数学IAセンター問題３解説
＊＊＊＊＊
注
数学IAのセンター試験の問題を脇に置いて読んでください。
途中の画像は保存して印刷して見ながら読むと良いかもしれません。
＊＊＊＊＊
これも難しいと話題になってたねぇ～・・・
図はでっかく。
あと、超下手クソでごめん！
でも自分で見て分かればいいので、このぐらい下手クソでもいいのだ。図はあまり神経質にならずに、こんな感じで描こう。
これは俺も一瞬間違えたが、問題をよく読め。
円Pの円Oにおける接線
ではなく
円Pの点Oにおける接線
だ。
つまり、円Oに接線を引くのではなく、円Pの接線を点Oから引くんだぞ。
文字１つ違うだけで全然違うからな。気をつけろよ。
問題文が長々と書かれているが、要約すると
・円Oは半径３
・円Pは半径１
・円C上に点A、Bがあり、線分ABは点Oで円Pに接する
・同様に、円C上に点Cがあり、線分ACは点Dで円Pに接する
これなら誰でも図を描けるだろう。
小学校の算数の文章問題のように、問題文の「言い換え」が必要な時もあるので注意だ。
図描けねぇぇぇ！！って叫んでいた人、これで書けるようになったかな？
「やられたっ！」って感想かな？
図が描けたらスラスラ解ける・・・かと思いきや、図形問題はある意味「気づく力」が必要だったりするから、難しい。
というのは、問題を解いているとどうすればいいか分からないが、解答を見ると「あーなんだ。そういうことかー」みたいになる。
それでも文章より図を描いた方が解きやすいことは間違いないから、積極的に図を描こう！
今回もある意味それで、点Oは円Pの接点となっているから、いわゆる接弦定理で∠AOPは９０度。
こういう定理はちょっと証明するのが難しいから、悪いけど覚えるしかないな。
９０度と分かれば、あとは三平方の定理でAPが求まる。
AOやOPの長さは小学生でも分かる、それぞれの円の半径だ。こういうところに気づかない人もいるから図形って難しい。
これも気づかないと分からないよな。
ちなみに、俺はcos∠OAPを求めて、倍角の公式でcos∠OADを求めて、△AODで余弦定理を使ってODの長さを求めましたとさ（ぉぃ
ま、数学は複数の解き方があるのが良いところだな。
同じ長さの辺が２ペアあるとひし形になるって小学校で習ったの覚えているかな？（あれ？今違うんだっけ？俺＝昭和６１年生まれは小学校で習った）
で、同じくひし形の対角線は直交すると小学校で習った。
だから点「交」のところは直角になる。これを使って相似比を立てると求まる。
数学はこうやって計画を立てていくと解きやすくなる。何事も計画的に、だ。
ちなみに第一問のテクというのは分母の有理化。
で、cos∠OADというものが出てきた。まあ、数学を普通に勉強している高校生なら分かると思うが、一応確認しておく。
cosAというのは、角Aを挟んでいる２辺の長さの比のことで、（直角側の辺の長さ）÷（直角でない側の辺の長さ＝一番長い辺）でかける。
教科書と違う表現をしているが、「えー、知らなかった！」というヤツは教科書で復習しろよ。
同様に、sinAというものもあり、これは（角Aを挟んでいない辺の長さ）÷（直角でない側の辺の長さ＝一番長い辺）となる。覚えておけよ。
今回は残念ながら直角の角は無い。だから代わりに余弦定理ってモノを使ってcos∠OADを出す。
余弦定理。ややこしい式だが、よく使うので覚えるしかないと思うぞ。
まあ証明もできるし、試験に出たことがある。別記事でやろう。
で、どういう時に余弦定理が使えるか書いておいた。
まあ、簡単にいうと１つの辺か角が分からない時に使えるってことだ。
今回は角。公式に代入してあとは算数。
今度はACだ。離れすぎているから難しそうに見えるが、実はOCも円Oの半径なので簡単に求まる。
で、OA、OCが分かっていてcos∠OACも分かっている・・・ということは。
さっきの余弦定理だ。
残念ながらADの長さは使わないぞ。まぎらわしいんだけどな。
次は面積だ。
一応正攻法はこれだが、後でもっと簡単な方法を紹介する。
三角形の面積といえば、（底辺）×（高さ）÷２だが、直角三角形じゃないと高さは求められないんだよな。
この「高さ」をさっきのsin∠Aを使って表してみようってのが最初の公式だ。
まず、辺ACに点Bから垂線を引っ張ってくる。交点を「高」とし、上に書いたsinAの式に代入すると
sinA＝B高÷AB
となった。
で、B高が今の場合、「高さ」そのものになるんだよな。
ということは両辺にABをかけると
AB×sinA＝B高
となって、「高さ」はAB×sinAとかいてもいいことになった。
これを（底辺）×（高さ）÷２に代入したのが最初の公式だ。
sinAが何かさえ分かれば何も新しいことは無い、簡単な公式だぞ。
下の２乗を足して１の公式も三平方の定理から出てきている。
さっきの場合で考えると、sinAとcosAの式から
