今日も，ありがとうございます．
「実数って，ベクトル？」今回も，これが主題です．
実数の定義と性質の概略のみを（論理展開に応じて３つ）紹介しています．
大学数学って？[0008] 実数って，ベクトル？・解答編１（実数の公理） では，３つのうちの１つ目「実数の公理」を紹介しました．
そして，大学数学って？[0009] 実数って，ベクトル？・解答編２（実数の公理） では，「実数の公理」から，実数が「線型空間の公理」をみたすことを証明しました．
前回 大学数学って？[0010] 実数って，ベクトル？・解答編３（ペアノの公理，自然数の公理） では，３つのうちの２つ目「ペアノの公理」を紹介しました．（「自然数の公理」に相当しますが，そんな呼び方をしている人を知りません．）
ペアノの公理をみたすものを自然数とよび，
適当に，
自然数から整数を構成し，
整数から有理数を構成し，
有理数から実数を構成すると，
その実数は「実数の公理」をみたすようです．（ペアノの公理を議論の出発点に選ぶと，「実数の公理」は公理でなく，定理になる訳ですね．）
実数の公理をみたすものは，「線型空間の公理」をみたすことは，
大学数学って？[0009] 実数って，ベクトル？・解答編２（実数の公理）
で見た通りです．
よって，「ぶっちゃけ，実数はベクトルとみなすことができるというわけです．」
そして，今回は「実数って，ベクトル？」最終回です．「公理的集合論」を紹介します．
しかし，前もって言っておきます．あまり深入りしなくて結構です．私もよくは知りません（笑）．
私の理解では，次の通りです．
「公理的集合論」では，数学的対象を「集合」のみに限定します．
しかも，何でもかんでもいいわけでなく，公理によって何が許されるのかを記述します．（一応，後述の【ぶっちゃけ小話】で紹介はしてみます．）
そして，次のように，自然数 0,1,2,3,・・・ を定義します．
そうすると，前回（大学数学って？[0010] 実数って，ベクトル？・解答編３（ペアノの公理，自然数の公理）），紹介した「ペアノの公理」が証明できるようです．よって，上述の通り，
自然数から整数を構成し，
整数から有理数を構成し，
有理数から実数を構成すると，
その実数は「実数の公理」をみたすようです．（公理的集合論の公理を議論の出発点に選ぶと，「実数の公理」は公理でなく，定理になる訳ですね．）
実数の公理をみたすものは，「線型空間の公理」をみたすことは，
大学数学って？[0009] 実数って，ベクトル？・解答編２（実数の公理）
で見た通りです．
よって，「ぶっちゃけ，実数はベクトルとみなすことができるというわけです．」
【ぶっちゃけ小話】
今回の記事は，島内剛一『数学の基礎』（日本評論社）を参考にしました．
数学の基礎 (日評数学選書)/日本評論社
- ￥7,350
- Amazon.co.jp
今日も，ありがとうございました．
【TeX source text】以下は読まなくても結構です． - \documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
- \usepackage{amsmath}
- \pagestyle{empty}
- %%%%%% TEXT START %%%%%%
- \begin{document}
- $\emptyset$ を 0 と書く．
- $a\cup \{ a\}$ を $a'$ と書く．
- $0'$ を 1 と書く．
- $1'$ を 2 と書く．
- $2'$ を 3 と書く．
- $3'$ を 4 と書く．
- $4'$ を 5 と書く．
- $5'$ を 6 と書く．
- $6'$ を 7 と書く．
- $7'$ を 8 と書く．
- $8'$ を 9 と書く．
- \newpage
- \begin{itemize}
- \item
- ちょっと遊んでみましょう：
- \begin{eqnarray*}
- 0 &=& \emptyset.
- \\
- 1 &=& 0' = 0\cup\{0\} = \emptyset\cup\{\emptyset\} = \{\emptyset\} = \{0\}
- \\
- &=& \emptyset.
