秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち -30ページ目

秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち -30ページ目

ホームピグアメブロ

芸能人ブログ人気ブログ

08Nov
- 「秘伝の数学」漸化式を作る➁
  漸化式を作る➁こんにちは。今回も与えられた一般解を持つ漸化式を作ってみましょう。特性方程式の解が重解と３重解の場合です。「今回の課題です。今までの解の状況を頭に入れて考えてみましょう」Ｂ男「問題（１）は特性方程式でα、βが重解の場合ですね」「そうだね。特性方程式を作ってみよう」「それでは、実際に４つの解を持つことを確かめてみよう」Ｂ男「αの２つの解について確かめてみます」「αが重解なのでαの微分係数がゼロになる」Ｂ男「なるほど。重解の条件が使われるわけですね」「次に問題（２）を考えてみよう」Ｂ男「これはαが３重解の場合です。特性方程式を作ってみます」Ｂ男「計算で確かめてみます」Ｂ男「確かめることができました」「問題（３）は特性方程式が２を３重解に持つ場合の漸化式です。解をのせておいたので自分で計算してみましょう」　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
07Nov
- 「秘伝の数学」の原点、５０年前の父の遺言
  「秘伝の数学」の原点　　５０年前の父の遺言　先月、車庫を整理していて５０年前の父の遺言が見つかった。当時、４８歳の父は膵臓を悪くして入院、がんによる死を確信して家族宛に書いた遺言だ。当時の家族は母、兄弟３人、祖母の６人でそれぞれに宛てたものだ。　私は次男でかなりやんちゃだった。以下は当時、中学１年の私に父が書いた遺言だ。「よく叱ったな。けれどパパは義実が憎くて叱ったのではない。三人同じように大切なパパの子どもだ。義実はすこしやんちゃなだけでとても明るい子どもだ。義実はこれから高校、大学だというのにパパが死んでしまって大学に行けなくなるかも知れない。もしも、そんなことになっても、悲しまずに高校から就職してくれ。今は人が足りなくて高校を出てすぐに就職する人は引っ張りだこの時代だから、真面目に一生懸命働けばそれでも十分に幸せになれる。変な大学を出た方が就職口が少ないくらいだ。　でも、小さい義実にこんなことを言うのは本当にパパはつらい。しかし、我慢するときには我慢するのだ。人生は苦しいことの方が多い位なのだ。　義実には正実兄ちゃんにやったように、幾何を教えてやりたかった。もっと釣りや旅行にも家族と出かけたかった。でもパパは自分が死ぬのが近いことを知ってから家族のために一万円でも多く貯金をすることに精一杯でなかなか思うようにならなかった。残念だ。　昔、伊良湖に行く道で「海が広いな大きいな」という唄を今パパは思い出している。ママを大切に、家族団結して生きていってくれ。きっと２０年も先には義実に幸せな人生が来るように祈っている」　父はがんではなく回復した。しかし、経済的な危機感からか人が変わったように働き始めた。その影響かわからないが、私は父からあまり数学を教えてもらった経験はない。しかし、心から数学を楽しんでいた父の様子は体に染みついている。　父の数学は独自のアイデアから創造するものだ。父の精神は私の数学の精神となって今も生き続けている。「秘伝の数学」の原点である。
06Nov
- 「秘伝の数学」漸化式を作る➀
  漸化式を作る➀こんにちは。今回は与えられた一般解を持つ漸化式を作ってみましょう。課題として４つの問題を考えましょう。「順に解いていこう。Ｂ男くん、（１）はどうですか」Ｂ男「第ｎ項と第(n＋１)項を考えるわけですか」「そうだね。そこから漸化式を作ればよい」Ｂ男「等比数列なので当たり前の式といえます」Ｂ男「同じ考え方で（２）もできそうです」「では、やってみよう」「もう少しだね。あとは➂式に代入すればよい」「一般の形で漸化式を導いてみよう」Ｂ男「同じ考えで変形すればいいですね」Ｂ男「具体例から特性方程式が導かれました」Ｂ男「問題をいろいろな方面から考えると原理がより理解されるんですね」Ｂ男「（４）もやっておきます」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
