秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち -32ページ目

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27Sep
- 「秘伝の数学」Σk(k+1)(k+2)(k+3)
  Σｋ(k+1)(k+2)(k+3)の計算こんにちは。今回もΣの計算について学びます。今回はΣの公式を作って他のΣ計算を行います。「Ｂ男くん、Σk(k+1)の計算はできるね」Ｂ男「もちろんです。Σk²＋Σkに分けて後は公式にあてはめます」「そうだね。それではΣk(k+1)(k+2)(k+3)はできるかい」Ｂ男「展開すれば出来きると思いますが、Σk⁴の公式は覚えていません」「今回は、公式を作って求めてみよう」「n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)の階差の関係式を作る」Ｂ男「nを１つ減らした式の差の計算ですね」Ｂ男「この式は以前にも使いました。それにしてもきれいに変形できます」Ｂ男「この式は積を増やしても成立しますね。やってみます」Ｂ男「ほぼ、同じ変形で前の係数も規則的に変わります」「公式をまとめてみよう」Ｂ男「きれいな関係式です。もしかして、これを使ってΣ計算をする？」「その通り。例えばΣk²はどうする？」Ｂ男「えっ？どうしますか」「k²をk(k+1)とkの和で表す」Ｂ男「そういうことか！出来そうです」Ｂ男「できました。Σk³もやってみます」Ｂ男「教科書に載っているΣ計算もやってみます」Ｂ男「公式を作って解いてもよいわけだ。　自分で公式が作れれば楽しいですね」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
26Sep
- 「秘伝の数学」Σｋ⁴、Σｋ⁶　の計算
  Σｋ⁴、Σｋ⁶の計算　こんにちは。今回もΣの計算について学びます。Σｋ²、Σｋ⁴、Σｋ⁶などｋの偶数乗のΣ計算です。「Ｂ男くん、Σｋ⁴の計算はできたかい？」Ｂ男「出来ましたが、計算がかなり面倒でした」「泥臭くてもやってみることは大切だ」Ｂ男「さらに、因数分解をするためにn+１でくくりました」「これは本当に正解？」Ｂ男「検算でn=1、n=2を代入して確認しました」「そうだね。答えを自分でチェックすることは大切だ」「これから階差の関係式を作りたい。見通しのよい変形があるばずだ」Ｂ男「特徴として因数n(n+1)(2n+1)があります。これで階差式を作ったらどうでしょうか」「なかなか鋭い。それではn(n+1)(2n+1)の階差式を作ってみよう」Ｂ男「できました。因数n(n+1)(2n+1)がポイントですね」「それでは次の階差式は？」「これはヒントを与えよう。n²(n+1)²(2n+1)の階差式だ」Ｂ男「やってみます」Ｂ男「うまくいきました。面白いですね」Ｂ男「具体例から工夫することは大切ですね」「次の階差式は」Ｂ男「n³(n+1)³(2n+1)です。やってみます」Ｂ男「Ｓが因数n(n+1)(2n+1)を持つことも階差の関係からわかります」　「正確には帰納法利用だ。確認しておくこと」「次にｙ＝Ｓ₂(x)、Ｓ₄(x)、Ｓ₆(x)のグラフを描いてみよう」Ｂ男「これは確かに点（-1/2、0）について対称です。この証明も階差の関係式でできます。Ｓの奇数乗の場合と同じです」「そうだね。具体例から考えると面白い関係が見つけられる」Ｂ男「そうですね。原理の階差の関係式から多くのことがわかります」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
25Sep
- [秘伝の数学」Σｋ⁵の性質
  和の計算ΣＫ³、ΣＫ⁵の性質こんにちは。今回もΣの計算について学びます。前回はΣｋ³、Σｋ⁵などｋの奇数乗の計算をしましたが、課題が残っていました。復習して考えてみましょう。Ｂ男「ｋの奇数乗ではn²(n+1)²を因数に持ちそうですが、どう考えますか」「導いた解法に戻って考えること」Ｂ男「ということは階差の関係式です。階差の式をもう一度考えてみます」Ｂ男「これらの式をみると、Σｋ以外はn²(n+1)²を因数に持ちます。階差の式がn²(n+1)²を因数に含むので順に考えれば説明できそうです」「そうだね。Σｋ⁵の場合で整理してみよう」「厳密には数学的帰納法になるが、自分でまとめておくこと」Ｂ男「考えた元の原理に戻ることが大切ですね」「次に考えたい性質はＳ₃やＳ₅、Ｓ₇をグラフにすると直線ｘ＝－１／２について対称になる。