試験中に解法を思いつけるのか
久々の数学の問題を解いてみる。mを正の整数とする。m3+3m2+2m+6 は、ある整数の3乗である。mを求めよ。シンキングタ~イムA=m3+3m2+2m+6まずは、実験をするかな。m=1のとき、A=1+3+2+6=12m=2のとき、A=8+12+4+6=30m=3のとき、A=27+27+6+6=66m=4のとき、A=64+48+8+6=126m=5のとき、A=125+75+10+6=216=63これくらいにしておくか感覚的には、mの値にかかわらず、Aは6の倍数っぽいな。といった印象。つまり、mod 2やmod 3を取ったところで、0になるということなので、modを使って解く問題ではなさそうに見える。また、因数分解も綺麗に出来、A=m3+3m2+2m+6=m2(m+3)+2(m+3)=(m2+2)(m+3)だから何?って感じである。Aが、ある整数の3乗であるならば、m3<A<(m+2)3といった不等式で挟み撃ち出来る。m3<m3+3m2+2m+6は、mが正の整数と題意で示されている。m3+3m2+2m+6<(m+2)3も展開すると、(m+2)3=m3+6m2+8m+12といずれの係数も等しいか大きいので自明である。よって、m3+3m2+2m+6=(m+1)3であり、m3+3m2+2m+6=m3+3m2+3m+1m=5m=5のとき、A=216=63より、題意を満たし、これ以外の解は存在しない。さて、こういった挟み撃ちが、時間の限られた試験中に、思いつけるのかというところだろうか。現役のころならいざ知らず、ハマって抜け出せなかったら、捨て問になってしまうような問題であり、解法までを含めると、良問であることがわかる。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }.fb {border-color: white;}html:not([lang]).fb {border-color: black;} table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} table.test .y {background-color: yellow;color: black; } .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}