こんにちは。今回は点と放物線の最短距離について考えます。
以前、点と直線の距離公式を扱いました。今回はその発展です。
「Ｂ男くん、直線と点の距離は求められるかい」
Ｂ男「以前に学んだ『点と直線の距離公式』を使えば簡単です」
「それでは、具体的な問題で復習をしてみよう」
「原点と直線ｘ－２ｙ－２＝０の距離を求める」
Ｂ男「距離は『点と直線の距離公式』を使うだけです」
「そうだね。では公式を使わないとしたらどうする？」
Ｂ男「それは原点を通る垂線と直線の交点Ｈをもとめ、Ｈから距離を出します」
「そうだね」
Ｂ男「ところで直線が放物線に変わったらどうなりますか」
「いい質問だ。問題を発展させる精神が『秘伝の数学』だ」
「具体的に次のように問題を設定しよう」
Ｂ男「見たことのない問題です。やりがいがあります」
「さきほど扱った直線の場合を思い出してみよう」
Ｂ男「簡単な場合を考えるわけですね。でも放物線の場合の公式はありません」
「なければ作ればよい。ヒントとして何を最小にするのか？」
Ｂ男「距離を最小にするわけですから、そうか、距離の式から考えればよい」
「そうだね。最初に扱った原点と直線の距離を考えてみよう」
Ｂ男「ということは『点と直線の距離公式』も２次関数の最小計算で導かれますか」
「それは実際に計算すればわかる。点は原点で計算してみよう」
Ｂ男「わかりました。やってみます」
Ｂ男「この方法も考えていませんでした。言われれば当然の解法ですね」
「この問題はいろいろ考えることが出来る。図形的な意味は？」
Ｂ男「図形的な意味？どういうことですか」
「定点から一定の距離の点からなる図形は？」
Ｂ男「円です。あっ、そうか。円が図形に接する時が最短距離だ」
「そうだね。円が接するときはどう計算する？」
Ｂ男「二式を連立して出来る２次方程式が重解になればよいです」
Ｂ男「直線と点の距離については２通りの解法を行いました。
一つは距離の式の最小値を求め最短の場合を導く、
もう一つは直線が円に接する場合から最短の場合を導きました」
「いろいろな考え方があるね。この考えを原点と放物線の距離の場合に使えないか」
Ｂ男「使えそうです。これは興味深い問題になります」
次回はこれらの考え方でどこまで分かるのか考察します。
キミも是非挑戦してください。次回をお楽しみに。