これはどう考えようか」Ｂ男「これも階差の関係式に戻って考えます」Ｂ男「x²(x+1)²、x³(x+1)³は直線ｘ＝－１／２について対称」（下のグラフ）Ｂ男「さらに６Ｓ₅＝x³(x+1)³―２Ｓ₃で第一項はx²(x+1)²、Ｓ₃(x)は直線ｘ＝－１／２について対称だから、Ｓ₅は直線ｘ＝－１／２について対称、順に帰納法です」「素晴らしい。今考えた関数をグラフ表示してみよう」「いずれも直線ｘ＝－１／２について対称になっている。この関係からＳ₃、Ｓ₅、Ｓ₇も直線ｘ＝－１／２について対称になる」Ｂ男「式変形で厳密に説明するなら…」「関数値が－１/２＋αと－１/２－αで同じになればよい」Ｂ男「なるほど。よくわかりました」「それではnが偶数のとき、具体的にはＳ₂、Ｓ₄、Ｓ₆を求めてみよう」Ｂ男「奇数の場合と同じく、階差の関係式を求めたいです」「Ｓ₂は求まっているが、他はまだ求めていないね」Ｂ男「「秘伝の数学」の精神、具体例から考える、ですね。それでは計算が大変ですがＳ₄を(n+1)⁵－n⁵から求めてみます」「そうだね。その結果から階差の関係式を導こう。計算は次回までの宿題としよう」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
24Sep
- 「秘伝の数学」ΣＫ⁵、ΣＫ⁷の計算
  和の計算ΣＫ⁵、ΣＫ⁷　こんにちは。今回もΣの計算について学びます。前回Σｋ³の計算まで行いました。今日はΣｋ⁵、Σｋ⁷の計算です。Ｂ男「先生、Σｋ³の計算は大変でした。もう少し簡単になりませんか」「そうだね。今回は工夫してΣｋ⁵、Σｋ⁷の計算が出来るかやってみよう」Ｂ男「教科書の階差の方法なら(ｋ＋１)⁶－k⁶の計算で複雑すぎます」「ここからが工夫だ。ポイントは階差の式だ。もう一度整理してみよう」「階差の式の工夫だ。ΣｋもΣｋ³も共通の因数はないか」Ｂ男「あっ！共通の因数はn(n+1)です。これが階差式のヒントだ」「そうだね。n(n+1)を使った階差式はどうなる」Ｂ男「できそうです。さらにｎ²(n+1)²を使った階差式も計算します」Ｂ男「とても簡単な計算ですね」「Σｋ⁵、Σｋ⁷にも挑戦してみよう」Ｂ男「本当に見通しがいいです。数学はアイデアですね」Ｂ男「Σｋ⁵、Σｋ⁷の式には因数ｎ²(n+1)²を持つという特色があります」Ｂ男「これはどうしてだろう。証明できますか」「ヒントは階差の関係式にある」「考える前にＳ₁、Ｓ₃、Ｓ₅、Ｓ₇のグラフを描いてみよう」Ｂ男「えっ？グラフですか。Geogebraですね」Ｂ男「これがスマホですぐに描けるわけですね」Ｂ男「グラフは直線ｙ＝―１／２について対称です」「不思議だね。これも次回証明を考えてみよう」今回の結果と課題をまとめます。　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
23Sep
- 「秘伝の数学」和の計算
  和の計算　こんにちは。今回はΣの計算について学びます。ΣＫの性質についても考えましょう。Ｂ男「先生、Σの公式について友達に聞かれました」「何を聞かれたのかい？」Ｂ男「ΣＫの公式の証明についてと、なぜ因数n(n+1)を持つかということです」「それでは証明について計算をして復習しよう」「いわゆる階差の公式の利用だ」Ｂ男「そうですね。Σの２乗の公式は計算が少し大変です」Ｂ男「何か工夫は出来ませんか」「(k+1)k-k(k-1)=２kの階差形を利用してみよう」Ｂ男「上手く計算できます。この階差形はシグマの２乗の計算にも使えますね」「そう、やってみよう」「この形の階差形から次のような公式が導かれる」Ｂ男「とてもきれいな公式です」「これらの公式からシグマの公式が順に導かれる」Ｂ男「そうか、これらの公式から一般のＳmはn(n+1)を因数に持つことがわかりますね」Ｂ男「ここの計算は階差形がポイントですね」今回はここまで。次回をお楽しみに。
22Sep
- 「秘伝の数学」３次方程式➂
  3次方程式の実数解➂こんにちは。今回は3次方程式が異なる３個の実数解を持つ条件を考えます。３つの実数解を持つ条件をカルダノの方法で検討します。Ｂ男「前回、カルダノの方法で実数解を求めました。例は１つの実数解でした」「それで、何か疑問かい？」Ｂ男「３つの異なる実数解はどのようなときに持つのですか」「それでは、今回はそのことを考えてみよう」「三次方程式が異なる３つの実数解を持つ条件を求めてみよう」Ｂ男「グラフの極値でのｙ座標の符号が異なればよいです」「今回はこの条件をカルダノの方法で考えてみよう」Ｂ男「それでは、具体的な方程式で考えます」「そうだね。その前にカルダノの方法を復習しよう」Ｂ男「解と係数の関係より２次方程式を導きます」「ここで、三乗根の中の数が問題になる」Ｂ男「中の数が実数とき３乗根は実数解で１個です」「そうだね。さらに三乗根の中の数が虚数のとき、３つの解に分かれる」Ｂ男「三乗根の中の√の中が負となれば虚数です。さっき出した条件だ」「具体例で考えよう」「解が分かれるのは虚数の３乗根の計算からわかる」「他の３つの場合を複素数平面で図示すると次のようになる」Ｂ男「虚数で解の公式が表現されるとは不思議です」「虚数の必然性がこんな例からもわかるわけだ」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
