こんにちは。今回もΣの計算について学びます。
前回Σｋ³の計算まで行いました。今日はΣｋ⁵、Σｋ⁷の計算です。
Ｂ男「先生、Σｋ³の計算は大変でした。もう少し簡単になりませんか」
「そうだね。今回は工夫してΣｋ⁵、Σｋ⁷の計算が出来るかやってみよう」
Ｂ男「教科書の階差の方法なら(ｋ＋１)⁶－k⁶の計算で複雑すぎます」
「ここからが工夫だ。ポイントは階差の式だ。もう一度整理してみよう」
「階差の式の工夫だ。ΣｋもΣｋ³も共通の因数はないか」
Ｂ男「あっ！共通の因数はn(n+1)です。これが階差式のヒントだ」
「そうだね。n(n+1)を使った階差式はどうなる」
Ｂ男「できそうです。さらにｎ²(n+1)²を使った階差式も計算します」
Ｂ男「とても簡単な計算ですね」
「Σｋ⁵、Σｋ⁷にも挑戦してみよう」
Ｂ男「本当に見通しがいいです。数学はアイデアですね」
Ｂ男「Σｋ⁵、Σｋ⁷の式には因数ｎ²(n+1)²を持つという特色があります」
Ｂ男「これはどうしてだろう。証明できますか」
「ヒントは階差の関係式にある」
「考える前にＳ₁、Ｓ₃、Ｓ₅、Ｓ₇のグラフを描いてみよう」
Ｂ男「えっ？グラフですか。Geogebraですね」
Ｂ男「これがスマホですぐに描けるわけですね」
Ｂ男「グラフは直線ｙ＝―１／２について対称です」
「不思議だね。これも次回証明を考えてみよう」
今回の結果と課題をまとめます。
今回はここまで。次回をお楽しみに。