「高校生の数学」放物線➄
高校生の数学（放物線➄）こんにちは。このブログでは高校での数学を新しい観点から学ぶ内容となっています。今回は放物線と直線で囲まれた面積公式についてのお話です。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし、数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子内田 「また放物線の話ですか」あつし 「放物線は奧が深い。学びたいです」ヨッシー先生 「わかりました。放物線と言えば面積公式が残っている。その内容を考えます」森 「教科書では積分の式変形で求めています」ヨッシー先生 「そうですね。今回は簡単に式変形の説明をしたあと、面積を分けて求めるいわゆる区分求積法に触れましょう」森 「もともと積分は区分求積なので同じと言えば同じですね」森「積分の式変形からやってみます。展開して積分が出てきます」橋本「少し工夫したいよな。何かないか」森「放物線をｘ軸方向に平行移動して原点を通るようにすれば計算は簡単になります」内田「えっ？よくわからないのでとにかくやってください」森 「積分の式は②式になるので②式を求めればよいことになります」橋本 「関数も－（ｘ－α）（ｘ－β）を考えればよいわけだ」森 「ここでさっき言ったようにこの関数のグラフをｘ軸方向に平行移動して原点を通るようにするわけです」内田 「なるほど。そういうことを言っていたんだ」内田 「確かにこれなら僕でも簡単にできるよ」ヨッシー先生 「それでは区分求積法で計算してみましょう」森 「放物線の扇形部分を細かい長方形にわけその和の極限を求めます」内田 「何を言っているんだ？具体的にやってよ」橋本 「図の様に０からαをｎ等分して、長方形の和を求めるんだ」内田 「後は長方形の数を無限に増やす、ｎ→∞の計算」森 「ここでΣｋ、Σｋ²の公式が使われます」内田 「そういうことか」橋本 「ヨッシー先生、まだ何かあるのですか」ヨッシー先生 「アルキメデスが考えた三角形の区分求積も考えてみましょう」内田 「なんですか、それは」ヨッシー先生 「図の放物線の扇形ＡＤＢの面積を求めるとします」森 「説明させてください」森 「原理は扇形ＡＤＢの面積を三角形に分割して和の計算で求めます」森 「弦ＡＢの中点Ｅを通る軸に平行な直線を引き、その交点をＤとします。 三角形ＡＢＤの面積を求めます。面積は(a/8)(β―α)³となります」橋本 「内田、分かるか？座標から三角形の面積を求める公式を使うんだよ」内田 「えっ？確認しておきます」森 「さらに扇形ＡＤと扇形ＤＢの部分を２つの三角形に分けて面積を求める。このような操作を繰り返すわけです」森 「上の図で例えば扇形ＤＢの部分で中点Ｅを通る線分の交点Ｆを求め、△ＤＦＥの面積を求める。このように次々に三角形を 作り分割して和を求めていく方法です」橋本 「原理は分かるけど、面積がどのように変わっていくかがポイントだね」森 「分割された三角形の面積は辺が１／２倍で３乗になるので１／８倍、ところが三角形は2倍増えるので結局2✕（1／8）＝1 ／4。三角形の面積は分割するたびに1／4倍されます」ヨッシー先生 「ここはポイントですね。最初の△ＡＢＤをＳ１とすると和は初項Ｓ１公比１／４の無限等比級数となります」内田 「分割の仕方もいろいろあるわけだ。面白いですね」ヨッシー先生「新しい言葉や表現は、自分で調べてみるとよいと思います」内田 「そうします。方向性は分かったのでやってみます」森 「これで（β―α）³の３乗の意味が少し分かりました」 今回はここまで。次回をお楽しみに。
