秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち -31ページ目

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17Oct
- 「秘伝の数学」数学の学びについて➃
  数学の学びについて➃こんにちは。今回は数学の楽しさや魅力について数学を本格的に学ぶことの楽しさと魅力とは　前回は原理を学ぶことの大切さをお伝えしました。本格的に学ぶこととは原理を学ぶことです。では原理を学ぶとどのような楽しさや魅力があるのでしょうか。楽しさと魅力➀覚える知識量が減る楽しさと魅力➁圧倒的に速く知識が吸収できる楽しさと魅力➂新しい知識を創り出せる楽しさと魅力➃数学の理論体系に感激できる楽しさと魅力➀覚える知識量が減る数学の原理が理解できれば、新しい知識はその原理から導かれます。したがって知識がさらに増え結果的に速く学習できるわけです。例）　傾きｍ、点（a、b）通る直線の方程式傾きの意味がわかれば公式　ｙ＝ｍ(x-a)+b　は当たり前の式となります。曲線の接線を求める公式も上の公式と同じです。　いろいろな知識はそれぞれ関わりがあり、バラバラになっていません。知識を結びつけるのが原理です。楽しさと魅力➁圧倒的に速く知識が吸収できる知識の結びつきがわかれば内容がシンプルになり知識吸収は速くなります。同じ原理で同じことを行っていることがわかるので理解が速くなります。速い人なら１年間で学ぶ内容が数ヶ月ほどで終了します。時間的な余裕ができれば、自由に考える時間ができます。自由に考える時間は思考力を鍛えるために必要です。楽しさと魅力➂新しい知識を創り出せるこのように原理がわかり、圧倒的に速く知識が吸収できれば、時間的な余裕が生まれます。時間的な余裕は、自由な思考を保証する条件です。例）図形でメネラウスの定理があります。証明は、中学校で学ぶ比の知識を使います。この定理は高校で学ぶベクトルでも証明できます。ベクトルで証明すると、内分から外分へ比を拡張した定理が出来ます。比を文字でおき、内分、外分を統一して扱うのです。これはベクトルという知識により定理の拡張ができる例です。問題が解けるだけではなく、新しい知識も生み出されます。これが達成できれば、小さな創造をしたわけで、ものすごい喜びとなります。経験した人はよくわかると思いますが創造性は喜びにつながります。学びが創造に、さらに感激に変わるわけです。知識を生み出すことは、実はものすごいことなのです。続けていけば無限に広がり続けるわけですから。喜びの源泉は創造性にあります。楽しさと魅力➃数学の理論体系に感激する知識には関連性があり、原理がわかれば知識を創造することにつながることをお伝えしました。知識は広がるわけです。知識が広がれば理論となります。理論は数学そのものです。この理論は多くの人々の努力により体系化されています。美しい建築物と同じように美しい理論が作り出されているのです。小さな創造を繰り返すことにより、理解力が高まり、理論の素晴らしさを理解できるような力も身につきます。理論に感激できるようにもなります。これは高校段階の数学でも変わりません早い段階でこの感激を味わえば、数学は間違いなくあなたのものになるでしょう。今回はここまで。次回をお楽しみに。
16Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び方➂