05Nov
- 「秘伝の数学」隣接４項間の漸化式➁
  隣接４項間の漸化式➁こんにちは。今回も隣接３項間、４項間の漸化式について考えてみましょう。前回は特性方程式が異なる解を持つ時を考えました。今回は重解を持つ時を考えましょう。「Ｂ男くん、前回の漸化式は難しかったね」Ｂ男「はい。ただ、解法を覚えると言うより、漸化式の解の状況がわかったのでよかったです」「理解は、原理から深く入りたいですね。今回は重解の場合です」「具体的な課題を見てみよう」Ｂ男「➀の漸化式から解いてみます。２のｎ乗が解とわかりますが後がわかりません」「➀式をまず解いてみよう」Ｂ男「両辺を２の(n＋２)乗で割って解きました」「階差が１になり、上手く解けましたね」Ｂ男「解は２のｎ乗とn✕２のｎ乗です。どうも重解はn乗をn倍するようです」「それでは➁の漸化式をその仮説から解いてみよう」Ｂ男「初期条件に合うように係数を決定します」Ｂ男「出るには出ましたが、正しいかわかりません」「それでは正しいことを証明してみよう。➃式が漸化式を満たしていることを示そう」「方法１はすぐにわかるね。方法２は解から漸化式を作る」Ｂ男「へえ、そんなことやるのは初めてです」Ｂ男「計算なので確かめてみます」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
04Nov
- 「秘伝の数学」隣接４項間の漸化式
  隣接４項間の漸化式➀こんにちは。今回は隣接２項間、３項間、４項間の漸化式について考えてみましょう。「Ｂ男くん、漸化式は解けますか」Ｂ男「隣接２項間と３項間の漸化式は解いたことがあります等比数列の形に変形して解きました」「それでは、具体例で確認していこう」Ｂ男「隣接２項間の漸化式はそのまま等比数列の形です」「公比がｒでｒのn乗の項を持つね」「次に隣接３項間の漸化式だ。具体例で考えよう」Ｂ男「これも等比の形に変形して解きます」「２のｎ乗と３のｎ乗を項に持つ。この二つは特性方程式の解だね」「この考え方から隣接４項間の漸化式を解いてみよう」「特性方程式の３つの解に対して、それぞれのｎ乗が解になっている。一般解は➃式のように係数倍をつけた和の形になる。係数は初期条件で決まる」Ｂ男「３項間の場合のように等比の形に変形してできませんか」「もちろんできます。以下の通りです」「特性方程式の解をα、β、γとする」「➄の等比の形から➅式になる。そこから➆式となる」Ｂ男「等比の形が複雑になりますね」「いずれにしても一般解は特性方程式の解のｎ乗から作られるわけです」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
02Nov
- 「秘伝の数学」因数分解をグラフで解く
  因数分解をグラフで考えるこんにちは。今回は因数分解についていろいろな観点で考えてみましょう。Ｂ男「ヨッシー先生。何ですか、このグラフは？」「ｘ³+y³＋a³－3xya=Kのグラフです。このグラフで因数分解を考えます」Ｂ男「x³+y³＋a³－3xya=(x+y+a)(x²＋ｙ²＋a²―ay-ax-xy)ですね」「そうだね。グラフで考えてみよう」Ｂ男「いったいグラフでどう考えるのですか」「左辺と右辺のグラフを描いて同じグラフであることから示す」Ｂ男「なるほど。グラフが重なればいいわけだ」「最初に因数分解の式x³+y³＝（x+y）(x²-xy＋ｙ²)をグラフで示してみよう」Ｂ男「確かにk＝aのときグラフは一致しています」「次にx³+y³＝０のグラフとx³+y³-(x+y)=0のグラフを描いてみよう」Ｂ男「因数分解の影響で後半のグラフは直線と楕円形になるんだ」「グラフソフトが因数分解をしているわけですね」Ｂ男「これも面白いですね」「さらにGeogebraで３次元のグラフを描いてみよう」「平面ｚ＝３．６の切り口が右側の２次元のグラフになっています」「他の例をやってみよう」Ｂ男「見事に直線に分かれています。こんな確認の仕方があるんですね」「それではx³+y³＋a³－3xya=(x+y+a)(x²＋ｙ²＋a²―ay-ax-xy)について左辺のグラフと右辺のグラフを描いて確かめてみよう」Ｂ男「これも見事に一致しています」「最後に右辺を０として考えてみよう」Ｂ男「左の場合は直線と点、右はそうならないようにx+y+aを引いて直線と楕円に分かれるようにしてありますね」「因数分解の結果がグラフの分離として表れるわけですね」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
