こよみの話１（還暦）

　還暦をすでに越えたけんじいであるが、還暦とは十干十二支の組み合わせだから最小公倍数で60年と簡単に思っていた。ところが先日ある場所でこれが話題になり、説明しようとして詰まってしまった。なぜ最小公倍数なのか、10通りの甲乙丙丁戊己庚辛壬癸（以下10干という）と12通りの子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥（以下12支という）とを組み合わせれば、組み合わせの数は120通りあるではないか。それがなぜ半分の60通りで元に戻ってしまうのか。

　調べてみるとそう難しい話ではなかった。もしも最初の年が甲（きのえ）・子（ねずみ）、次の年が甲・丑（うし）と進み、12年経ったところで次は乙（きのと）・子、乙・丑と進んでいけば12×10で120年経たないと還暦しない。

　ところが10干も12支も順番が決まっていてそれぞれで進んでいく。甲・子の翌年は甲・丑ではなく乙・丑、その次は丙・寅といった具合だ。10干が一巡した段階で12支の方は戌（いぬ）と亥（いのしし）の二つが余っているから10干の最初に戻ったものと組み合わせが続く。つまり13年目は甲・戌、14年目は乙・亥となる。ここで気付くのは、乙・子や丙・丑が飛ばされて永遠にこの組み合わせが巡ってこないことだ。

　何かよい例えはないかと考えたが、余りうまいものが見つからない。例えば小学生が男女で組み合わせてダンスをする。女が10人で男が12人（それぞれ常に順番が決まっていて並んでいるとする）だと男に余りが出る。そこで1回ダンスがすんで、2回目に男の余った2人（11番と12番）が女の1、2番と組み、女の3番目から順に男の1番から組み合わせると（男は8番まで）、何と男の1番の例えばけんじいは、女の2番と踊りたかったのに飛ばされてしまう。次の巡り合わせこそと思っているうちに、その順番で組み合わせて6回ダンスをするとまた最初の組み合わせに戻ってしまうから、永遠に2番の女の子の手は握れないということになる（実は2番だけでなく、4、6、8、10番の女の子の手も握れない）。

　つまり120あるはずの組み合わせのうち半分はないままに1回転が終わってしまうので、10干12支の話に戻すと、120年ではなく60年で1回転（還暦）してしまうのである。これを一般化すると、二つの数の組み合わせの最小公倍数で、実現する組み合わせの数が求められることが分かった（言葉でうまく証明できないが）。