21Sep
- 「秘伝の数学」3次方程式➁
  3次方程式の実数解➁　こんにちは。今回も3次方程式の実数解について考えましょう。今回の課題は一般の形の3次方程式を解くことです。簡略形の変形が必要です。「Ｂ男くん、今日は一般の3次方程式の実数解について考えよう」Ｂ男「具体的には上の式の3次方程式を考えるんですね」「そうだね。具体例で考えよう」Ｂ男「簡略形にするためにはどうするんですか」「3次関数のグラフの特徴は何だった？」Ｂ男「点対称図形です。あっ、そうか。その点を考えるわけだ」「その点についての展開を考えよう」「二乗の項が消えるようなαを求めればよい」Ｂ男「これで簡略形ですね。この形で解を求めればよいわけだ」Ｂ男「あとは前回考えたsinθを利用した方法で解いてみます」「前回のように3倍角の公式利用。後は計算のみ」Ｂ男「今回も角θが求まります」Ｂ男「他に解を求める方法はないですか」「カルダノの方法という有名な解法がある。今回は具体例で簡単に説明しよう」「解をu1とu2の和で表す。以下の通りだ」「後は、解と係数の関係からu1とu2を求める」Ｂ男「これはなかなか複雑ですね」「そうだね。Ｘが虚数の場合、虚数の三乗根が必要となる。複素数の知識が必要で少し難解だ。今回の紹介はこれぐらいにしておこう」Ｂ男「一度、自分で考えてみます」「その精神だ。わからないから考える。具体例を考えるとよい」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
20Sep
- 「秘伝の数学」3次方程式
  3次方程式の実数解　　こんにちは。今回は3次方程式の実数解について考えましょう。今回の課題は以下の二つです。3次方程式の実数解について具体例で学びます。「Ｂ男くん、今日は3次方程式の実数解について考えよう」Ｂ男「2次方程式のような公式は習っていません。どうするんですか」「公式はあるが、今回は別の視点で考えよう」Ｂ男「3次関数のグラフならかけるので、グラフ利用です」「それでは、グラフを描いてみよう。微分して描こう」「Geogebraではｘ軸との交点の座標も簡単に求められる」Ｂ男「ｘ軸との交点が実数解ですね」「ところで解の近似値は、手計算で求められるかい？」Ｂ男「はあ？そんなこと考えたことがありません」Ｂ男「グラフから、ｘ軸との交点が実数解だから……」Ｂ男「解の範囲を絞り込んでいけばいい」Ｂ男「関数のｙの値の符号の変わり目を絞り込めばよい」「そうだね。手間をかければ何桁でも近似値は求まる。小数第二位までも求めてみよう」「次に解を三角関数を使って求めてみよう」Ｂ男「何ですか、それ？聞いたことありません」「sin3θはsinθの3次式になる。それを利用する」Ｂ男「代入してどうしますか」「まず、変形をしてみよう」Ｂ男「さらにどうしますか」「sin3θのみが残りようにｒを決める」Ｂ男「そうか、そうすれば簡単になります」Ｂ男「こんな方法があるんですね」「この解法は一般の3次方程式の実数解の解法に使える」「その理由は課題にしておこう、具体的な問題に使うとよい」　それでは今回はここまで。次回をお楽しみに。
19Sep
- 「秘伝の数学」2次方程式の解
  グラフで考える2次方程式の実数解　こんにちは。今回は2次方程式の実数解について考えましょう。グラフによる視覚化について体験しましょう。「Ｂ男くん、今日は2次方程式の解について考えよう。具体的に次の問題を考える」Ｂ男「判別式で解の状況がわかります」「そうだね。Geogebraでは、Kをスライダーで動かしてグラフの観察できる」「ところで……」Ｂ男「別解ですね。左辺と右辺を分けて考えます」「直線　ｙ＝ｋ（ｘ－１）は定点（1，0）を通る傾きＫの直線」Ｂ男「直線が2次関数に接する時が重解です」Ｂ男「傾きｋの値で共有点がわかります」「そうだね。他に別解は？」Ｂ男「えっ？まだですか？」「2次方程式からＫ＝の式を導いてごらん」Ｂ男「わかりました」Ｂ男「この曲線と直線ｙ＝Ｋの共有点が実数解です」　「正確なグラフは、分数関数の微分が必要だ。　しかし、Geogebraならグラフはすぐに描ける」Ｂ男「この場合は共有点がとてもわかりやすいです」「微分できない場合は、概形は直線と反比例のグラフの和としてかける」Ｂ男「あっ、極値もｙ＝ｋが接線となることから求まります」「そうだね。重解条件から1年生の知識でも極値はわかる」「最後に解の状況をグラフでみてみよう」Ｂ男「えっ、どういうことですか」「2次方程式の解は求まる。その解をグラフにしてみる」「ｋの値によって解の状況がわかる」Ｂ男「ｋの値が大きいとグラフはほぼ直線ですね。これもとてもおもしろいです。こんなグラフもかけるんだ」「テクノロジーを使えば自由な見方がさらに広がるわけだ」今日のグラフは全てスマホから描いたグラフです。今回はここまで。次回をお楽しみに。