  数学の学びについて➂こんにちは。今回は定理や公式の拡張について数学の定理や公式を拡張、発展させる今回は公式や定理を拡張してみましょう。原理を学ぶことにより公式や定理の拡張が出来るのです。内積を使った次の問題を考えてみます。まず、中線定理の証明を考えてみましょう。内積を使って変形します。➀式、➁式で気がつくのは、➀＋➁で内積の項が消えています内積の項が消えるように定数倍を掛けれて加えればよいのです。次の問題を考えてみましょう。この場合はどうでしょうか。大きさを内積計算から求めてみましょう。➁式を３倍して➀式を加えれば関係式が求まります。（赤色の式）簡単な原理で公式が作れるわけです。さらにＡＢをｍ：nに内分した点Ｅについてはどのような式になるでしょうか。同じように内積の項が消えるように定数倍しています。原理さえわかれば簡単です。問題を解くだけではなく発展させたわけです。これが「秘伝の数学」です。問題が作成できれば面白さは倍増します。さらに数学を楽しんでください。　今回はここまで。次回をお楽しみに。
15Oct
- 「秘伝の数学」数学の学び方➁
  　数学の学びについて➁　こんにちは。今回も数学の学びについて、原理理解の大切さを学びます。・数学を学ぶ上で原理を理解することの大切さ大切な考え方数学を学ぶとは基本事項の原理を理解すること　今回は原理理解の大切さを具体例で紹介します。次の問題を考えてみましょう。内積を求める問題です。どのような解答を考えるでしょうか。多くの生徒さんは余弦定理を用いた解答で解きます。　もちろん、正解です。次のような解答はどうですか。実はこちらの解答の方が自然なのです。どうしてでしょうか。それは、内積という記号がどのような原理から使われているか考えればいいのです。➀式と➁式を比較してください。➀と➁は同じ式です。同じ式になるように内積記号を定めたと言っていいでしょう。言い換えれば２乗の展開式で余弦定理が求まるのです。公式を特別に覚える必要はありません。　次の問題を考えてください　それぞれの解法で考えてみましょう。できたら解答の比較をしてみましょう。　どうでしょうか。余弦定理利用は方針だけ示しましたが、かなり面倒です。一方、内積利用は展開の公式を使うだけです。余弦定理が組み込まれた内積記号の素晴らしさがわかるのではないでしょうか。　内積は余弦定理の原理から使われているので、これは当然なのです。深い原理の理解があると、思いつきではなく内積計算の利用になると思います。　原理が深まれば、新しい公式や定理が君たちの手で作り上げることも可能なのです。　今回はここまで。次回をお楽しみに。
14Oct
- 「秘伝の数学」数学の学びについて➀
  数学の学びについて➀こんにちは。今回は数学の学びについてヨッシーの考え方を紹介します。・数学を学ぶ際に是非押さえておきたい大切な考え方大切な考え方➀　数学を学ぶとは基本事項の原理を理解すること➁　問題は基本問題を解くこと（教科書の例題レベル）➂　問題を解くときは、解法の前提となる考え方や原理を理解すること概要数学は原理を理解することにより、発展が可能となります。この部分がおろそかになると、応用が効きません原理が理解できれば、覚えることも最小です。公式も自分で作れます。問題も自分で作れます。原理を理解することです。➀　数学を学ぶとは基本事項の原理を理解すること原理がわかっていないと時間ばかりかかり、問題も解けません。「問題集の問題は多いな。これを全部解かないといけないのかな...」「テストまでにできるかな...」「覚えた方が速い。よくわからないけど解答を覚えよう...」原理がわかっていれば、問題は全部解く必要はありません。時間短縮が大幅に出来ます。テストにも間に合います。原理理解を実践すれば結果的に速く学習できます。➁　問題は基本問題を解くこと（教科書の例題レベル）「応用問題が解けるようになりたい」、「楽しく学びたい」そう思って学習に取り組んでいるはずなのに、「難しくてよくわからない」「よくわからないので時間がかかりすぎる」こんな勉強をしていたら毎日つらいですよね。　この様な悩みは学習者のモチベーションを奪い、余裕を失わせ、パフォーマンスを低下させます。