こんにちは。今回は垂心を問題にして直交することの証明を考えます。
Ｂ男「今回も直交性の問題を扱うのですね」
「直交することはいろいろな応用で使われます。数学を考える上でも重要です」
「垂心の問題です。問題をはっきりさせましょう」
「中学校で習う図形の知識で解いてみましょう」
Ｂ男「これは難しいです。ヒントをください」
「問題の設定として、頂点Ａ、Ｂから対辺に下ろした垂線の交点をＨとし
そのＨでＡＨ⊥ＢＣを示しましょう」
Ｂ男「なるほど。わかりました」
「円に内接する四角形はありませんか」
Ｂ男「えっ？直角なので四角形ＡＤＨＦ」
「もうひとつあります」
Ｂ男「∠Ｄと∠Ｆが９０°なので四角形ＤＢＣＦです」
「等しい角を捜してください」
Ｂ男「なんとかできました。こんな方法があるわけですね」
「次の別解はどうしますか」
Ｂ男「垂直なのでベクトルの内積で考えます」
「まずはベクトルの設定ですね。交点Ｈをベクトルの始点としましょう」
Ｂ男「内積の式①、➁の連立式を解いて証明できました」
「次の別解はありますか」
Ｂ男「ベクトルの次は座標を使った解法を考えます」
「座標をどのように設定しますか」
Ｂ男「計算が簡単になるようにします」
Ｂ男「辺ＢＣがｘ軸、頂点Ａがｙ軸上にあるように座標を設定します」
Ｂ男「直線の式①、➁を連立して交点Ｈがｙ軸上の点であることがわかりました」
「よくできました。他に方法はありますか」
Ｂ男「ベクトルが出たので、複素数で考えます」
「設定はベクトルの場合と同じです。Ｈを原点、直交条件は？」
Ｂ男「えーと、分数が純虚数です」
Ｂ男「ここからどうしたらよいのか」
「前の解法と同じです。①、➁をβ、γの連立方程式として解いてみましょう」
Ｂ男「別解の解法がヒントになるわけですね」
Ｂ男「できました。少し計算が大変ですね」
「複素数の直交条件は➂にかいておきました」
今回はここまで。次回をお楽しみに。