18Sep
- 「秘伝の数学」点と曲線の距離
  点と曲線の最短距離　こんにちは。今回はこれまでのまとめで「点と曲線の最短距離」についてまとめます。解法を整理して「点と3次関数のグラフ」について具体的に考えてみましょう。「Ｂ男くん、点と曲線の最短距離問題について解法をまとめることが今回の課題だ」「点と曲線の最小距離問題とは以下をいう」Ｂ男「これまで、曲線は直線、放物線、円を扱いました　　解法は3通りほどあったと思います」「そうだね。どれも本質的には同じ解法だが、とにかく3つを行った。今回は、これらを確かめるために3次関数のグラフでもう一度確かめよう」「具体的に次のように問題を設定しよう」Ｂ男「3次関数ですか。以前考えた点対称図形ですね」Ｂ男「最初に接線の垂直条件から考えてみます」「曲線の接線の傾きは微分係数を用いることなる」「最後の3次方程式は解を正確には求められないね」Ｂ男「この問題があるので、学校では問題に出しにくいんですね。　　数値解なら3次式のグラフをGeogebraでかき、　　x軸との交点を読み取ればOKです」「それでは別の解法は？」Ｂ男「円に接する条件から出します。いわゆる判別式です。　Geogebraを使うならスライダーで円の半径を動かし、接するｒ　を読み取ります。r=2.78です」「APの2乗の関数をグラフ描いて最小値を読み取ってもよい。上の図で関数の最小値（極小値）は2.78となっている」Ｂ男「それにしてもGeogebraは強力ですね。思考の助けになります」Ｂ男「円に接する条件式もＡＰの2乗の極値の計算式も同じ　　αの3次式になるということですね」　「解法はつながっているわけだ。数学は眺める視点を変えることで新しい発想やアイデアが生まれる。数学の『考える自由性』は大きな魅力だね」　「『点と直線の距離公式』は曲線が直線の場合だ。それぞれの解法で　導いておくとよい。課題にしておこう」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
17Sep
- 「秘伝の数学」点と円の距離
  点と円の最短距離　こんにちは。今回は前回の続きで「点と円の最短距離」について考えます。前回は「点と放物線の距離」を考えました。同様な方法で解法が作れるでしょうか。「Ｂ男くん、点と円の最短距離についてが今回の課題だ」「具体的には以下の問題を考える」Ｂ男「これって点Ｃを円の中心とすると、ＯＣから半径１を引くだけですよね」「答えはすぐに求まる。ここではいろいろな解法の考察をしてみよう」Ｂ男「どうしてですか。答えは求まっています」「前回の放物線で考えた方法で出来るか検討するわけだ」「答えが計算で求まるので、解法の検討がしやすいはずだ」Ｂ男「答えが分かっているので解法の検討がしやすいわけだ」Ｂ男「答えが求まればよいという発想とは違いますね」Ｂ男「一つの解法は、曲線上の点Ｐにおける接線とＯＰが垂直になる点Ｐを探す」Ｂ男「ところで、円周上の点はどう表現すればよいですか」「曲線がＹ＝　の表現ではないので、媒介変数表示だ」「この図からわかるかい」Ｂ男「わかります。θが媒介変数ですね」「それでは点Ｐにおける接線の傾き、ＯＰの傾きを求めよう」Ｂ男「ＣＰに垂直な傾きが接線の傾き、ＯＰは座標を利用して傾きを出す」「そうだね。ＯＰ⊥接線はどうする？」Ｂ男「ＯＰの傾きと接線の傾きの積が－１になればよいです」「計算してみよう」Ｂ男「できました。少し大変な計算です」「放物線の場合と同じ発想で出来るわけだ」「他の方法は……」Ｂ男「円と曲線が接する場合を考えました。やってみます」Ｂ男「連立方程式から求まる２次方程式が重解となればよいわけですね」「そう。同じだね」「求まりました。円の半径がそのまま最短距離になります」「最後にGeogebraの出番だ。距離を表す関数のグラフから最小値を求めよう」「OPの長さもソフトで読み取ることが出来る」Ｂ男「普通、答えがすぐに求まる場合、今回のような別解は考えません」Ｂ男「でもいろいろな発想で解くところに数学の醍醐味があるわけですね」　今回はここまで。皆さんもいろいろな発想で問題に取り組みましょう。
16Sep
- 「秘伝の数学」点と放物線の距離（２）
