今日も，ありがとうございます．
「群の公理」を知っていると，様々な表現をsimpleにでき，物事の認識が楽にできます．
「群の公理」は，次の通りです．「乗法群」「加法群」もおさえておきましょう．
では，問題 です．
「線型空間の公理」「実数の公理」を「群」の言葉を使って，書き直してみましょう！
今回の記事は，日本数学会編集『岩波 数学辞典 第4版』（岩波書店）を参考にしました．
岩波数学辞典/岩波書店
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今日も，ありがとうございました．
【TeX source text】以下は読まなくても結構です． - \documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
- \pagestyle{empty}
- %%%%%% TEXT START %%%%%%
- \begin{document}
- \noindent
- \textgt{【群の公理】}
- 空でない集合 $G$ に対して，演算 $\circ$ を考える．すなわち，
- \begin{itemize}
- \item
- 任意の $x,y\in G$ に対して，$x\circ y\in G$ が一意に定まる．
- \end{itemize}
- とする．
- この演算に関して，次の \textgt{群の公理} が成り立つとき，$G$ は \textgt{群}(group) であるという：
- \begin{enumerate}
- \item
- 任意の $x,y,z\in G$ に対して，
- \[
- (x\circ y)\circ z = x\circ (y\circ z).
- \]
- （\textgt{結合法則}(associative law)という．）
- \item
- 次をみたす $e\in G$ が存在する：
- 任意の $g\in G$ に対して，
- \[
- e\circ g = g = g\circ e.
- \]
- （$e$ を $G$ の\textgt{単位元}(identity element)とよぶ．）
- \item
- 任意の $g\in G$ に対して，次をみたす $g^*\in G$ が存在する：
- \[
- g\circ g^* = e = g^*\circ g.
- \]
- （$g^*$ を $g$ の \textgt{逆元}(inverse element)とよぶ．）
- \end{enumerate}
- \bigskip
- \noindent
- \textgt{【可換群】}
- 群 $G$ は，演算 $\circ$ に関して，次の \textgt{可換法則} をみたすとき，
- \textgt{可換群} であるという．
- \begin{itemize}
- \item
- 任意の $x,y\in G$ に対して，
- \[
- x\circ y = y\circ x.
- \]
- \end{itemize}
- \newpage
- \noindent
- \textgt{【乗法群(multiplicative group)】}
- 演算 $\circ$ を乗法と見るとき，$G$ を \textgt{乗法群} とよぶ．
- \begin{itemize}
- \item
- $x\circ y$ は $xy$ とも表す．
- \item
- 単位元 $e$ は 1 とも表す．
- \item
- $g$ の逆元 $g^*$ は $g^{-1}$ とも表す．
- \end{itemize}
- このとき，群の公理を表現し直すと，次のようになる：
- \begin{enumerate}
- \item
- 任意の $x,y,z\in G$ に対して，
- \[
- (xy)z = x(yz).
- \]
- （\textgt{結合法則}(associative law)という．）
- \item
- 次をみたす $1\in G$ が存在する：
- 任意の $g\in G$ に対して，
- \[
- 1g = g = g1.
- \]
- （1 を $G$ の\textgt{単位元}(identity element)とよぶ．）
- \item
- 任意の $g\in G$ に対して，次をみたす $g^{-1}\in G$ が存在する：
- \[
- gg^{-1} = e = g^{-1}g.
- \]
- （$g^{-1}$ を $g$ の \textgt{逆元}(inverse element)とよぶ．）
- \end{enumerate}
- \newpage
- \noindent
- \textgt{【加法群(additive group)】}
- 演算 $\circ$ を加法 $+$ と見，次の \textgt{可換法則} が成り立つとき，
- $G$ を \textgt{加法群} とよぶ：
- \begin{itemize}
- \item
- 任意の $x,y\in G$ に対して，
- \[
- x+y=y+x.
- \]
- \end{itemize}
- さらに，
- \begin{itemize}
- \item
- 単位元 $e$ は 0 とも表す．
- \item
- $g$ の逆元 $g^*$ は $-g$ とも表す．
- \end{itemize}
- このとき，群の公理を（可換法則も含めて）表現し直すと，次のようになる：
- \begin{enumerate}
- \item
- 任意の $x,y,z\in G$ に対して，
- \[
- (x+y)+z = x+(y+z).
- \]
- （\textgt{結合法則}(associative law)という．）
- \item
- 次をみたす $0\in G$ が存在する：
- 任意の $g\in G$ に対して，
- \[
- 0+g = g = g+0.
- \]
- （0 を $G$ の\textgt{零元} とよぶ．）
- \item
- 任意の $g\in G$ に対して，次をみたす $-g\in G$ が存在する：
- \[
- g+(-g) = 0 = (-g)+g.
- \]
- （$-g$ を $g$ の \textgt{逆元}(inverse element)とよぶ．）
- \item
- 任意の $x,y\in G$ に対して，
- \[
- x+y=y+x.
- \]
- （\textgt{可換法則} という．）
- \end{enumerate}
- \end{document}