原理に直結する基本問題にしっかり取り組めばよいのです。基本問題を解いて完全に理解することは原理の根本理解につながり、非常に大きなメリットがあると断言できます。基本問題に取り組みましょう。➂　問題を解くときは、解法の前提となる考え方を理解する例えば高校数学では、１年次に因数分解の問題があります。原理は式を整理するだけです。たったこれだけで多くの問題が解けます。また最大最小の問題も多くあります。グラフを描いてｙの値の最大値を求めればよいのです。原理はグラフをかいて求めることです。原理はシンプルです。解法の原理を理解すれば簡単に問題が解けるようになります。数学の学習は、原理の理解を最優先します。基本問題は原理からできています。応用問題は基本問題の組み合わせにすぎないのです。この学習法を継続すれば勉強時間も圧倒的に少なくなります。その理由は、原理を使えば同じ考え方で問題が素早く解けるからです。数学は原理を理解する学習をするべきです。そうして生まれた時間でさらに思考力を磨きながら数学を楽しむことができます。新しい公式を作り出すこと、グラフソフトでグラフを描きながら解法を考えることなど、何をするのもあなたの自由です。結果的に多くの問題を解くことになり、計算力も身につきます。応用問題を解きまくることはもちろん自由ですが、無限にあるわけでない時間は有効に使わないと意味がないと思います。基本問題を解くことで大幅な時間短縮が可能です。原理理解を進めましょう。本格的に学ぶことが学びの楽しさにつながりいます。楽しく学ぶことができれば、思考力は自然とつきます。「これを好むものは、これを楽しむものに如かず」と何千年前からいわれています。この考えを是非マスターしてください。　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
13Oct
- 「秘伝の数学」楕円、放物線の接線
  楕円、放物線の接線（入射角と反射角）こんにちは。今回は楕円、接線の入射角、反射角の性質を証明しましょう。前回は、最短性の原理から導きました。今回は別の方法で証明してみましょう。楕円、放物線の接線の角の性質をもう一度確認します。今回は図の角が等しいことを証明します。「Ｂ男くん、角の証明ではどんな方法があると思う？」Ｂ男「角と言えば、傾きtanθの利用、ベクトルの利用でしょうか」「そうだね。あとは角の性質からわかる図形の特徴で示す方法もある」Ｂ男「それぞれの方法で考えてみます」Ｂ男「楕円について、ベクトルの方法で考えます。内積の利用ですか」「cosθを内積計算で求めてみよう」Ｂ男「できました。かなり計算が必要です」「そうだね。時間をかけてやって欲しい」次は図形の性質を利用した証明を考えよう。点Ｐを通る法線を利用する」Ｂ男「法線ですか。角が等しいなら、法線は∠ＡＰＢの二等分線です」「ということは、法線はｘ軸とどこで交わる？」Ｂ男「ｘ軸との交点をＨとすると、ＡＨ：ＨＢ＝ＡＰ：ＢＰとなる点Ｈです」「二等分線の性質だね。これを使い計算でＨを求めてみよう」「これも少し計算が必要です。次は放物線だ」Ｂ男「今度は直線の傾きで考えてみます」Ｂ男「傾きはtanθとなるので、角の差のtanθをそれぞれ計算して等しいことを示します」Ｂ男「できました。次は法線で証明します」「点Ｐを通る法線が∠ＦＰＧの二等分線であることを示せばよい」Ｂ男「δ＝γなら法線は∠ＦＰＧの二等分線です。これを示します。そのために法線とｘ軸の交点Ｈを求めます」Ｂ男「これからＰＨを求め、さらにＰＦを計算してＰＦ＝ＦＨを示す。これから法線が二等分線といえます」Ｂ男「できました。いろいろな解法で出来ました」「いろいろな解法を考えると計算力も、思考力もつくと言うことだね」　今回は少し計算が大変でした。次回をお楽しみに。
12Oct
- 「秘伝の数学」２点からの最短距離➂