  点と放物線の距離（２）　こんにちは。今回は前回に続き「点と放物線の最短距離」について考えます。今回は「点と直線の距離」の考察と同様な方法で解法に取り組みます。「Ｂ男くん、放物線と点の距離は求められるかい」Ｂ男「前回は直線に垂線を引きました。今回は……」「放物線に垂線は引けない。どうする？」Ｂ男「放物線の接線に原点から垂線を引きます」「そうだね。ＯＰ⊥接線はどうする？」Ｂ男「ＯＰの傾きと接線の傾きの積が－１になればよいです」「計算してみよう」「➀式の解が接点のｘ座標となる」Ｂ男「どうやって解きましょうか」「残念ながら公式というわけにはいかない。解を出す前に他の解法は？」Ｂ男「ＯＰを距離の公式から求めます」「やってみよう」「➀と同じ式がＯＰを微分した式から出てきたね」「他の方法は？」「円が放物線に接する時を考えます」「そうだね」Ｂ男「円が放物線に接する条件は重解条件です」Ｂ男「２次式のように判別式がありません」「連立して出てきたＦ（ｘ）がαを重解として持てばよい」Ｂ男「そうか、以前出てきたＦ（α）＝０，Ｆ‘（α）＝０ですね」「これを変形すれば➀式となる」「ここの計算は確かめておくこと」「最後にαはどうしたら求まる？」Ｂ男「えっ？これは困ります」「ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフと……」Ｂ男「そうか、ｘ軸との交点がαなのでグラフから読み取ればよい」「そうだね。数値解ならグラフから簡単に読み取れる」Ｂ男「これで解けたわけですね」「今回の計算はスマホでGeogebraを使った画面だ」Ｂ男「便利な時代ですね。グラフソフトを使わないのはあり得ない！」今回はここまで。次回をお楽しみに。
15Sep
- 「秘伝の数学」点と放物線の距離
  点と放物線の距離　こんにちは。今回は点と放物線の最短距離について考えます。以前、点と直線の距離公式を扱いました。今回はその発展です。「Ｂ男くん、直線と点の距離は求められるかい」Ｂ男「以前に学んだ『点と直線の距離公式』を使えば簡単です」「それでは、具体的な問題で復習をしてみよう」「原点と直線ｘ－２ｙ－２＝０の距離を求める」Ｂ男「距離は『点と直線の距離公式』を使うだけです」「そうだね。では公式を使わないとしたらどうする？」Ｂ男「それは原点を通る垂線と直線の交点Ｈをもとめ、Ｈから距離を出します」「そうだね」Ｂ男「ところで直線が放物線に変わったらどうなりますか」「いい質問だ。問題を発展させる精神が『秘伝の数学』だ」「具体的に次のように問題を設定しよう」Ｂ男「見たことのない問題です。やりがいがあります」「さきほど扱った直線の場合を思い出してみよう」Ｂ男「簡単な場合を考えるわけですね。でも放物線の場合の公式はありません」「なければ作ればよい。ヒントとして何を最小にするのか？」Ｂ男「距離を最小にするわけですから、そうか、距離の式から考えればよい」「そうだね。最初に扱った原点と直線の距離を考えてみよう」Ｂ男「ということは『点と直線の距離公式』も２次関数の最小計算で導かれますか」「それは実際に計算すればわかる。点は原点で計算してみよう」Ｂ男「わかりました。やってみます」Ｂ男「この方法も考えていませんでした。言われれば当然の解法ですね」「この問題はいろいろ考えることが出来る。図形的な意味は？」Ｂ男「図形的な意味？どういうことですか」「定点から一定の距離の点からなる図形は？」Ｂ男「円です。あっ、そうか。円が図形に接する時が最短距離だ」「そうだね。円が接するときはどう計算する？」Ｂ男「二式を連立して出来る２次方程式が重解になればよいです」Ｂ男「直線と点の距離については２通りの解法を行いました。一つは距離の式の最小値を求め最短の場合を導く、もう一つは直線が円に接する場合から最短の場合を導きました」「いろいろな考え方があるね。この考えを原点と放物線の距離の場合に使えないか」Ｂ男「使えそうです。これは興味深い問題になります」　　次回はこれらの考え方でどこまで分かるのか考察します。　　キミも是非挑戦してください。次回をお楽しみに。
14Sep
- 「秘伝の数学」アポロニウスの円
