数学IAセンター問題２解説
＊＊＊＊＊
注
数学IAのセンター試験の問題を脇に置いて読んでください。
途中の画像は保存して印刷して見ながら読むと良いかもしれません。
＊＊＊＊＊
ごめん、忘れてたわけでも、サボってたわけでもないんだ。解説作るのに時間がかかっただけだ（ぉぃ
どうしたら分かりやすいかな～とか考えてたらまる一日かかった。（X＿X）
さて、いよいよ散々ネタにされていた動点の問題だ。
難しかったって感想多いみたいだが、１つ１つきっちりやっていけば決して難しくはないぞ。
小学校の時にやった算数の文章題みたいなものかな。やっぱりそうだが、問題をよく読め。
要約するとこうだ。
点Pは１秒間に2ずつx座標が増え、点Qは１秒間に1ずつx座標が増え、t秒後の点P、Qを考える。ただしt=0のとき、点Pはx座標-8、点Qはx座標0にいて、y座標はそれぞれy=-x、y=10xの関数に従う。
赤字がポイントだ。数学的には何も関係なさそうだが、これでこれからすべきことが見えてくる。で、実際そうで、点Pと点Qをtで表現すると単なる二次関数の問題になる。
要約した問題を図で表してみた。
いいか。こんな問題は絶対図描かないと分からないぞ。
面倒くさがらずに図描け。案外簡単に解けることだってあるからな。
数列知っているヤツはこの時点で分かったかもしれないが、数列知らないヤツのために、ｔを色々変えて点Pがどうなるか実験してみた。
本当はｔは実数みたいだが、どんな式になるか予想をつけやすいようにするために、整数でやってみた。
ｔが１増えるごとに２ずつ増えていることが分かるだろう。
また、ここでアが４だと分かる。
ということで今のうちにｔをつかって表現しておく。
アを求めたところで分かったように、tが１増えるごとにPのx座標に+2がつく。
言い換えると、Pのx座標にt個の+2がつく。
ということはPのx座標はt=0のときの-8にt個の+2を足したものってことになる。
だから-8+2tになるんだ。y座標はy=-xの関係にあるって問題に書いてあるので、この式にそのまま代入すればいい。
同じようにQのx座標も求まるな。
せっかく求めたんだから、消さずに残しておけよ。いいな。
文字が増えてきたようだが、図にすれば簡単だ。
もちろん微分積分知らなくても解けるし、知っていたからといって簡単になるわけじゃない。
で、どうやって求めたら良いかを書いただけだ。
三角形の面積なら小学生でも分かるだろう。
で、計算してみた。
分配法則がどうたらこうたらと書いてあるが、ただ単に展開の公式使ったり、共通因数でくくったりしただけだ。
もちろん、俺達理系は別々に計算せずにまとめて計算するが、この程度の問題ならどっちでも労力は同じだろう。
あとは最小値を求めるために、tを使って表現した面積Sの式を平方完成だ。
平方完成分からないヤツのために丁寧に書いておいた。
問題文先読みすると、これからこの式をいじくるみたいだ。式というよりは、関数だと思っておいた方が良いだろう。
方程式になったり関数になったり、変数になったり定数になったり、・・・などややこしいが、数学ってそういう場面がよくある。だからこそ、今は方程式か関数か、変数か定数かをそのつど確認しつつやると良いと思うぞ。
ちょっとおせっかいかもしれないが、平方完成する時の計算について補足だ。
俺達理系はこういう感じにスマートにやる。
これはセンター試験でも使えるテクニックだから、今すぐでなくても、マスターしておくと良いと思うぞ。
ページをめくるとaという文字が出てきて「うぎゃー」と発狂した人もいるはず（ぇ
だが大丈夫だ。落ち着いてやれば必ず解ける。
aはとりあえずおいといて問題文を読もう。
キ、クって平方完成してさっき求めた頂点のx座標だな。
