加相乗平均が使われるので、数学的帰納法が使えそうです」「もう少し調べてみよう。N＝４の時はどうなりますか」Ｂ男「n＝４の場合は、n＝３の時の相加相乗平均を使い最小値が０以上と示せました」「帰納法でできそうです。一般のnの時の証明を整理してみよう」Ｂ男「nについての数学的帰納法で証明します。n＝２の時は成立、ｎ－１の成立を仮定しておけばnのときの関数の最小値がn－１の不等式から証明できるので、すべての自然数で成立することになります」Ｂ男「証明がとてもうまく構成されていますね」「基本的な微分（ｘのn乗の微分）のみでここまでできるのは驚きですね」Ｂ男「具体例からの考察で一般が証明できたわけですね」　　今回はここまで。次回をお楽しみに」
20Nov
- 「秘伝の数学」相加相乗平均の不等式①
  相加相乗平均の不等式①こんにちは。今回は相加相乗平均の不等式を考えます。具体的に次の３つの問題を考えてみましょう。「今回は相加相乗平均の不等式を証明します」Ｂ男「文字の数が２，３，４の場合を考えるわけですね」Ｂ男「ｎが２の場合は簡単に証明できます。差を取ると平方式になります」「そうですね。それではｎが３の場合も同じ方針でできますか」Ｂ男「文字の置き換えをして、①式の変形となります」Ｂ男「①式は１変数の２次式として平方式に変形できます」Ｂ男「できました。ｎが４の場合もできそうです」Ｂ男「やっぱり文字の置き換えをするとわかりやすいと思います」「nが４の場合、別解のようにnが２の場合を2回使う方法もあります」Ｂ男「これは面白い方法ですね」「この方法は別の機会に発展させましょう」「ここからこの不等式を別の観点で調べてみましょう」「nが２の場合で不等式の両辺対数をとります」「対数のグラフで赤い部分の大小が相加相乗平均を表しています」Ｂ男「なるほど。これはグラフでの不等式の視覚的な理解ですね」「対数関数が上に凸である性質を利用しています」Ｂ男「nが３の場合はどうですか」「三角形ＡＢＣの重心Ｇのｙ座標と、対数関数のｙ座標の比較になります」Ｂ男「これも対数関数の凸性を利用しているわけですね」「これは一般のｎの場合に発展出来ます。課題としておきます」　　今回はここまでです。次回をお楽しみに。
18Nov
- 「秘伝の数学」点の回転移動
  点の回転移動の問題こんにちは。今回は点が回転して移動する問題を考えます。回転の問題には複素数が強力です。具体的な例題でみていきましょう。Ｂ男「近づく点の座標を式で書いてみます」Ｂ男「無限等比級数の和の公式で求まりました」「ｘ軸、ｙ軸交互に縮小するので比較的わかりやすいね」「複素数で解いてみよう」Ｂ男「複素数の積の性質を使うわけですね」Ｂ男「９０°回転で２分の一倍ですから……」Ｂ男「これも無限等比級数の和の公式を使うことになりますね」「それでは次の問題はどうですか」Ｂ男「毎回２分の１倍で６０°回転ですね。これもベクトルの成分表示で書き出してみます」Ｂ男「θ＝６０°とすると毎回２分の一倍で、偏角はθが加わるわけですね」「この計算はこのままでは少し大変です。では、複素数で考えてみましょう」Ｂ男「とてもわかりやすくなります。やっぱり無限等比級数の計算ですね」「回転で使われる複素数はわかりやすく強力です」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
16Nov
- 「秘伝の数学」正三角形の問題
  正三角形の問題こんにちは。今回は図形の正三角形の座標を求める問題を考えます。「△ＡＢＣが正三角形のとき、頂点Ｂの座標を求める問題です」Ｂ男「この問題、易しそうですがそうでもないですね」Ｂ男「正三角形なので辺の長さが等しいことを使う。距離の公式ですか」Ｂ男「できました。２次方程式を解くことになりました」「よくできました。それでは別解です。頂点Ｂは二つの図形の交点ですね」Ｂ男「円とＯＡの垂直二等分線の交点です」「そうだね。それぞれの方程式は求まるので、連立方程式を解けばよい」Ｂ男「解１の①式、➁式と同じですね」「次に角を使った方法はどうですか」Ｂ男「ＯＡを原点中心６０°回転ですね。３角比を使います」Ｂ男「加法定理の利用です」「いわゆる極座標の表現だね。これは複素数の極形式と同じです」「こちらの方がわかりやすいかもしれません。他の別解は？」Ｂ男「角を扱うのでベクトルですか。内積ですね」Ｂ男「いろいろな解法がありますね。とても面白いです」「最後にGeogebraで図形を書いて頂点Bを求めてみよう」Ｂ男「頂点Ｂの近似値は合っています。これも検算ですね」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
