今日も，ありがとうございます．
「実数って，ベクトル？」今回も，これが主題です．
もう少し詳しく言うと「実数全体の集合は，線型空間をなす」ということです．
（「線型空間」の復習は，大学数学って？[0006] 線型空間とは？ にて）
さらに詳しく言うと，前回の通りです．
前回は問題編，今回は解答編１です．
「実数なんだから，当たり前じゃないの？」なんて声が聞こえてきそうですが・・・
（高校までは，当たり前のように使ってきた性質ばかりですね．）
実際に証明しようとすると，実は実は，かなり奥が深いのです．私もまだ勉強しきれておりません．（当たり前に思えるものほど，奥が深い．）
まずは，実数の定義と性質の概略のみを（論理展開に応じて３つ）紹介します．
今回は，３つのうちの１つ目です．
今回の記事は，杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東京大学出版会）を参考にしました．
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- 今日も，ありがとうございました．
【TeX source text】以下は読まなくても結構です．\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}\usepackage{amssymb}\pagestyle{empty}%%%%%% TEXT START %%%%%%\begin{document}\begin{enumerate}\item\textgt{「実数の公理」から出発する方法}次の (a) 四則演算，(b) 順序，(c) 連続 に関する公理をみたす集合 $\mathbb{R}$ の元を \textgt{実数} とよぶ．\begin{enumerate}\item四則演算任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対し，$a+b,ab\in\mathbb{R}$ が定義され，次をみたす．$a+b$，$ab$ をそれぞれ $a$ と $b$ の \textgt{和}，\textgt{積} とよぶ：\begin{enumerate}\item任意の $a,b,c\in\mathbb{R}$ に対して，\[(a+b)+c=a+(b+c).\]\item次をみたす $0\in\mathbb{R}$ が存在する：任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して，\[a+0=0+a=a.\]\item任意の $a \in\mathbb{R}$ に対して，次をみたす $-a\in\mathbb{R}$ が存在する：\[a+(-a)=(-a)+a=0.\]\item任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対して，\[a+b=b+a.\]\item任意の $a,b,c\in\mathbb{R}$ に対して，\[(ab)c=a(bc).\]\item次をみたす $1\in\mathbb{R}$ が存在する：任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して，\[a1=1a=a.\]\item0 でない任意の $a \in\mathbb{R}$ に対して，次をみたす $a^{-1}\in\mathbb{R}$ が存在する：\[aa^{-1}=a^{-1}a=1.\]\item任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対して，\[ab=ba.\]\item任意の $a,b,c\in\mathbb{R}$ に対して，\[a(b+c)=ab+ac.\]\item$1\neq0$\end{enumerate}\newpage\item順序任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対し，2 項関係 $a\leqq b$ が定義され，次をみたす：\begin{enumerate}\item任意の $a\in\mathbb{R}$ に対して，\[a\leqq a.\]\item任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対して，\[a\leqq b,\ b\leqq a\Longrightarrow a=b.\]\item任意の $a,b,c\in\mathbb{R}$ に対して，\[a\leqq b,\ b\leqq c\Longrightarrow a\leqq c.\]\item任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対して，$a\leqq b$ または $b\leqq a$ の少なくとも一方が成り立つ．\item任意の $a,b,c\in\mathbb{R}$ に対して，\[a\leqq b\Longrightarrow a+c\leqq b+c.\]\item任意の $a,b\in\mathbb{R}$ に対して，\[0\leqq a,\ 0\leqq b\Longrightarrow 0\leqq ab.\]\end{enumerate}\item連続$\mathbb{R}$ の上に有界な空でない任意の部分集合 $A$ に対して，$\mathrm{sup}\,A$ が $\mathbb{R}$ の中に存在する．\end{enumerate}\end{enumerate}\newpage\noindent\textgt{【ぶっちゃけ小話】}\begin{itemize}\item和，積，順序に関して，注意しておきたいことがあります．和，積，順序は，高校までに教わった通りの定義とは限らないということです．とにかく「和」「積」とよばれる演算と「順序」とよばれる 2 項関係さえ定義されていれば，高校までに教わったものと異なっていてもよいのです．その上で，公理さえみたしていればよいのです．\item「(c) 連続」に知らない言葉が登場しているという方もいると思いますので，ここで紹介いたします．集合 $A$ で「(b) 順序」の i.，ii.，iii. をみたす 2 項関係 $\leqq$ が定義されたものを \textgt{順序集合} とよびます．順序集合 $A$ の部分集合 $B$ に対して，$m$ が $B$ の \textgt{最小元} であるとは，次をみたすことです：「$m\in B$ かつ 任意の $b\in B$ に対し $m\leqq b$．」順序集合 $A$ に対し，$a\in A$ が $A$ の部分集合 $B$ の \textgt{上界} であるとは，次をみたすことです：「任意の $b\in B$ に対して，$b\leqq a$．」順序集合 $A$ の部分集合 $B$ が上界をもつとき，$B$ は \textgt{上に有界} であるといいます．順序集合 $A$ の部分集合 $B$ の上界全体集合の最小元が存在すれば，それを $B$ の \textgt{上限}（supremum）とよび，$\mathrm{sup}\,B$ と記します．\item「(c) 連続」のどこが連続を表しているのか？いつになるか分かりませんがいつか，記事にしたいと思っております．お楽しみに！！\end{itemize}\end{document}