  ２点からの最短距離➂こんにちは。今回も２点から曲線点までの最短距離に関係する性質です。楕円の接線の接点と焦点を結ぶ線分は同じ角（入射角と反射角）となることを説明します。「楕円の接線の接点と焦点を結んだ線分のなす角が等しいことは知っているかい」Ｂ男「知っています。この性質は焦点の名前の由来になっています」「図で確認してみよう」「この性質は、２点から直線までの最短距離の性質になっている」Ｂ男「えっ？そうなんですか」Ｂ男「考えてみます」Ｂ男「焦点を２つの定点、接線を直線と考えるわけだ」「焦点からの和が一定（楕円の定義）を使えば、接点が最短の場合になる」Ｂ男「それで角が等しくなるんだ」Ｂ男「最短とわかれば計算はいらなくなりますね」「簡単な不等式から最小性がわかる。やはり原理の解明が大切だね」「ところで、放物線でも似た性質がある」Ｂ男「そうですか。確認します」Ｂ男「この図ですと準線がｘ＝－２、焦点Ｆ（2,0）の放物線ｙ²＝８ｘです」「この場合も入射角と反射角の関係で等しくなる」Ｂ男「また原理は最短性ですか。考えてみます」「同じように最短性から説明される」Ｂ男「等角性が最短の原理から導かれるわけですね。面白いです」「数学は、やっぱり原理の理解が大切だね」今回はここまで。次回をお楽しみに。
11Oct
- 「秘伝の数学」２定点から曲線の最短距離
  ２点からの最短距離➁こんにちは。今回も２点から曲線点までの最短距離を求めます。今回は、図形的な意味を考えて発展させます。「前回は２点と直線までの最短距離を計算した。今回は図形の性質に注目する」Ｂ男「微分の計算が大変でした。ところで、図形の性質って何ですか」「次の問題を考えてみよう。点と直線の最短距離だ」Ｂ男「公式があります。図形の性質ですか？」「点Ｃと直線ＡＢの最短距離は、ＣＰ」Ｂ男「直線に接する円の接点が点Ｐです」「この性質は２点からの問題に応用できないか？」Ｂ男「１点から等距離にある点からなる図形が円です」「２点からの和が一定となる点からなる図形は？」Ｂ男「楕円です。２点は焦点です。そうか、楕円が直線に接する時が最小！」「Geogebraでグラフを描いて確かめてみよう」「上のグラフでは２C＝ＰＡ＋ＰＢとなっている。Cを変えると楕円の形も変わる」Ｂ男「楕円を変えていって直線に接する時を求めればよいわけです」Ｂ男「グラフではＣ＝3.6で楕円はｘ軸に接しています。最小値は7.2、点Ｐは図の位置です」Ｂ男「これは面白いですね。直線以外でも同じですね」「疑問に感じたらやってみることだ」Ｂ男「わかりました。２点と放物線の最短距離を求めます」Ｂ男「放物線はｙ＝―(1/12）(ｘ－３)²で考えます」「Geogebraでグラフを描いて求めてみよう」Ｂ男「上の図の様に楕円が接する接点Ｐの位置でＡＰ＋ＢＰは最小です」「ｙ＝ＡＰ＋ＢＰのグラフを描いて極値も求まるので検算も出来るわけだ」Ｂ男「最短距離となる点Ｐは楕円の接点なんだ」「整理してみよう」Ｂ男「問題の背景がよくわかりました」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
10Oct
- 「秘伝の数学」２点からの最短距離➀
  ２点からの最短距離➀　こんにちは。今回は２点から直線上の点までの最短距離を求めます。図形の解法や、グラフの解法を考えてみます。｛今回は２点から直線上の点までの最短距離を求めよう｝Ｂ男「直線についての対称点を求めて上手く求まる問題ですね」「そうだね。確認してみよう」Ｂ男「とても鮮やかな証明です」「そうだね。今回は別解を考えてみよう」Ｂ男「えっ？別解ですか」Ｂ男「出来ても別解を考えるのが「秘伝の数学」ですね」Ｂ男「最小値を求めるのでグラフを描いてみます」「それでは、座標の設定をしてみよう」Ｂ男「まず、ＡＰ＋ＢＰを定式化します。