「円 外接円、内接円」（高校生の数学）
【円 内接円、外接円】（高校生の数学）こんにちは。このブログは高校での数学を新しい観点から学ぶ内容となっています。今回は三角形の内接円、外接円ついてのお話です。登場人物2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし、数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子ヨッシー先生「円に関わるお話が続いています。今回は三角形の外接円、内接円です」内田「外接円、内接円で何をするのですか」ヨッシー先生「外心、内心とはどのような点ですか」内田「えっ？外接円、内接円の中心でしょ」ヨッシー先生「そうですが、３つの直線の交点という見方で言うとどうなりますか」森「外心は３つの辺の垂直二等分線の交点、内心は３つの内角の二等分線の交点です」ヨッシー先生「そうです。ここで注意したいのは３つの直線の交点ということです」内田「何がいいたいのですか」橋本「３つの直線が１点で交わることは当たり前でない、すなわち証明がいると言うこと です」ヨッシー先生「そうです。今回はその証明を考えましょう」森「今回は直線の方程式を使って示すわけですね」ヨッシー先生「いろいろな解法がありますが、直線の方程式を利用しましょう」橋本「各辺の垂直二等分線の交点が外心ですね。垂直二等分線を表せばよい」森「辺ABの垂直二等分線は垂線上の点P(x,y)に対してAP=BPと表現できます」ヨッシー先生「この関係式から垂直二等分線を表してみましょう」森「①式がAP²=BP²、②式がAP²＝CP²です。それぞれ２乗の項が消えｘ、ｙの一次式で垂直二等分線を表しています」ヨッシー先生「①式から②式を引くとどうなりますか」森「あっ、これはBCの垂直二等分線ではないですか」ヨッシー先生「よく気がつきましたね。ABとACの垂直二等分線の交点は、BCの垂直二等分線上の点となっています。すなわちAB,AC,BCの垂直二等分線は１点で交わることになります」森「①式、②式からBCの垂直二等分線が導かれる、だから交点はBCの垂直二等分線上にあるわけですね」ヨッシー先生「同じ考え方で内心についても証明でできます」橋本「内田、内心、わかるか」内田「さっき、ヨッシー先生が言ってたよ。内角の二等分線の交点だろ」橋本「ということは内角の二等分線を表す必要があるわけだ」内田「角の二等分線上の点は、辺までの距離が等しい」橋本「内田、さえているな、それを式でどう表すかだ」森「点から直線までの距離なので点と直線の距離の公式が使えないか」森「各辺を➂式のように定めます。分母は正になる様に係数が決めてあるとします。それで絶対値がはずしてあります」森「∠Aの二等分線は点と直線の距離の公式より④式となります」橋本「同じようにして∠Bの二等分線も表せるわけ（➄式）」森「∠Bの二等分線が➄式、④式と➄式から⑥式となります」橋本「この⑥式が∠Cの二等分線を表しているわけだ」森「外心の場合と同じ理由で各内角みら二等分線は一点で交わるわけですね」橋本「同じ原理で解けるわけですね。これは面白い」ヨッシー先生「同じ原理で解ける問題を考えてみるとよいですね」ヨッシー先生「例えば次の問題はどうでしょうか」ヨッシー先生「この問題は宿題としておきましょう」今回はここまでです。お読みの皆様方、是非いろいろなご意見をお寄せください。この数学ブログは、新しい観点、原理を重視した内容となっております。