01Nov
- 「秘伝の数学」虚数のルート
  虚数のルートについてこんにちは。今回は虚数のルートを考えます。Ｂ男「ヨッシー先生。複素係数の２次方程式の質問がありました」「解法は実数係数の２次方程式と変わりません」Ｂ男「質問です。ルートの中が虚数の場合、どのよう考えたらよいですか」「わかりました。今回はルートの中が虚数の場合を具体例で考えてみよう」Ｂ男「➀と➁の連立方程式を解けばいいんですね」「そうだね。解けますか」Ｂ男「１文字にして解けば出来ると思います」Ｂ男「できました！」「他に何かすることは？」Ｂ男「検算ですね。実際に➂式両辺を二乗して検算します」「さらにドモアブルの公式を使った別解で求めてみよう」「➃式の両辺２乗して変形を進めてみよう」Ｂ男「半角の公式を使いできました」Ｂ男「連立方程式の解は、２つのグラフの共有点を読み取っても数値解は求まります」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
31Oct
- 「秘伝の数学」相加相乗平均の不等式
  相加相乗平均の不等式についてこんにちは。今回は基本の相加相乗平均の不等式について考えてみよう。Ｂ男「相加相乗平均の不等式はよく知っています」Ｂ男「証明も簡単です。ここから何をするのですか？」「グラフを使って不等式の意味について考えてみよう」Ｂ男「グラフから不等式を考えるわけですね」「ｘ＋ｙ－2√xyが正になるわけなので、この値をＫとおいてみよう」Ｂ男「Ｋ＝0.5のときのグラフです。Ｋは０以上の値を取るわけですね」「そうだね。ｋの値を０から変えてグラフを描いてみよう」「このグラフから何がわかるか」Ｂ男「ｋの値を正の範囲で変えると、グラフは第一象限を通過します」「そうだね。厳密な証明はしていないが、正のｘ、ｙに対して０以上の値ｋが対応するわけだ」Ｂ男「言い換えるとｋは正のｘ、ｙに対して０以上の値をとる、すなわち不等式は０以上になる」「そういうことだね。ちなみにグラフは放物線。計算で確かめるとよい」Ｂ男「わかりました」Ｂ男「Geogebraは３次元のグラフも書けます。この式をｚとおいてグラフをかいたら？」「いいことに気がついたね。早速３次元のグラフを描いてみよう」Ｂ男「図形はｘｙ平面に接していてｚの値は０以上です」「さらに相加相乗平均の係数２を変えたグラフを描いてみよう」Ｂ男「ｍ＝２のときｋの値を変えると第一象限でグラフが変わります。他のｍの場合はｋの値を変えても第一象限すべてでグラフが変わるわけではないようです」いろいろな見方をすることは数学では極めて大切です。自由に思考するわけです。　今回はここまで。次回をお楽しみに。
30Oct
- 「秘伝の数学」
  Aｘ²+Bxy+Cy²=Kについてこんにちは。今回は前回の式を一般化したAｘ²+Bxy+Cy²=Kについて考えてみましょう。Ｂ男「この形も楕円形になるんですか」「Ｋ＞０で楕円形です。そのことを具体例を標準形に変形して考えてみよう」Ｂ男「回転すると標準形になるんですね。回転角が問題です」「ここで、点を原点中心θ回転したときの関係式を復習しよう」Ｂ男「加法定理を使います」「それでは２ｘ²―ｘｙ＋ｙ²＝ｋを原点中心θ回転したグラフの方程式を求めよう」Ｂ男「➁式になります」「標準形になるためにはどうなればよいか」Ｂ男「ｘｙの項が０になればいいです」「そうだね。それでは計算してみよう」Ｂ男「結局➂式を満たすθ回転をすればいいんだ」「今の場合はθ＝π／８で回転すればよい」Ｂ男「Geogebraでグラフを描いて確認します」Ｂ男「長軸、短軸の長さも正しくなっています。グラフソフトは確認用にも強力ですね」「今の時代、グラフソフトで実験や確認しながらの数学学習は当たり前です」　それでは、今回はここまで。次回をお楽しみに」