つまり、この問題は頂点で最小となるようなaはいくつか～？と聞いている。
で、これを頭に入れてaを考えればいい。
また問題文をよく読むとa≦t≦a+1って最初の方に書いてある。
文字ばかりでいかにも難しそうだが、a+1ってaより1大きいだけだな。当たり前だけど。
つーことは、tって幅１の範囲に挟まれているって考えられるよな。
で、Sが最小になる時を今考える。・・・ということは。
Sのグラフを描いて幅１の範囲をどこでもいいからぶった切ればいいんだよ。
あ、あと
図きたなくてごめんな！！
だけど、ぶっちゃけこんな図でもいいんだ。
極端な話、自分だけ分かればVに近い形でもいい。
で、話を戻そう。
Sは頂点以外の場所は必ず頂点より大きいよな。当たり前だけど。
ということは、頂点が含まれる範囲で幅１の範囲をバサッとぶった切れば最小は頂点になるよな。
ということで上の図なんだ。幅１の範囲の両端はaとa+1。で、それと頂点のx座標で不等式を立てて解けば終了。
ぶった切る範囲が幅１なので、出てきた答えも幅１になっているよな。
今度は最大だ。
図を見ると範囲をぶった切らなければ最大もクソもないよな。
ということで最大値は必ずaかa+1の値になる。問題文を読むとaの時に最大になるようにしろと書いてある。
で、どこをぶった切ればaの値がa+1の値より大きくなるかを考える。そのまま代入して比べてもいいが、面倒くさいよな。
そこで「放物線（二次関数）は頂点で対称」という定理を使う。なんだこれ？って思うかもしれんが、これは平方完成の式に秘密がある。
平方完成の式になんとかの２乗の部分があるよな。２乗の中身の全体のプラスとマイナスを変えたって２乗すれば同じになるよな。（２）2も（－２）2も同じ４だ。
で、平方完成の２乗の中身は頂点のx座標を引いている。
以上のことから、頂点から同じだけ離れていれば、２乗の中身はプラスマイナスが違うだけだから、関数の値として同じものがでてくる。つまり頂点で対称なんだ。
もしどうしても分からないヤツは実際に値を入れてみて図を描いてみろ。
長々と書いたが、頂点で対称の形になるから、aとa+1のちょうど真ん中の点が頂点より左にあればaの値の方がa+1の値より大きくなるってことだ。
で、また不等式を解いて答えが出る。
いよいよ（２）だが、また二次関数が出てきてややこしくなる。
その代わり、Sやaは出てこないから、忘れても大丈夫だ。
今度は３点を通る二次関数を考える。
そもそも二次関数の形って２乗、１乗、定数の３要素しかない。つまり、それらをそれぞれ何倍かして足し算すれば二次関数になる。
ということでテキトーに式をおいて値を代入していく。
あー・・・ちなみに、「いろは」じゃなかったのは「ろ」は書くと「３」に似ててまぎらわしいからやめたってだけだ。まあ、深い意味は無いからこのあたりはどーでもいーんだけどな。
「点を通る」ってことは言い換えると「代入して成り立つ」ってことだ。どこに代入するかは分かるよな？「いには」は定数だぞ。絶対代入するなよ。
で、３つ代入していけば「いには」が決まっていく。計算はややこしいが、しっかりゆっくりやれば必ずデキる！
さっきは問題文に書いてある「３点、０、Ｐ、Ｑを通る２次関数のグラフ」までやった。
次は「平行移動」の部分を考える。
こうやって１つずつやっていくのが数学の問題が解けるようになるコツだ。
んで、放物線の平行移動だ。平方完成した式をイメージしてほしい。
y=けいすう（x+なんとか）2＋かんとか
って感じだよな。
この「かんとか」の部分を変えるとyの値は変わるが、xが変わった時の増え具合は変わらないよな。
「かんとか」が0でも100でもxが1増えればyはけいすう（1+なんとか）2増える。