  アポロニウスの円　こんにちは。前回は3次関数のグラフの点対称性について考えました。今回は少し話題を変え、アポロニウスの円のお話です。Ｂ男「先生、友達にアポロニウスの円について聞かれました」「アポロニウスの円について説明できるかい」Ｂ男「２つの定点からの距離の比が一定となる点の軌跡です」「軌跡が円となるわけだが、証明はどうする？」Ｂ男「はい。座標を使って計算します」「それでは座標を使った解法をやってみよう」Ｂ男「さらに平方完成をして円の方程式を導きます」「ここは少し計算力が必要となる」「途中の式変形は確認しておくこと」「Ｂ男くん、計算が複雑で結果が正しいか確かめたい。どうしたらいい？」Ｂ男「えっ？どうするんですか？」「軌跡が円なら直線ＯＡ上に直径がある」Ｂ男「あっ、そうか。ＯＡ上にある直径の端点を求めればいい」「そうだね。どうやって求める」Ｂ男「ＯＡをｍ：ｎに内分、外分する点が端点です」「それでは直径の端点を求めて、円の中心、半径を求めよう」「中心は、端点Ａ‘とＢ’の中点、半径は中心とＡ‘の距離を求めればよい」Ｂ男「出た結果が正しいかチェックすることは大事ですね。　　結果的に計算力もつきますね」「ところで……」Ｂ男「別解ですか？」「辺の長さの比が出てくるのは……」Ｂ男「あっ、そうか。内角と外角の二等分線の比の公式ですね」Ｂ男「図をかいて考えてみます」Ｂ男「こんなところに二等分線の比の公式が使われるんだ」「しかも証明はかなり簡単だ」「さらに、別解はないかい」Ｂ男「えっ？まだあるんですか。無理です」「垂直を示すのに便利なモノは？」Ｂ男「ベクトルですか。垂直なら内積です」Ｂ男「そうか。内分、外分の公式を使えばできそうです」「お見事。別解も解答のチェックといえる」「別解を考えると思考が深くなり問題の本質が見えてくる」ということで、今回はここまで。次回をお楽しみに。
13Sep
- 「秘伝の数学」３次関数のグラフ➁
  ３次関数のグラフ➁（点対称）　こんにちは。前回は3次関数のグラフについて考えました。展開式から考えると点対称性が明らかになりました。今回はその続きです。今回はさらに展開式を使って３次関数のグラフについて考察してみましょう。「ｙ＝ｘ3＿6ｘ2＋9ｘ－1のグラフの点（２，１）についての対称性を示す方法」Ｂ男「参考書に載っているのは平行移動です。ｘ軸方向－2，ｙ軸方向－1の平行移動です」「そうだね。それがｙ＝ｘ3－3ｘになる。他の方法は？」Ｂ男「ほかの方法ですか？」Ｂ男「点（2，1）についての対称性だから、点（2，1）を通る直線との交点を考えます」「いいね。ソフトGeogebraでは直線の傾きKを変化させてグラフを見ることが出来る」Ｂ男「対称性がとてもわかりやすく視覚化されます」「結局、ｙ＝ｘ3＿6ｘ2＋9ｘ－1とｙ＝ｘ3－3ｘは同じグラフだ」「このことはグラフソフトで確かめられないかい」Ｂ男「Geogebraですか。平行移動を画面上でさせます」「平行移動はスライダーという機能を使って画面で確かめられる」Ｂ男「スマホ版もありとても便利です。数学の学習も変わりますね」「そうだね。グラフソフトが使いやすくなったのでいろいろ使える」「例えば今回の展開式もグラフで確認できる」Ｂ男「えっ？どうするんですか」「αをスライダーで変えて展開式をグラフで表示するんだ」「2次までの展開式、1次までの展開式をグラフ表示してみよう」「このグラフはどう見たらいい」Ｂ男「こんなグラフ、見たことありません」Ｂ男「ｘ＝ｋで、赤は接線、紫は2次式での近似曲線！」「さらに3次式の項を加えると3次関数になるわけだ」「展開式の発展として次は何を考える？」Ｂ男「次は４次関数のグラフです。対称性は……」「２次関数や３次関数のような対称性は？」Ｂ男「これは４次の展開式です。奇数次の項がなくなれば線対称のグラフです」「そうだね。具体例から確かめてみよう」Ｂ男「確かに成り立っています　　展開式で考えると本当に見通しがいいです」　今回はここまで。次回をお楽しみに。
12Sep
- 「秘伝の数学」３次関数のグラフ（点対称）
  ３次関数のグラフ（点対称）　こんにちは。前回は２次関数のグラフを展開式から考えました。今回はさらに展開式を使って３次関数のグラフについて考察してみましょう。「Ｂ男クン、前回は２次関数の線対称を展開式から説明しました」Ｂ男「少し高い立場の展開式から対称性を考えることに驚きました今日は３次関数のグラフの点対称性ですね。少し考えてみました」「どう考えた？」Ｂ男「先生がいつも言うように具体例から考えました」「いいいね。具体例から考えたわけだね」Ｂ男「具体例はｙ＝ｘ３＿３ｘのグラフです」Ｂ男「問題は、グラフを描くことと、原点についての対称性です」「どうして、原点対称とわかった？」Ｂ男「極大点と極小点の中点です」Ｂ男「グラフはソフトGeogebraを使って書きました」「ｙ＝ｍｘはなんだい」Ｂ男「原点対称が分かるように引いた原点を通る直線です」「なるほど。ところで原点対象は式変形では分からないかい」Ｂ男「えっ？式変形？」Ｂ男「あっ、そうか。関数はｘについての奇数乗しかありませんね」ｆ（－ｘ）＝―ｆ（ｘ）から分かります」「もう一つ具体例を考えてみよう」Ｂ男「実は考えました。次の関数です」Ｂ男「この場合も極大点と極小点の中点で対称点は（２、１）」「さっき、奇数乗といったね。ここでもう一度展開式を眺めてみよう」Ｂ男「そうか、（ｘ－α）２の項が０となればいいんだ」Ｂ男「残りは（ｘ－α）の奇数乗です」「そのような点のｘ座標をαと置けばよい。２回微分０の点といってもよい」「上のように変数をＸ，Ｙで置き換えるとよくわかる」Ｂ男「これで真相がよく分かりました」「２番目の関数ではα＝２となる。展開式からも確かめておこう」Ｂ男「展開式から考えればグラフの性質がよく分かります」「そうだね。抽象度の上がった段階で考えればより見通しがよくなる」Ｂ男「いままで微分というと増減表をかいてグラフを描くだけでした」「具体例から考えれば決して思いつかないことではないですね。「その通り。公式の記憶だけの数学とは違う世界だね」　それでは今回はここまで。　次回をお楽しみに。