距離の公式です」Ｂ男「ｙは分数形で√を含むので微分計算が大変です」「公式を確認しながら微分して増減表を作ろう」Ｂ男「最初に解いた解から極値があり求まるはずです。やってみます」Ｂ男「二乗の変形をしているので極値計算で不適当な解もあります」「そうだね。増減表を書き、グラフをGeogebraで描こう」Ｂ男「Geogebraは簡単にグラフが描けます。a、bはスライダーで動かせます」Ｂ男「もとろん、グラフは左右対称形ではないですね」Ｂ男「今の学習はグラフが簡単に描けるのでとても便利です」　　　それでは、今回はここまで。次回をお楽しみに。
09Oct
- 「秘伝の数学」Σの漸化式➁
  Σの漸化式➁こんにちは。今回もΣの漸化式を考えましょう。階差の公式と微分の計算を組み合わせた漸化式です。「今回はΣｋ²とΣｋ³の漸化式を導こう」Ｂ男「前回のΣｋ、Σｋ²の漸化式と本質は変わらないですね」「そうだね。これでΣに関する漸化式は全て導かれる。具体的に計算してみよう」Ｂ男「ポイントは微分です。➂を微分すると➁と同じ形の階差式になります」「本当に単純な原理だね」Ｂ男「積分の範囲は定数項を消すために下端を０にしています」「偶数Σｋ²（n＝2）から奇数Σｋ³（n＝3）への漸化式は定数部分が０なので積分のみになる」Ｂ男「奇数から偶数の漸化式との違いはその部分のみです」「次に何をするかい？」Ｂ男「具体的に計算をして検算をします」Ｂ男「合っています。面白いです」Ｂ男「Σｋ³からΣｋ⁴の計算も行います」Ｂ男「できました。検算もしました」　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
08Oct
- 「秘伝の数学」Σの漸化式➀
  Σｋの漸化式を導く➀こんにちは。今回はΣｋの漸化式を導きます。階差の原理と、積分の計算でΣの漸化式が導かれます。「今回は階差の関係式からΣの漸化式を導こう」Ｂ男「今まで階差の関係式から和の計算を行っていました。今回はさらに進めてΣの漸化式ですか」「本質を見つめて考えていれば拡張が出来ると言うことだね」Ｂ男「それでは➀と➁を考えます」「そうだね。具体例から考えていこう」「➀と➁の関係式を考える。➁の両辺をnで微分してごらん」Ｂ男「n²が２ｎになります。さらに両辺２で割って➁が➀に近づきます」Ｂ男「そうか！ΣｋとΣｋ²の関係式が微分で結びつきそうです」Ｂ男「積分を使った漸化式表現になるんだ」Ｂ男「こんなに簡単な階差の関係から導けるんですね」「さらに整理すると次のような変形になる」「次にどうする？」Ｂ男「具体例で検算をします」Ｂ男「確かに成立しています。いろいろな解法を考えてここまでたどり着いたということですね」「Σｋ²からΣｋ³の漸化式は次回の宿題としておこう」Ｂ男「考えておきます」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
07Oct
- 「秘伝の数学」階差の公式で和を求める
  階差の公式で和を求める➁こんにちは。今回も階差の公式で和を求めます。よく知られているΣｋ、Σｋ²、等比数列の和の公式を求めます。「今回はΣｋ、Σｋ²、等差数列の和の公式を階差の公式から求めよう」Ｂ男「この方法は、漸化式を解き、階差の公式を適用して和を求める方法ですね」「そうだね。具体的に問題を解いていこう」Ｂ男「nの２次式の解f(n)を求めます。係数比較です」Ｂ男「できました。こんな方法でも求まるんですね」「Σｋ²についても求めてみよう」Ｂ男「次数を上げるだけでほぼ同じです」Ｂ男「nの３次式の解g(n)を求めます」Ｂ男「できました。これは漸化式の応用の一つですね」「次に等比数列の和の公式を導いてみよう」「適する数列として指数形を使うとよい」Ｂ男「わかりました。指数形で解を見つけます」Ｂ男「できました。和の計算はいろいろ考えられてとても面白いです」Ｂ男「自由に考えることが「秘伝の数学」ですね」今回はここまで。次回もお楽しみに。