じゃあ「なんとか」の部分を変えるとどうか。xが変わった時の増え具合が変わりそうな気がする。だけど、さっき対称のところで書いたように、「なんとか」が変わっても「なんとか」からの離れ具合が同じ別のxが必ずあるよな。
つまり、「なんとか」が変わっても、別のxで同じyをとる点が必ずあるってことになる。
それじゃあ「けいすう」はどうか。
xが変わった時の増え具合が変わるのはすぐ分かるな。しかも２乗は必ず正だから、「けいすう」がマイナスになると、今までプラスだったものがマイナスになる可能性だってあるよな。
あと「けいすう」が0だったらどうなる？y=かんとかで二次関数にすらならない。
ということで、「けいすう」が二次関数の形を決める。
ちなみに「かんとか」の変化はyの移動量と、「なんとか」の変化はxの移動量と対応している。
長々と書いたが、これだけ押さえておけばこの問題は楽勝だ。
平行移動ってことは形は変わらない。だから「けいすう」＝「い」＝2として解けばいい。
分数の計算が出てきてビビるが、両辺に同じ数をかけるという考えが頭にあれば難しくないぞ。
あとは代入してどんな二次関数になるか計算すればいいだけだ。これで平行移動うんぬんの話ができるようになる。
まあ、「に」の計算が少し複雑なので、「い」だけ求めて、「い」＝2を解いた後に出てきたtを代入して「に」を計算しても良かったかもしれないけどな。
それやった方が簡単だが、混乱の元になるので分けておいた。慣れてきたらやると良いと思うぞ。
あとは「かんとか」の変化はyの移動量と、「なんとか」の変化はxの移動量と対応しているを使って頂点を比較すれば終わりだ。
問題を見ると速さとか出てきてビビるが、やってることは定番の二次関数の問題なので、実力を試すという意味では良い問題だと思う。できなかったヤツはよく復習しておくと良いと思うぞ。
注
数学IAのセンター試験の問題を脇に置いて読んでください。
途中の画像は保存して印刷して見ながら読むと良いかもしれません。
＊＊＊＊＊
ごめん、忘れてたわけでも、サボってたわけでもないんだ。解説作るのに時間がかかっただけだ（ぉぃ
どうしたら分かりやすいかな～とか考えてたらまる一日かかった。（X＿X）
さて、いよいよ散々ネタにされていた動点の問題だ。
難しかったって感想多いみたいだが、１つ１つきっちりやっていけば決して難しくはないぞ。
小学校の時にやった算数の文章題みたいなものかな。やっぱりそうだが、問題をよく読め。
要約するとこうだ。
点Pは１秒間に2ずつx座標が増え、点Qは１秒間に1ずつx座標が増え、t秒後の点P、Qを考える。ただしt=0のとき、点Pはx座標-8、点Qはx座標0にいて、y座標はそれぞれy=-x、y=10xの関数に従う。
赤字がポイントだ。数学的には何も関係なさそうだが、これでこれからすべきことが見えてくる。で、実際そうで、点Pと点Qをtで表現すると単なる二次関数の問題になる。
要約した問題を図で表してみた。
いいか。こんな問題は絶対図描かないと分からないぞ。
面倒くさがらずに図描け。案外簡単に解けることだってあるからな。
数列知っているヤツはこの時点で分かったかもしれないが、数列知らないヤツのために、ｔを色々変えて点Pがどうなるか実験してみた。
本当はｔは実数みたいだが、どんな式になるか予想をつけやすいようにするために、整数でやってみた。
ｔが１増えるごとに２ずつ増えていることが分かるだろう。
また、ここでアが４だと分かる。
ということで今のうちにｔをつかって表現しておく。
アを求めたところで分かったように、tが１増えるごとにPのx座標に+2がつく。
言い換えると、Pのx座標にt個の+2がつく。