11Sep
- 「秘伝の数学」展開式➁
  ２次関数を展開式から考える　こんにちは。前回は整式の展開式を微分の利用で導きました。今回はこの展開式を使って関数について考察してみましょう。「Ｂ男クン、前回は展開式を微分で導きました。どう思いましたか」Ｂ男「微分の表現に驚きました。いろいろなことが見えてきそうです」「そうだね。それでは今回はこの展開から分かることを具体的に考えよう」「具体的に次のような問題を設定しよう」「前回は３次式の整式の展開を考えたね。２次式ではどうなる？」Ｂ男「簡単です。以下のようになります」「そうだね。ここで問題だ。展開式から考えてみよう」➀ｆ(ｘ) が（ｘ－α）２で割り切れる条件➁２次関数のグラフについて、特に軸について展開式からわかることＢ男「（ｘ－α）で割り切れる条件はｆ（α）＝０、いわゆる因数定理です」「そうだね。ここでは２次の平方式についてどうなるかという問題だ」Ｂ男「展開式から考えるわけですね。この考えはとても面白いです」「問題を具体的にまとめてみよう」Ｂ男「あっ！（１）は展開式から考えれば簡単です。　　展開式の後ろの二項の係数が０になればよいです」「そうだね。条件式は二つになるわけだ」Ｂ男「これって、いわゆる判別式が０ですよね」「その通り。αを消去すれば判別式＝０となる。確かめておくこと」Ｂ男「（２）はどうなりますか。軸なのでαは極値のｘ座標ですｆ‘（α）＝０から展開式が簡単になります。αも求まります」「そうだね。➁式は直線ｘ＝αでグラフが対称であることを表している」Ｂ男「いわゆる放物線の軸ですね。確かに軸の頂点は極値の点です」Ｂ男「平方完成しか頭になかったです。理解の次元が上がりました」「展開という次元の少し上がった見方をすると見え方が変わるわけだ」「次はどうする」Ｂ男「今は２次式を考えたので、次元を上げて３次式を考えます」「そうしよう。３次関数のグラフで知っていることはあるかい」Ｂ男「グラフは点対称です。あっ！これは展開式から分かりそうです」「αをどこに取るかが問題だ」Ｂ男「少し考えさせてください」　　今回はここまで。次回は３次関数の点対称について。　次回をお楽しみに。
10Sep
- 「秘伝の数学」２次関数の補間
  ２次関数の補間　こんにちは。前回は３点を通る折れ線のグラフについて考えました。今日は３点を通る２次関数について考えます。「Ｂ男クン、前回は３点を通る折れ線を考えたね」Ｂ男「はい。３点が同一の直線上になければ３点を通る２次関数が求まると思います」「そうだね。それでは今回はその問題について考えよう」「具体的に問題を次のように設定しよう」Ｂ男「代入するだけです。教科書で解きました」「そうだね。ただしここで終わらないのが「秘伝の数学」だ」Ｂ男「代入だけでは工夫がないので別解を考えます」Ｂ男「連立方程式を解くだけではいかにも機械的ですから。　　計算が少なくなる工夫をしてみます」「ｘ＝１を代入してｙ＝１となるような式で置けないかい？」Ｂ男「例えば（１、１）を通るなら直線ならｙ＝a（ｘ－１）＋１とおける」「考えている式は２次式なので……」Ｂ男「ｘ＝－１のときも考慮して以下のように式を立てます」「なるほど、うまく式をおいたね。これなら確かに代入計算が簡単になる」Ｂ男「少しの工夫でかなり変わりますね」「さらに見通しよく工夫できないか」Ｂ男「えっ？まだあるんですか」「簡単にできるのは何か背景があるからだよ」「深い思考は背景を見抜くことにつながる」「ｙを（ｘ－１）について展開する」Ｂ男「どういうことですか」「次のようにｆ(ｘ)をおいてみる」「ｆ(ｘ)＝Ａ１（x－１）2+Ａ2（x－１）+Ａ3」Ｂ男「なるほど。この形で係数を求めてみます」Ｂ男「できました。この係数に秘密があるんですね」「そうだね。どう考える」Ｂ男「えっ？どう考えるんですか」「より簡単で具体的な場合で考えるとよい」Ｂ男「２次から１次に次元を下げて直線の場合を考えます」「とてもよい発想だ」Ｂ男「具体的に次の例を考えます」Ｂ男「係数は傾きで微分係数だ。そうか、上の場合も微分ですね」「よく気がついたね。それではｙを微分して考えてみよう」Ｂ男「係数に微分係数がくるんだ。これは驚きです」「具体から一般へ。この思考パターンが数学の醍醐味なんだ」Ｂ男「これは感動的です。僕にも発見出来るかも知れない」「そうだね。深い思考で数学を楽しんでもらいたい」　今回はここまで。　次回はこの展開をさらに深く考えます。お楽しみに。