06Oct
- 「秘伝の数学」階差の公式で和を求める
  階差の公式で和を求めるこんにちは。今回は階差の公式で和を求めます。階差の公式は和の計算から一般項を求める公式ですが、今回は一般項から和を求めます。「Ｂ男くん、階差の公式は知っているね」Ｂ男「知っています。階差の和から一般項を求める公式です」「そうだね。今回は逆に、一般項から和を求めてみよう」Ｂ男「えっ？何ですか、それは」「一般項から階差の和を求める考えです」Ｂ男「おもしろい発想ですね。今回の問題をやってみます」「➀の数列を変形、階差の関係式をかくと➁となる」Ｂ男「確かに➁式の和の部分が今の問題の和の形になっています」「あとは➀を解いて、その一般項から➁を使い和を求める」Ｂ男「なるほど。やってみます」Ｂ男「ｎの１次式の解を係数比較で求めました」Ｂ男「解を正確な形で求めます」Ｂ男「和がなんとか求まりました。ｎ項までの和にして形を整えます」「次にやることは？」Ｂ男「検算です。n＝１、２で確認しました」「第n項までの和から第n―1項までの和を引いて数列の第n項になることを確認してもよい」Ｂ男「別の解法で求めて解の検算をしてもよいですね」「その通り。Ｓｎ―２Ｓｎから求めてもよい」Ｂ男「やっておきます」Ｂ男「それにしても、和の計算にはいろいろな考え方がありますね。少し驚きました」今回はここまで。次回をお楽しみ。
05Oct
- 「秘伝の数学」漸化式の拡張
  漸化式の拡張こんにちは。今回は漸化式を拡張して考えてみます。漸化式を拡張すると次元の低い漸化式はより見通しがよくなります。「今回は漸化式の拡張を学ぼう」Ｂ男「何ですか、それは？」「➀から➃の式を見て何か気がつくかい？」Ｂ男「漸化式の左辺２項目のｎの次数が変わっています。ｎの次数についての拡張ですか」「そうだね。拡張と言ってもいろいろな観点がある。今回はｎの次数」「➀、➁を解いてみよう」Ｂ男「もう少し整理します」Ｂ男「➀は定数の解、➁はｎの１次式の解を求めています」Ｂ男「確かに比較すると解の特徴が見えてきますね」「そうだね。➂はどうする？」Ｂ男「ｎの２次式の解を求めてみます」Ｂ男「できました。漸化式の左辺第二項がｎの整式の場合の解法が見えてきました」「それでは➃はどうなる」Ｂ男「ｎの２次式の解を見つけます」「➀➁➂は利用できないかい？」Ｂ男「えっ？どういうことですか」「ｎ²、ｎ、１の解を加え合わせたら？」Ｂ男「なるほど。それぞれが解なので和も解になるわけだ」Ｂ男「やってみます」Ｂ男「できました。面白いですね」「解を足し合わせることの出来る性質を線形性という」Ｂ男「解法を高い立場から考えたわけですね」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
04Oct
- 「秘伝の数学」漸化式を和の計算で解く
  漸化式を和の計算で解く　こんにちは。今回は漸化式を和の公式で解きます。漸化式を解くことは和の計算と関係が深いことを実例で学びましょう。「今回は和の関係式から漸化式を解く」Ｂ男「どういうことですか。階差数列ですか」「そうだね。階差も和の公式の利用といえる。他の方法も学ぼう」Ｂ男「それではこの問題を階差の公式で解きます」「あとは２項間の漸化式を解けばよい」Ｂ男「解いてみます」「そうだね。階差の公式はn＝１の条件に注意すること」Ｂ男「他の解法は何ですか」「順に漸化式を使って数列の添え字を減らす変形をしていこう」Ｂ男「えっ？どういうことですか」「具体的に変形してごらん」Ｂ男「なるほど。規則性を保って添え字が減っています赤の部分で漸化式を使っています」「次の変形は、具体例を確認しながら進めること」Ｂ男「常に具体例ですね」Ｂ男「添え字の値は常に具体例から確認しながらの変形ですね」Ｂ男「等比数列と等差と等比の積からなる数列の和の公式を使いました」Ｂ男「変形は漸化式を繰り返し使って添え字を下げています」「何も難しいことは使っていない。是非、２項間の漸化式もこの方法で解いて欲しい」　　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