ということはPのx座標はt=0のときの-8にt個の+2を足したものってことになる。
だから-8+2tになるんだ。y座標はy=-xの関係にあるって問題に書いてあるので、この式にそのまま代入すればいい。
同じようにQのx座標も求まるな。
せっかく求めたんだから、消さずに残しておけよ。いいな。
文字が増えてきたようだが、図にすれば簡単だ。
もちろん微分積分知らなくても解けるし、知っていたからといって簡単になるわけじゃない。
で、どうやって求めたら良いかを書いただけだ。
三角形の面積なら小学生でも分かるだろう。
で、計算してみた。
分配法則がどうたらこうたらと書いてあるが、ただ単に展開の公式使ったり、共通因数でくくったりしただけだ。
もちろん、俺達理系は別々に計算せずにまとめて計算するが、この程度の問題ならどっちでも労力は同じだろう。
あとは最小値を求めるために、tを使って表現した面積Sの式を平方完成だ。
平方完成分からないヤツのために丁寧に書いておいた。
問題文先読みすると、これからこの式をいじくるみたいだ。式というよりは、関数だと思っておいた方が良いだろう。
方程式になったり関数になったり、変数になったり定数になったり、・・・などややこしいが、数学ってそういう場面がよくある。だからこそ、今は方程式か関数か、変数か定数かをそのつど確認しつつやると良いと思うぞ。
ちょっとおせっかいかもしれないが、平方完成する時の計算について補足だ。
俺達理系はこういう感じにスマートにやる。
これはセンター試験でも使えるテクニックだから、今すぐでなくても、マスターしておくと良いと思うぞ。
ページをめくるとaという文字が出てきて「うぎゃー」と発狂した人もいるはず（ぇ
だが大丈夫だ。落ち着いてやれば必ず解ける。
aはとりあえずおいといて問題文を読もう。
キ、クって平方完成してさっき求めた頂点のx座標だな。
つまり、この問題は頂点で最小となるようなaはいくつか～？と聞いている。
で、これを頭に入れてaを考えればいい。
また問題文をよく読むとa≦t≦a+1って最初の方に書いてある。
文字ばかりでいかにも難しそうだが、a+1ってaより1大きいだけだな。当たり前だけど。
つーことは、tって幅１の範囲に挟まれているって考えられるよな。
で、Sが最小になる時を今考える。・・・ということは。
Sのグラフを描いて幅１の範囲をどこでもいいからぶった切ればいいんだよ。
あ、あと
図きたなくてごめんな！！
だけど、ぶっちゃけこんな図でもいいんだ。
極端な話、自分だけ分かればVに近い形でもいい。
で、話を戻そう。
Sは頂点以外の場所は必ず頂点より大きいよな。当たり前だけど。
ということは、頂点が含まれる範囲で幅１の範囲をバサッとぶった切れば最小は頂点になるよな。
ということで上の図なんだ。幅１の範囲の両端はaとa+1。で、それと頂点のx座標で不等式を立てて解けば終了。
ぶった切る範囲が幅１なので、出てきた答えも幅１になっているよな。
今度は最大だ。
図を見ると範囲をぶった切らなければ最大もクソもないよな。
ということで最大値は必ずaかa+1の値になる。問題文を読むとaの時に最大になるようにしろと書いてある。
で、どこをぶった切ればaの値がa+1の値より大きくなるかを考える。そのまま代入して比べてもいいが、面倒くさいよな。
そこで「放物線（二次関数）は頂点で対称」という定理を使う。なんだこれ？って思うかもしれんが、これは平方完成の式に秘密がある。
平方完成の式になんとかの２乗の部分があるよな。２乗の中身の全体のプラスとマイナスを変えたって２乗すれば同じになるよな。（２）2も（－２）2も同じ４だ。
で、平方完成の２乗の中身は頂点のx座標を引いている。
