今日も，ありがとうございます．
「実数って，ベクトル？」今回も，これが主題です．
実数の定義と性質の概略のみを（論理展開に応じて３つ）紹介しています．
大学数学って？[0008] 実数って，ベクトル？・解答編１（実数の公理） では，３つのうちの１つ目「実数の公理」を紹介しました．
そして，大学数学って？[0009] 実数って，ベクトル？・解答編２（実数の公理） では，「実数の公理」から，実数が「線型空間の公理」をみたすことを証明しました．
今回は，３つのうちの２つ目「ペアノの公理」を紹介します．（「自然数の公理」に相当しますが，そんな呼び方をしている人を知りません．）
ペアノの公理をみたすものを自然数とよび，
適当に，
自然数から整数を構成し，
整数から有理数を構成し，
有理数から実数を構成すると，
その実数は「実数の公理」をみたすようです．（ペアノの公理を議論の出発点に選ぶと，「実数の公理」は公理でなく，定理になる訳ですね．）
実数の公理をみたすものは，「線型空間の公理」をみたすことは，
大学数学って？[0009] 実数って，ベクトル？・解答編２（実数の公理）
で見た通りです．
よって，「ぶっちゃけ，実数はベクトルとみなすことができるというわけです．」
では，「ペアノの公理」とは何か？ 下に紹介いたします．
今回の記事は，松坂和夫『代数系入門』（岩波書店）を参考にしました．
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- 今日も，ありがとうございました．
【TeX source text】以下は読まなくても結構です．\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsmath}\makeatletter\def\mapstofill@{%\arrowfill@{\mapstochar\relbar}\relbar\rightarrow}\newcommand*\xmapsto[2][]{%\ext@arrow 0395\mapstofill@{#1}{#2}}\makeatother\pagestyle{empty}%%%%%% TEXT START %%%%%%\begin{document}\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}\item\textgt{「ペアノの公理」から出発する方法}集合 $\mathbb{N}$，ある元 $0\in\mathbb{N}$，写像 $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ が，次の「\textgt{ペアノの公理}」をみたすとき，$\mathbb{N}$ の元を \textgt{自然数} とよぶ．\begin{enumerate}\item$\sigma$ は単射である．\item$0\notin\sigma(\mathbb{N})$．\item$S\subset\mathbb{N}$ とするとき，\[0\in S\ \text{かつ}\ \sigma(S)\subset S\LongrightarrowS=\mathbb{N}.\]\end{enumerate}\end{enumerate}\bigskip\bigskip\noindent\textgt{【ぶっちゃけ小話】}\begin{itemize}\itemイメージとしては，次のような感じです：\[0\xmapsto{\sigma}1\xmapsto{\sigma}2\xmapsto{\sigma}3\xmapsto{\sigma}4\xmapsto{\sigma}\cdots\]大学数学では，0 も自然数に含めるという立場をとることが多いです．写像 $\sigma$ は \textgt{後継者写像} とよばれます．$\sigma(n)$ は $n$ の \textgt{後継者} とよばれます．\medskip\item(c) は \textgt{数学的帰納法} の公理とよばれます．\smallskip数学的帰納法とは，次の通りでした：（命題 $P$ に対して，）(I) $P(0)$(II) $P(k)\Longrightarrow P(k+1)$$\Longrightarrow$\任意の自然数 $n$ に対して $P(n)$ が成り立つ．\smallskipここで，$S=\{ n\in\mathbb{N}|P(n)\}$とおいてみましょう．(I) は，$0\in S$ を表しています．(II) は，$k\in S\Longrightarrow k+1\in S$ を表しています．(II) をもう少し言い換えると，$k\in S\Longrightarrow\sigma(k)\in S$ となり，$\sigma(k)\in \sigma(S)$ ですから，$\sigma(S)\subset S$ となります．ここで，集合・写像の言葉を復習してみると，\begin{itemize}\item写像 $f:X\rightarrow Y$ と $A\subset X$ に対して，$f(A):=\{ f(x)|x\in A\}$ を $A$ の $f$ による \textgt{像} とよびます．\item任意の $x$ に対して $x\in A\Longrightarrow x\in B$ が成り立つとき，$A\subset B$ と表します．\end{itemize}\item(a) の「単射」ですが，ここでも，写像の言葉を復習してみると，写像 $f:X\rightarrow Y$ が，\[x\neq y\Longrightarrow f(x)\neq f(y)\]をみたすとき，\textgt{単射} であるといいます．待遇\[f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y\]も使えます．（よく使います．）\smallskip任意の $x\in X$ に対して，$f(x)\in Y$ がただ 1 つ定義されているとき，$f$ を \textgt{写像} とよぶのでした．ここで注目したいのは，「$x\neq y$ だからといって $f(x)\neq f(y)$ にならなければならない」というわけではないということです．$f(x)\neq f(y)$ となるときに，特に「単射」とよびます．\end{itemize}\end{document}