09Sep
- 「秘伝の数学」折れ線のグラフ
  絶対値のグラフを描くこんにちは。今日は絶対値のついたグラフについての２回目です。「Ｂ男くん、絶対値の方程式｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝３は解けたかい？」Ｂ男「グラフがかけたので直線ｙ＝３との共有点から求まりました」「それでは、グラフを利用した解答をみてみよう」「そうだね。この解法では何が分かる？」Ｂ男「左辺が３のときの解ですが、３以外の場合も解の状況が読み取れます」「そうだね。やはりグラフ化というのは見通しがよくなる解法だ」「問題を発展させよう。方程式｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＋｜ｘ－３｜＝３」Ｂ男「場合分けの解法を考えます。絶対値の中が０になる１、２、３で場合分けします」「そうだね。数直線を書いて考えてみよう」「正解だ。絶対値の符号が変わる点での場合分けだ」「ところで……」Ｂ男「分かっています。グラフでの別解ですね」Ｂ男「直線ｙ＝３との共有点がｘ＝１、３で解となります」Ｂ男「ｘ＝１、２、３が折れ線の頂点になるんですね」「そうだね。ここで何か問題が作れないか」Ｂ男「えっ？問題ですか。逆を考えます」「というと？」Ｂ男「決まった３点を通る折れ線を持つ関数を求めます」「なかなかいい考えだ。問題をつくる精神は「秘伝の数学」だ」Ｂ男「具体的に次のように問題を設定します」「では、解いてみよう。どう考える」Ｂ男「絶対値記号を｜ｘ－１｜、｜ｘ－２｜、｜ｘ－３｜を使います」「ここから、どうする？」Ｂ男「ｙ＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＋｜ｘ－３｜ではうまくいきません」「３点を通るという条件は３つ。ということは……」Ｂ男「係数が３つ使える。わかりました」Ｂ男「ｙ＝a｜ｘ－１｜＋b｜ｘ－２｜＋c｜ｘ－３｜とおけばできます」「その通り。あとは座標を代入してa、b、cを求めればよい」Ｂ男「できました。折れ線はこのように作ることができるんだ」Ｂ男「このような問題は見たことがありません」「何度も言うが問題は疑問から生まれる。その問題を自分で考える」Ｂ男「まさしく「秘伝の数学」ですね」　　今回はここまで。次回をお楽しみに。
08Sep
- 「秘伝の数学」絶対値
  　こんにちは。今日は絶対値記号のついたグラフについて考えます。「Ｂ男くん、絶対値記号のついたグラフはかけるかい」Ｂ男「少し絶対値記号は苦手です」「絶対値記号の苦手な人は多い。今回は絶対値記号のついたグラフについて復習しよう」「それではｙ＝｜ｘ｜グラフを描いてみよう」「場合分けとグラフを利用する二つの方法がある」Ｂ男「それぞれの方法で描いてみます」Ｂ男「場合分けは範囲を分けて絶対値記号を外す。グラフは……」「絶対値記号で負の値は正の値に変わる。グラフで考えるとどうなる？」Ｂ男「そうか。グラフの負の部分が正に変わるわけですね。だから、グラフの負の部分をｘ軸について対称移動させればよい」「そうだね。それぞれやってみよう」「それでは方程式　｜ｘ｜＝Ａ　を解いてみよう。（Ａは正の定数）」Ｂ男「方程式ですか。グラフを利用して考えるんですね」Ｂ男「方程式の解は二つのグラフｙ＝Ａとｙ＝｜ｘ｜の共有点です」Ｂ男「x=±A できました」Ｂ男「この形は教科書では公式です。グラフで考えると分かりやすいです」「いろいろな方法で考えることが数学では重要。グラフ利用は特に大切」「もう少し絶対値のグラフを考えてみよう」Ｂ男「絶対値の中のグラフをかいて対称移動で描きます」「グラフでｙの負の部分をｘ軸に関して対称に移動させればよい」Ｂ男「➀と②はかけました。」Ｂ男「➂はどうするんですか」「そうだね。絶対値記号が二つあるので場合分けが必要」Ｂ男「こんな折れ線のグラフになるんだ」「➃のグラフをかく前にこのグラフから方程式｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝３x-1+x-2=3　を解いてみよう。今回の宿題だ」ということで、今回はここまでです。方程式｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝３x-1+x-2=3は次回扱います。お楽しみに。