以上のことから、頂点から同じだけ離れていれば、２乗の中身はプラスマイナスが違うだけだから、関数の値として同じものがでてくる。つまり頂点で対称なんだ。
もしどうしても分からないヤツは実際に値を入れてみて図を描いてみろ。
長々と書いたが、頂点で対称の形になるから、aとa+1のちょうど真ん中の点が頂点より左にあればaの値の方がa+1の値より大きくなるってことだ。
で、また不等式を解いて答えが出る。
いよいよ（２）だが、また二次関数が出てきてややこしくなる。
その代わり、Sやaは出てこないから、忘れても大丈夫だ。
今度は３点を通る二次関数を考える。
そもそも二次関数の形って２乗、１乗、定数の３要素しかない。つまり、それらをそれぞれ何倍かして足し算すれば二次関数になる。
ということでテキトーに式をおいて値を代入していく。
あー・・・ちなみに、「いろは」じゃなかったのは「ろ」は書くと「３」に似ててまぎらわしいからやめたってだけだ。まあ、深い意味は無いからこのあたりはどーでもいーんだけどな。
「点を通る」ってことは言い換えると「代入して成り立つ」ってことだ。どこに代入するかは分かるよな？「いには」は定数だぞ。絶対代入するなよ。
で、３つ代入していけば「いには」が決まっていく。計算はややこしいが、しっかりゆっくりやれば必ずデキる！
さっきは問題文に書いてある「３点、０、Ｐ、Ｑを通る２次関数のグラフ」までやった。
次は「平行移動」の部分を考える。
こうやって１つずつやっていくのが数学の問題が解けるようになるコツだ。
んで、放物線の平行移動だ。平方完成した式をイメージしてほしい。
y=けいすう（x+なんとか）2＋かんとか
って感じだよな。
この「かんとか」の部分を変えるとyの値は変わるが、xが変わった時の増え具合は変わらないよな。
「かんとか」が0でも100でもxが1増えればyはけいすう（1+なんとか）2増える。
じゃあ「なんとか」の部分を変えるとどうか。xが変わった時の増え具合が変わりそうな気がする。だけど、さっき対称のところで書いたように、「なんとか」が変わっても「なんとか」からの離れ具合が同じ別のxが必ずあるよな。
つまり、「なんとか」が変わっても、別のxで同じyをとる点が必ずあるってことになる。
それじゃあ「けいすう」はどうか。
xが変わった時の増え具合が変わるのはすぐ分かるな。しかも２乗は必ず正だから、「けいすう」がマイナスになると、今までプラスだったものがマイナスになる可能性だってあるよな。
あと「けいすう」が0だったらどうなる？y=かんとかで二次関数にすらならない。
ということで、「けいすう」が二次関数の形を決める。
ちなみに「かんとか」の変化はyの移動量と、「なんとか」の変化はxの移動量と対応している。
長々と書いたが、これだけ押さえておけばこの問題は楽勝だ。
平行移動ってことは形は変わらない。だから「けいすう」＝「い」＝2として解けばいい。
分数の計算が出てきてビビるが、両辺に同じ数をかけるという考えが頭にあれば難しくないぞ。
あとは代入してどんな二次関数になるか計算すればいいだけだ。これで平行移動うんぬんの話ができるようになる。
まあ、「に」の計算が少し複雑なので、「い」だけ求めて、「い」＝2を解いた後に出てきたtを代入して「に」を計算しても良かったかもしれないけどな。
それやった方が簡単だが、混乱の元になるので分けておいた。慣れてきたらやると良いと思うぞ。
あとは「かんとか」の変化はyの移動量と、「なんとか」の変化はxの移動量と対応しているを使って頂点を比較すれば終わりだ。
問題を見ると速さとか出てきてビビるが、やってることは定番の二次関数の問題なので、実力を試すという意味では良い問題だと思う。できなかったヤツはよく復習しておくと良いと思うぞ。