14Nov
- 「秘伝の数学」組み合わせの公式
  組み合わせの公式　こんにちは。今回組み合わせの公式についての内容です。今回は、公式を式変形からと場合分けの意味から説明します。「今回は①から④の組み合わせの公式を式変形、意味からの２通りで説明しよう」Ｂ男「証明を二つの観点で考えるわけですね」Ｂ男「（１）は簡単です。n個からr個選ぶのはn個から残りの（n―r）個選ぶことと同じです」Ｂ男「定義式が同じ形なので式からももちろん等しいです」「（２）はどうですか」Ｂ男「式変形が……」「通分をしてみよう」「意味はどうですか」Ｂ男「n+1人からr+1人を選ぶわけですね」「特定の人を選ぶか選ばないかで考えてごらん」Ｂ男「ああ、そういうことか。それで和になるわけですね」「（３）はどうですか」Ｂ男「計算はなんとかなりそうです」「意味はn人からk人のグループを選び、その中から代表１人を選ぶ」Ｂ男「最初に代表を選んでおいて残りnー１人からk―1人のグループを選ぶ」Ｂ男「これが同じわけですね」Ｂ男「意味からも証明できることはとても面白いですね」「別解といってもいろいろなわけです。（４）は課題としておこう」今回はここまで。次回をお楽しみに。
13Nov
- 「秘伝の数学」完全順列（期待値）
  完全順列➂（期待値）こんにちは。今回も完全順列数についての内容です。N枚のカードを一列に並べたとき一致する枚数の期待値を扱います。「Ｂ男くん、学校では席替えをよくするだろう」Ｂ男「ええ、席替えは僕たち高校生にとっては大きなイベントです」「ところで、くじ引きで席を決めると思うが、前と同じ席の人はいるかい？」Ｂ男「一人ぐらいですかね」「今日は前の席と一致する人の期待値を求めてみよう」Ｂ男「面白そうですね」「問題をはっきりさせよう」Ｂ男「これが完全順列の数に関係するのですか」「そうです。具体的に調べてみよう」Ｂ男「n＝４の場合を計算します」Ｂ男「あれ、期待値は１です。これはもしかして……」Ｂ男「もう少し計算してみます」Ｂ男「あれ、n＝５の場合も期待値は１です」「どうしてだろうね。①式を整理して考えてみよう」「その場合、公式➁を使います。後で証明はします」「公式➁を使うと結局分子は４枚のカードを並べる順列になります」Ｂ男「一致するカードの枚数で分けて順列の総数を出しているわけだ」「一般のnの場合も同じです」Ｂ男「何人いても前と同じ席の人の期待値は１人。ちょっと不思議ですね」「公式➁は次のように示される」Ｂ男「n人からＫ人を選びその中から代表１人を選ぶ数と考えても説明できますね」　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
12Nov
- 「秘伝の数学」完全順列➁（集合）
  完全順列➁（集合）　こんにちは。今回も完全順列の総数について考えます。前回は漸化式を用いて完全順列の総数を求めました。今回は別解を考えます。Ｂ男「ヨッシー先生、前回の完全順列の総数の公式で規則正しさが気になります」Ｂ男「何か背景にあるのでしょうか」「いい質問です。別解を考えると背景が見えてきます」Ｂ男「それでは別解を考えてみます」Ｂ男「集合の計算って何ですか」「和集合の要素の個数の公式は知っているね」Ｂ男「共通部分の要素の数を引く公式ですね」「そうです。実はその公式が完全順列の総数の公式の背景です」Ｂ男「えっ？そうなんですか」「順に整理して考えましょう」「nが４の完全順列の場合です。説明のように事象Ａ１，Ａ２、Ａ３，Ａ４を考えます」Ｂ男「１列目の数がその場所におかれる順列の事象？」「例えば３番目に３がおかれる順列からなる事象がＡ３です」Ｂ男「２番目に２がおかれる順列からなる事象がＡ２ですね」「そうです。この４つの事象を使って完全順列の総数を表します」Ｂ男「事象Ａ１，Ａ２，Ａ３、Ａ４の補集合の共通部分が完全順列を表す事象です」Ｂ男「確かに。n=４のときは、１の下に１が来ず、２の下に２が来ない、３の下に３が来ず、４の下に４が来ないのが完全順列ですね」Ｂ男「それで完全順列の総数は①式のようになるんだ」「次にその補集合の共通部分を求めるのにドモルガンの法則を使います」Ｂ男「補集合をとるとドモルガンの法則から➁式のように和集合になる」Ｂ男「それで➂式のように計算できるわけだ」「いわゆる余事象の個数を求める公式の利用です」「集合の和の公式を示します」Ｂ男「④式を使い完全順列の総数を求めるわけだ」Ｂ男「それで規則性のある式が出てきたんですね」「➅式で４つの集合から選ぶので係数に組み合わせＣが使われています」Ｂ男「約分できてそれで階乗が係数に残るんだ」Ｂ男「別解を考えると確かに背景が見えてきます」「多面的に物事を見る姿勢は数学に関わらず大切だと思います」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