03Oct
- 「秘伝の数学」Σの計算
  Σの計算　こんにちは。今回はΣの計算です。今回はＳｎの漸化式からの方法と階差の方法で和を求めます。「今回はΣｋ２ｋの計算。Ｓｎの漸化式から求めよう。ｒ＝２とする」Ｂ男「わかりました。まず数列｛ａｎ｝の漸化式を作ります」「ａｎの漸化式からＳｎの漸化式を求めて解く」Ｂ男「やってみます」Ｂ男「Ｓｎの漸化式が求まりました」「あとは、両辺を２n＋１で割ればよい」Ｂ男「次に階差の関係式ですね。やってみます」Ｂ男「できました。検算もＯＫです」「それでは別解法で解いてみよう」Ｂ男「教科書の解法です。Ｓｎの両辺を２倍して引き算をします」Ｂ男「できました。これは検算にもなりますね」「そうだね。上の解法をＳｎの漸化式の表現でかいてみよう」Ｂ男「えっ？どうしてですか」「Σ記号の表現力を磨き、その便利さを理解するためだ」Ｂ男「わかりました。やってみます」Ｂ男「Σの添え字をそろえて引き算です。赤の部分です。ここの変形が難しいです」Ｂ男「これも具体例から考えるわけですね」「よくできたね。記号も積極的に使えば便利さがわかるということです」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
02Oct
- 「秘伝の数学」漸化式から和を求める➁
  漸化式から数列の和を求める　こんにちは。今回も和の公式を作ります。今回は２項間の漸化式で表される数列の和を求めてみましょう。「今回は２項間の漸化式を扱う」Ｂ男「教科書に載っている基本の漸化式です」「今回は、この数列の和をいろいろな方法で求めてみよう」Ｂ男「漸化式を解きます。方法は等比数列に変形する方法です」Ｂ男「和の計算は等比数列の和の公式を使います」「２項間の漸化式は他の方法で解けるかい？」Ｂ男「えっ？階差ですか？」「そうだね。漸化式の両辺を２ｎ＋１で割る」Ｂ男「なるほど。こんな上手い方法があるんですね」「一般項が求まれば和の計算は同じ」「次は、一般項を求めずＳｎの漸化式を導いて解こう」Ｂ男「なるほど、Ｓｎの漸化式が求まります」Ｂ男「これはどうしたら解けますか」「この漸化式を満たすｎの２次式f(n)を求めよう」「後は公比２の等比数列」Ｂ男「なるほど。これなら無駄なく解けますね」Ｂ男「漸化式をそのまま使い求めるところが面白いです」「いろいろな解法で数学を楽しんでもらいたい」今回はここまで。次回をお楽しみに。
01Oct
- 「秘伝の数学」漸化式から和を求める
  漸化式から和の公式を作る　こんにちは。今回も和の公式を作ります。和の公式を数列の漸化式から求めてみましょう。漸化式の便利さが実感できます。「今回は基本の等差数列と等比数列の和の公式を漸化式から求めよう」Ｂ男「基本の数列で公式がすでにあります。なぜそんなことをするのですか」「答えがわかっていてもいろいろな解法を考える。それが「秘伝の数学」」Ｂ男「そうでしたね。やってみます。問題をはっきりさせます」「そうだね。後は➀式をＳｎの漸化式で表せばよい」Ｂ男「初項のズレを調整する必要があります」Ｂ男「Ｓｎを求める方法は階差の公式利用です。上手く解けました」Ｂ男「こんな出し方は見たことがありません」Ｂ男「次は等比数列ですね。問題をはっきりさせます」Ｂ男「この場合も初項のズレの調整がいります。➂は２項間の漸化式です」「解き方はわかるね」Ｂ男「やってみます」Ｂ男「できました。こんな解法も初めてです」「漸化式の便利さがよくわかる」「別解を考えることは、多面的に考えることになり、より深い思考につながる」Ｂ男「確かにそうだと思います」「最初に問題に出した２項間の漸化式も今の方法と基本的に同じで解ける。やっておくこと。検算も忘れないこと」Ｂ男「わかりました。やっておきます」今回はここまで。次回をお楽しみに。