29Oct
- 「秘伝の数学」不等式ｘ²-xy+y²≧0について
  不等式ｘ²-xy+y²≧0についてこんにちは。今回不等式ｘ²-xy+y²≧0について考えてみましょう今回の課題は、不等式です。「Ｂ男くん、不等式ｘ²-xy+y²≧0は証明できますか」Ｂ男「ｘについての２次式と考えて、平方完成します。式変形は簡単です」「そうだね。今回はこの２次式をグラフで考えてみよう」Ｂ男「グラフですか。どうしますか」「ｘ²-xy+y²＝ｋとおいて、Ｋの値を変化させよう」Ｂ男「Geogebraなら、Kの値を変えてグラフが簡単に描けます」「それでは描いてみよう」「これから何がわかりますか」Ｂ男「えっ？Ｋが負だとグラフがありません」「どういうことですか」Ｂ男「この場合は、実数x、yが存在しないんだ」Ｂ男「Ｋ＝０で原点のみ。Ｋ＞０で楕円のようなグラフになります」「いずれにしても何がわかりますか」Ｂ男「Ｋは０以上の値しか取らないと言うことです」Ｂ男「存在しないとグラフが消えてしまうのですね。これは面白い！」「グラフが楕円であることも確かめてみよう」「対称性やグラフから、グラフを原点中心―４５°回転すると標準形になりそうだね」Ｂ男「座標変換でー４５°回転すると楕円の標準形になります」Ｂ男「標準形を４５°回転した楕円だったんだ」「立体表示もしてみよう」Ｂ男「えっ、どうするんですか」「Geogebraには３次元グラフを描く機能がある。Z=ｘ²-xy+y²のグラフをいろいろな方向から描いてみよう」Ｂ男「確かにＺ≧０ですね。これも面白い」今回の内容はすべてスマホのGeogebraアプリで簡単に描けます。是非、普段の学習に活かしてくださいね。　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
27Oct
- 「秘伝の数学」cosnθの多項式性➁
  cosnθはcosθの多項式こんにちは。今回もcosnθはcosθの多項式であることを証明します。Ｂ男「前回は数学的帰納法で証明しました」「今回は複素数で考えてみよう。ドモアブルの定理を使おう」Ｂ男「ということは、n乗の計算をするのですか」「そうです」Ｂ男「わかりました。具体例から計算してみます」Ｂ男「もう少し進めてみます」Ｂ男「そうか。(isinθ)の偶数乗は実部に、奇数乗は虚部になるんですね」「仕組みがわかれば簡単だね」Ｂ男「整理してみます」Ｂ男「帰納法の証明ではよくわからなかったのですが、複素数でよくわかりました」「別解法を考えると深い原理の理解のつながる」今回はここまで。次回をお楽しみに。
26Oct
- 「秘伝の数学」cosnθの多項式性
  cosnθはcosθの多項式こんにちは。今回はcosnθはcosθの多項式であることを証明します。Ｂ男「ヨッシー先生、cosnθはcosθの多項式であるとはどういうことですか」「具体例で考えてみよう。例えばcos2θ、cos3θはどうなる？」Ｂ男「多項式になりそうです」「証明について考えてみよう」Ｂ男「nが自然数なので数学的帰納法はどうですか」「それでは、やってみよう」Ｂ男「sinnθの仮定が必要です。具体的に調べてみます」Ｂ男「➀式の仮定が必要です。ｇは多項式ですこれで多項式の証明ができそうです」Ｂ男「sinθの方の証明で完成です」Ｂ男「できました」「よくできたね。それでは……」Ｂ男「別解ですか？考えてみます」　　別解は次回です。お楽しみに。
25Oct
- 「秘伝の数学」積分の面積公式②