11Nov
- 「秘伝の数学」漸化式の応用（順列）
  漸化式の応用（順列）　こんにちは。今回は漸化式の応用として順列の問題を考えます。漸化式を用いて完全順列といわれる順列の総数を求めます。Ｂ男「完全順列という言葉ははじめて聞きました」「攪乱順列とも言われる。総数はどのように求めるか」Ｂ男「漸化式を立てるのですか。全くわかりません」「具体例でｆ(n)を使って漸化式を考えてみよう」「１番目の１の下に２が来たとき、２番目の数は１か１以外である」Ｂ男「それはわかります。２番目の２の下に１が来たとき……？」「残りの３つは３，４，５の３つの完全順列になる」Ｂ男「なるほど。確かに。だから総数はf(3)通りなんだ」「次に２番目の下に１以外の数が来たとき３の下は３以外、４の下は４以外５の下は５以外の数が来る」Ｂ男「だから総数はf(４)通りなんだ」「１番目の下は４通りの数が来るので総数は①式のようになる」Ｂ男「わかりました。一般のnの場合も同じですね」「一般のnでは➁式のようになる」「次の課題はこの漸化式を解くこと」Ｂ男「これは大変です。でも頑張って理解してみます」「変形は少し複雑なので理解してもらえばいいですよ」「②式の両辺をn!で割る。変形すると③式になる」「さらにＰ(n)を定義して④式となる。④式はP(n)の階差の式である」Ｂ男「ここからnを下げて行くんですね」「そうだね。➄式が➅式になる」Ｂ男「Ｐ(n)の階差の公式から➆式となる」Ｂ男「⑧式となるわけだ。検算しても正しくなっています」Ｂ男「漸化式の強力さがわかりました」　今回はここまで。次回をお楽しみに」
10Nov
- 「秘伝の数学」漸化式の応用（倍数）
  漸化式の応用（倍数）　こんにちは。今回は漸化式の応用として倍数の問題を考えます。漸化式が強力に活躍します。「今回の課題は、以下の通りです」Ｂ男「（解１）は参考書によく載っています」「そうだね。念のためにやってみよう」Ｂ男「できましたが、何かわかった気がしません」「帰納法はよくわからないが、解ける場合がある。別解を考えてみよう」Ｂ男「漸化式ですか？２と３が特性方程式の解なので、作れそうです」Ｂ男「②式の漸化式が作れました。初項と第２項が７の倍数なので②式よりすべての数列の項は７の倍数になるわけですね」「漸化式が作れれば、ほとんど明らかになります」Ｂ男「類題が（Ｂ）ですね。漸化式をつくれば同様な問題が作れそうです」Ｂ男「漸化式ができれば後は初項と第２項が１３の倍数になるように係数を決めればよいわけですね。やってみます」Ｂ男「かなり見通しがよくできました」「別解を考えると原理がよくわかるね」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
09Nov
- 「秘伝の数学」漸化式の応用（定積分）
  漸化式の応用（定積分）こんにちは。今回は漸化式の応用として定積分を考えます。いわゆる１／６公式の拡張です。「今日は漸化式で定積分を考えます。今回の課題です」Ｂ男「④式なんてどうするんですか」「順に考えていこう」Ｂ男「➀式は展開してできます。グラフを平行移動して計算を簡単にします」「グラフを平行移動したわけだね。次の（２）はどうかな」Ｂ男「同様な考えでできます」Ｂ男「結局、（３）の形の積分ができればいいわけですね」（ｘ－β）のｍ乗の部分が問題です」「ここは部分積分で次数を下げよう。さらに漸化式の形で表す」Ｂ男「これは難しいです」Ｂ男「漸化式でｍをどんどん下げていくんだ」「もう少し変形しよう」Ｂ男「きれいな形になります」Ｂ男「これができたので④は平行に移動すればあとは同じ形の積分です」Ｂ男「➀式も➁式も成立しています」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。