30Sep
- 「秘伝の数学」三角関数の和
  三角関数の和の公式　こんにちは。今回も和の公式を作ります。３角関数の和の公式Σsinkθ、Σcoskθについてその仕組みから理解します。Ｂ男「前回はΣcoskθの計算をしました。まだΣsinkθの計算が残っています」「そうだね。その前にΣcoskθの検算をやってみよう」Ｂ男「前回の課題でした」Ｂ男「積和の公式ですね。積和から階差の関係式になります」「そうだね。この変形がこの公式の仕組みとなっている」Ｂ男「見事に打ち消しあっています。こういう仕組みで出来ているんだ」「公式を検算や振り返ることで原理や仕組みがわかるわけだ」Ｂ男「あっ！この原理からΣsinkθの計算ができるかもしれない！」Ｂ男「sin(θ/2)にΣsinkθをかければ積和の公式から階差の関係になります」「実際に計算してみよう」「素晴らしい。できたね」Ｂ男「原理を知ることにより簡単に計算できました」「原理を深く理解すれば新たな公式が作れるということだ」「まとめてみよう」Ｂ男「検算もやっておきます」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
29Sep
- 「秘伝の数学」和の公式を作る➁
  和の公式を作ろう➁　こんにちは。今回も和の公式を作ります。階差の関係式から３角関数の和の公式を導きましょう。「Ｂ男くん、三角関数の和の公式はできましたか」Ｂ男「sinkθの階差の関係式を考えましたがまだ出来ていません」「何が問題か、式変形を具体的に考えてみましょう」Ｂ男「ΣsinkθとΣcoskθの両方の式が出てきてしまいます」「それならもう一つ式を立てるとよい」Ｂ男「えっ？そうか！cosｋθの関係式をもう一つ作ればいいんだ」「あとは連立方程式を解けばよい」Ｂ男「二つの式を連立方程式として解いてみます」「やや計算が複雑なので注意しよう」「半角、積和の公式を使いもう少し整理しよう」Ｂ男「できました。階差の関係式はすごいですね」「まだ、やることがあります」Ｂ男「えっ？あっ、検算ですね」Ｂ男「ｋ＝１、２で正しい式か確認します」「そうだね。あとは、Σcosｋθにsin(θ/2)を書けてみると仕組みがわかる」Ｂ男「わかりました。やっておきます」今回はここまで。次回をお楽しみに。
28Sep
- 「秘伝の数学」和の公式を作る➀
  和の公式を作ろう➀　こんにちは。今回は和の公式を作ります。「秘伝の数学」では問題や公式を作ることを重視しています。「Ｂ男くん、今日は和の公式を作ろう」Ｂ男「階差の関係式ですか」「そうだね。もう一度、復習しておこう」Ｂ男「数列をいろいろ選べば和の公式を作ることが出来るわけですね。　　それでは、指数形を選びます」Ｂ男「等比数列の和の公式が出てきました」Ｂ男「他も試してみます」「分数形ではどうなるか」Ｂ男「やってみます。１／ｎの形を考えます」Ｂ男「さらに１／n(n+1)を考えてみます」Ｂ男「分数形では、積の数が増えても同様な関係が成り立ちます」「教科書でも扱ったものだが、原理が同じで拡張できそうだ」Ｂ男「積の数をもう一つ増やし1/n(n+1)(n+2)の形の階差を考えます」Ｂ男「分数形の原理は、具体例でよくわかりました」「最初に、整式、次に指数形、分数形を考えた。あとは何がある？」Ｂ男「えっ？関数では三角関数ですか？」「そうだね、それでは、次回は三角関数の和の公式を考えてみよう」Ｂ男「階差の形の変形から考えておきます」今回はここまで。次回をお楽しみに。