  積分の面積公式➁こんにちは。今回は前回に続き積分の１／６面積公式を扱います。「前回に引き続き、面積計算をしてみましょう。今回は有名なアルキメデスの方法です」Ｂ男「この前は区分求積法をＣ太郎に自慢してやりました」ところで、今回の方法は、難しいのですか」「いや、長方形の代わりに三角形の面積を足していく考えだよ」Ｂ男「三角形を加えていくのですか」「そうです。次の図を見てください」「今から放物線とＡＣで囲まれた面積が（１／６）（β―α）³であることを示そう」Ｂ男「放物線上の点Ａ，Ｂのｘ座標がα、βですね」「点Ａ、Ｂから接線を引き、交点をＢとする。点Ｂのｘ座標は中点（α＋β）/2となる」Ｂ男「どうしてですか」「接線を作り、交点を求めればわかる」「さらに△ＡＢＣの面積（➁式）、△ＡＰＣと△ＡＢＣの関係式を求めてみるとよい」Ｂ男「△ＡＰＣは（１／８）（β―α）³となりますね」「今、ＡＢを辺として三角形を作ったが、同じようにＡＰ，ＰＣを辺として点Ｐから接線を引き、２つの三角形を作るわけだ」Ｂ男「これを繰り返して、三角形を敷き詰めていくわけだ」「前の三角形から（１／８）の面積の三角形が２倍の個数出来るので合計すると（１／４）倍の面積の三角形が加わることになる」Ｂ男「なるほど。面積（1/4)倍で加わっていくわけだ。等比無限級数ですね）「そうだね。計算はもう少しだ」Ｂ男「鮮やかですね。いろいろな方法があるわけだ」「積分計算ではあっという間かもしれないが、別解を考えるととても興味深い」Ｂ男「三乗の意味がわかった様な気がします」今回はここまで。次回をお楽しみに」
24Oct
- 秘伝の数学「面積の積分公式」
  積分の面積公式➀　こんにちは。今回は積分でよく使われる面積公式を扱います。Ｂ男「ヨッシー先生、面積の積分公式についての質問です」「面積の積分公式とは？」Ｂ男「友人のＣ太郎君に聞かれました。例の１／６公式です」「どんな質問ですか？」Ｂ男「公式の証明です。計算が少し複雑ですから」「わかりました。それでは問題をはっきりさせよう」Ｂ男「積分の式変形での証明ですが、工夫して簡単にできませんか」「それでは、次のように問題を変形して考えてみよう」Ｂ男「どうして、この面積でよいのですか」「次の図を見てみよう」「実質、斜線部分の面積を求めればよい」Ｂ男「そうか、放物線とｘ軸の交点が原点になるように平行に移動するんですね」　面積は同じで、計算はかなり簡単になります」「それでは、➁式を計算してみよう」Ｂ男「簡単にできました。Ｃ太郎に自慢できます」Ｂ男「「秘伝の数学」としては別解も考えたいです」「それでは、面積計算からの別解で求めてみよう」Ｂ男「面積って、積分ではないのですか」「長方形の和にして、積分計算を行う」Ｂ男「いわゆる区分求積法ですね」Ｂ男「この計算で証明できますか」「とにかく長方形の和の式を導いてみよう」Ｂ男「Σの公式を使い、最後は極限計算か」少し計算が大変ですが面白いです」「次回はさらに面積計算の工夫をしてみよう」　　今回はここまで。次回をお楽しみに
23Oct
- 「秘伝の数学」内角の等しい多角形➁
  内角の等しい多角形➁こんにちは。今回も前回に続き内角の等しい多角形について考えましょう。前回は内角の等しい六角形について辺の関係式考えました。今回は内角の等しい５角形、８角形について辺の関係式を考えます。最初に５角形について考えます。図はGeogebradeで描いたものです。ｎ＝５の場合は平行四辺形ができません。式変形で辺の長さの関係式を出してみましょう。ベクトルの関係式を複素数で表してみます。赤の関係式が辺の関係式です。Geogebraでは辺の長さも求まるので、数値計算で赤の計算式を確認できます。さらに内角の等しい８角形について考えてみましょう。偶数角形の場合は、図の様に平行四辺形が作られます。（四角形JKLMなど）辺JM＝KLから辺の関係式が求まります。これをベクトル（複素数）で確認してみましょう。➀式と➁式は同じになります。回転に関する表現では複素数は強力です。結局nが偶数の時は平行四辺形が作られ、辺の関係式が作られます。今回はここまで。次回をお楽しみに。
22Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び方⑨