- \\
- 2 &=& 1' = 1\cup\{1\} = \{ 0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
- \\
- &=& \{\emptyset,\{\emptyset\}\}.
- \\
- 3 &=& 2' = 2\cup\{2\} = \{0,1\}\cup\{2\} = \{0,1,2\}
- \\
- &=& \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}.
- \\
- 4 &=& 3' = 3\cup\{3\} = \{0,1,2\}\cup\{3\} = \{0,1,2,3\}
- \\
- &=&
- \{
- \emptyset,
- \{\emptyset\},
- \{\emptyset,\{\emptyset\}\},
- \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}
- \}.
- \\
- 5 &=& 4' = 4\cup\{4\} = \{0,1,2,3\}\cup\{4\} = \{0,1,2,3,4\}
- \\
- &=&
- \{
- \emptyset,
- \{\emptyset\},
- \{\emptyset,\{\emptyset\}\},
- \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},
- \{
- \emptyset,
- \{\emptyset\},
- \{\emptyset,\{\emptyset\}\},
- \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}
- \}
- \}.
- \end{eqnarray*}
- \bigskip
- \item
- 公理的集合論の公理系を紹介します．
- \textgt{ツェルメロ・フレンケルの集合論}（略称「\textbf{ZF}」）というそうです．
- 因みに，公理4,5 は他から導けるので，公理に入れる必要はないようです：
- \medskip
- 公理 1〔 $=$ の反射律〕
- \[
- \forall x\ x=x.
- \]
- 公理 2〔 $=$ の代入法則〕
- $A(x)$ を $x$ に関する命題で，$y$ を含まないものとするとき，
- \[
- \forall x,y(x=y \land A(x)\ \rightharpoonup\ A(y)).
- \]
- 公理 3〔外延の公理〕
- \[
- \forall x,y(\forall z(z\in x\ \rightleftharpoons\ z\in y)\ \rightharpoonup\ x=y).
- \]
- 公理 4〔分出公理〕
- $A(x)$ を $x$ の命題とするとき，
- \[
- \forall a \exists y \forall x(x\in y\ \rightleftharpoons\ x\in a \land A(x)).
- \]
- 公理 5〔対の公理〕
- \[
- \forall a,b \exists y \forall x(x\in y\ \rightleftharpoons\ x=a \vee x=b).
- \]
- 公理 6〔合併集合の公理〕
- \[
- \forall a \exists y \forall x(x\in y\ \rightleftharpoons\ \exists u(x\in u \land u\in a)).
- \]
- 公理 7〔ベキ集合の公理〕
- \[
- \forall a \exists y \forall x(x\in y\ \rightleftharpoons\ x\subset a).
- \]
- 公理 8〔無限公理〕
- \[
- \exists y(0\in y \vee \forall x(x\in y\ \rightharpoonup\ x'\in y)).
- \]
- 公理 9〔選出公理〕
- \[
- \forall a \exists f(f:a\text{の選出関数}).
- \]
- 公理 10〔置換公理〕
- $A(x,y)$ を $x$ と $y$ とに関する命題とするとき，
- \begin{eqnarray*}
- & & \forall x(A(x):y\text{について一意})\\
- &\rightharpoonup & \forall a \exists b \forall y
- [
- y\in b\ \rightleftharpoons\ \exists x(x\in a \land A(x,y))
- ].
- \end{eqnarray*}
- \bigskip
- \item
- 上記に関して，記号をいくつか紹介します．
- \begin{itemize}
- \item
- $\forall x$ は「任意の $x$」
- \item
- $\exists$ は「ある $y$」「$y$ が存在」
- \item
- $\land$ は「かつ」
- \item
- $\vee$ は「または」
- \item
- $\rightharpoonup$ は「ならば」
- \item
- $\rightleftharpoons$ は「同値」
- \end{itemize}
- \end{itemize}
- \end{document}