  数学の学びについて⑨こんにちは。今回はいままでお伝えしたことをまとめてみましょう。➀基本の原理を理解する。➁基本問題で原理を理解する。➂問題を拡張する。（問題を作成する）➃別解を考える。⑤定理、公式を導く。今回は高校入試で出題された問題を例にして考えてみます。内角が等しいので、それぞれの外角も等しくなり60°となります。これが、基本原理です。角が図の様になり、対辺が平行になります。平行四辺形となり、辺の関係が求まります。この問題を拡張させましょう。内角の等しいn角形では辺の関係はどうなるでしょうか。　問題を広げる前にn＝5の場合の別解を考えます。各辺が等しい角だけ回転して元の辺になるので、ベクトル（複素数）で考えます。複素数で回転を表すベクトルを表現します。実部と虚部を比較して辺の関係式が求まります。複素数で関係式を表すと、一般のｎの場合に拡張できます。ところでn＝3の場合は正三角形になります。各辺は等しくなります。内角が等しくない一般の場合の三角形の辺の関係はどうなるのでしょうか。　これも問題作成です。何と、実部と虚部の関係式から正弦定理と余弦定理が導かれます。二つの基本定理が同時に表れるのはとても面白いですね。　今回はここまで。次回をお楽しみに。
21Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び方⑧
  数学の学びについて⑧　こんにちは。今回は問題を作ることについて考えます。自ら公式や問題を考え出す、深い思考力が身に付く　次の問題を作るレベルは、新作問題です。新作とはいかなくても単純な数字を変えただけではないレベルの問題です。　まずは教科書の例題で作ってみましょう。基本の問題で、問題を作成する。数字を変えただけのレベルからはじめてもOKです。このレベルのでも解けない問題ができる場合もあります。それも貴重な学習の機会となります。　次に問題の基本原理を使った応用問題を作成するのです。これも原理から考える必要がありますが、とても面白いものです。応用問題は基本問題の組み合わせです。場合によっては難問になりますが、原理の理解は抜群に進むでしょう。　さらに疑問に思ったことは問題にしてみるのです。学問とは、問いを学ぶことなのです。違和感がある、あるいは腹に落ちない事柄には何かが隠されています。その事柄を問題にしてみるのです。深い思考につながります。このような問題作成は問題作成者の立場がわかり、問題の背景が見えてきます。　問題が発展すれば、定理や公式となります。定理や公式は覚えて使うものですが、自分で創り出せれば素晴らしいでしょう。これほどの喜びはないでしょう。ほとんどの人は問題作成までやっていないと思います。　具体的な例で説明します。三角形の三辺の長さからの面積を求める問題です。AB=6,BC=5,AC=3の三角形の面積を求めます。さらに問題を一般化します。辺の長さをa、b、cとして面積を求めます。（基本問題の作成）ヘロンの公式が導かれました。（応用問題）さらにここから正弦定理、余弦定理を導いてみましょう。それぞれの式から余弦定理、正弦定理が導かれます。（問題の発展から定理導出）具体的な問題を解き、さらに問題を発展させて定理、公式を導きました。ヘロンの公式を覚えているだけですと発展が余りありません。問題作成をして考察を深めれば、理解もより進みます。具体例から問題を作成して、思考力を磨いていきましょう。今回はここまで。次回をお楽しみに。
20Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び方➆
  数学の学びについて➆こんにちは。今回は数学が好きになる方法を考えます。数学が好きになり問題を解きたくなる、そのための方法とは？好きになる方法➀計算力を鍛える好きになる方法➁別解を考える好きになる方法➂問題を作る好きになる方法➀計算力を鍛える数学を行うためには計算力が必要です。計算力は人の動きで例えれば、足腰の力に相当します。足腰が強くなければ何もできませんよね。数学の場合は計算力が足腰の強さに相当します。ここを鍛えれば相当のことが可能となります。あまり考えなくても、計算力だけでもテストの得点は大きく上がるでしょう。計算力も考えながら鍛えれば楽しく身につきます。好きになる方法➁別解を考える数学は自由に考えることを大切にします。答えは一つですが、解法は工夫次第で無数にあるわけです。自由に考える方法として、別解を考えることがあります。「そんなこと言われても無理」と思ったあなた。そんなことはありません。原理が理解されていれば、そこから別解を考えることは可能なのです。だから原理の理解は大切なのです。別解が考えられるようになれば、次のレベル➂が待っています。楽しくて仕方ないレベルです。好きになる方法➂問題を作る次のレベルは問題づくりです。問題作りにもレベルがあります。最初のレベルはよくある問題の類題の作成です。数字を変えるだけでも問題はできます。ところが、問題によっては答えが出なくなります。実はこのレベルの問題作成も思考力が鍛えられます。しかし、原理の理解には非常に有効です。例）　点と直線の距離の公式計算力を用いた解答と別解も考えます。この公式は点と直線の最短距離を求めるモノです。実際に距離の最小値を求めてみましょう。解1）ここからが計算力が問われます。➁を平方完成します。大変な計算でした。平方完成から点と直線の距離の公式が導かれます。別解を考えてみましょう。AP⊥直線　のとき最小となります。この数学的な性質により計算が大幅に減ります。APの傾きは直線に垂直なので m=b/a　となります。この傾きを使うと次のようになります。定数Kが求まれば、三平方の定理からAPが求まります。計算力があれば、大変な計算であっても、結果が出ます。さらに数学的な原理（垂直性）を使い別解を考えます。工夫するわけです。このような計算や思考ができるようになればあなたは数学の虜になっているでしょう。今回の内容を是非実践してくださいね。　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
19Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び方➅
  数学の学びについて➅こんにちは。今回も定理が拡張される例を見てみましょう。　今回扱うのは、二等分線の比の問題です。内角の定理と外角の定理の二つがありました。内角の定理から外角の定理が自然に拡張される様子を見てみましょう。最初に、二等分線の定理を復習します。　内角の二等分線と外角の二等分線の二つの定理があります。証明をしてみましょう。三角形の面積比で証明します。二つの証明はまったく同じです。角が同じことを面積比で捉えています。次に別解として比を文字で表して証明してみましょう。比をＡＥ：ＥＢ＝ｓ：（1－ｓ）とおきます。ベクトルで証明します。cosθが等しいことを内積で表現します。さらに、計算を進めます。ここで、外角の場合をどう考えるのか（拡張するのか）OAベクトルの逆ベクトルを考えるのです。－のベクトルでも同じ関係式になるわけです。ただ、角は内角から外角に変わります。自然な形で定理が拡張されました。なぜ外角かもよく理解できます。　別解を考えるとより理解が進み、納得できるようになります。　　今回は、ここまで。次回をお楽しみに。
18Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び⑤
  数学の学びについて⑤こんにちは。今回は定理が拡張される例を見てみましょう。前回は創造を生み出す知識の大切さをお伝えしました。今回は問題の拡張です。内分、外分を例にして考えてみます。（ア）はＡＢの内分点のＤ、ＡＣの内分点のＥです。対して（Ｂ）はＡＢの外分点のＤ、ＡＣの外分点のＥです。どちらもメネラウスの定理は成立します。どのように考えればよいのでしょうか。最初に定理の証明を考えてみましょう。点Ｃを通りＤＦに平行な直線を引きます。いずれもＡＢ上に比が移ります。証明はまったく同じです。証明は出来ていますが、いまひとつはっきりしません。異なる図の場合もあり、どのように説明したらよいのでしょうか。一つの方法として内分、外分を統一的に扱うために比を文字で表します。ＡＰ：ＢＰ＝ｓ：（１－ｓ）とおきます。　ｓの値により内分、外分の両方が扱えます。この表現で比を表し、メネラウスの定理をベクトルで証明してみましょう。➀、➁、➂を使い、点ＦのＡＢ上の比を求めればよいのです。　この証明は内部、外分両方の場合に適用されます。比を文字で表すことにより、より一般的な条件で説明できたのです。問題が拡張されれば、定理はより深く理解されます。　今回はここまで。次回をお楽しみに。