sinA＝B高÷AB
cosA＝A高÷AB
となるよな。両辺にABをそれぞれかけると
AB×sinA＝B高
AB×cosA＝A高
となるよな。
で、三平方の定理から（ABの２乗）＝（A高の２乗）＋（B高の２乗）だよな。
この式にA高、B高を代入して両辺を（ABの２乗）で割ればあの公式が出てくる。これも何も新しいことは無いぞ。
２つともよく出てくるので覚えるといいんだけど、忘れてもこうやって思い出せるんなら大丈夫だ。
で、この２つの公式を使って面積を出すのが正攻法で、例年のセンター試験でもほぼ必ず出る。
だが、今回の場合はもっと簡単なウラワザがあるので後で紹介しておくぞ。
今度は内接円の半径の長さを求めろときた。
内接円の半径は上に書いたような関係がある。面積から出せるんだ。
で、三平方の定理でBCを出している。だけどこれ、面積を求めるときにも使える。
そう。さっき後で紹介すると書いたウラワザだ。
直角三角形だからワザワザあの２つの公式なんて使わなくても面積は出せる。BCが高さだから。
つまり、面積はAC×BC÷２＝（５分の２４）×（５分の１８）÷２できちんと（２５分の２１６）になるぞ。
こういうのはヒラメキだ。だからヒラメかなかったら正攻法でも解けるから大丈夫だ。
で、内接円の半径を計算するとこうなる。公式が分かればただの算数だ。
図がごちゃごちゃしてきたから少し消したんだが、まだごちゃごちゃしてるよな。すまん。
問題文に従って図を描いていこう。今度は割とスラスラ描けるはずだ。
長々と書いたが、知ってほしいのは
・四角形AC肉魚が長方形
・△CAEと△ACBは合同
の２つだ。長方形なんて小学校ぶりだよな。
あ、肉とか魚とかは適当につけた名前だから気にするなよ（ぁ
で、実際にQRの長さを計算してみた。方法とかは書いてある通りだ。
するときれーーーーーーーーーいに円Qと円Rが外接した。
また菜という名前を点につけたぞ。
肉・魚・菜。あーお腹すいたな（ぁ
で、AQはAP求めたみたいに三平方の定理だ。
ACの長さが分かっている、Q菜は円Qの半径ということに気づくかがポイントだ。
あん！？もしかしてせっかく求めたACの長さとか消した！？
だから途中の計算や計算結果は消すなとあれほど言ったのに（ぇ
点A、P、Qは同一直線上にあるという話、実は長方形のところでさりげなく使ったのだが、分かりにくい人のためにPQの別の求め方を用意した。
一応、こうやって三平方の定理を繰り返し使えば、さっきの長方形のところも求められるぞ。
２つ上の図に戻ろう。
図を描いてみると分かるんだけど、PQの長さがそれぞれの円の半径より小さかったら、２つの円は２点で交わることになる。つまり、お互いの点がお互いの円の中にいるという状態になるんだ。
注
数学IAのセンター試験の問題を脇に置いて読んでください。
途中の画像は保存して印刷して見ながら読むと良いかもしれません。
＊＊＊＊＊
これも難しいと話題になってたねぇ～・・・
図はでっかく。
あと、超下手クソでごめん！
でも自分で見て分かればいいので、このぐらい下手クソでもいいのだ。図はあまり神経質にならずに、こんな感じで描こう。
これは俺も一瞬間違えたが、問題をよく読め。
円Pの円Oにおける接線
ではなく
円Pの点Oにおける接線
だ。
つまり、円Oに接線を引くのではなく、円Pの接線を点Oから引くんだぞ。
文字１つ違うだけで全然違うからな。気をつけろよ。
問題文が長々と書かれているが、要約すると
・円Oは半径３
・円Pは半径１
・円C上に点A、Bがあり、線分ABは点Oで円Pに接する
・同様に、円C上に点Cがあり、線分ACは点Dで円Pに接する
これなら誰でも図を描けるだろう。
小学校の算数の文章問題のように、問題文の「言い換え」が必要な時もあるので注意だ。
図描けねぇぇぇ！！って叫んでいた人、これで書けるようになったかな？
「やられたっ！」って感想かな？
図が描けたらスラスラ解ける・・・かと思いきや、図形問題はある意味「気づく力」が必要だったりするから、難しい。
というのは、問題を解いているとどうすればいいか分からないが、解答を見ると「あーなんだ。そういうことかー」みたいになる。
それでも文章より図を描いた方が解きやすいことは間違いないから、積極的に図を描こう！
今回もある意味それで、点Oは円Pの接点となっているから、いわゆる接弦定理で∠AOPは９０度。
こういう定理はちょっと証明するのが難しいから、悪いけど覚えるしかないな。
９０度と分かれば、あとは三平方の定理でAPが求まる。
AOやOPの長さは小学生でも分かる、それぞれの円の半径だ。こういうところに気づかない人もいるから図形って難しい。
これも気づかないと分からないよな。
ちなみに、俺はcos∠OAPを求めて、倍角の公式でcos∠OADを求めて、△AODで余弦定理を使ってODの長さを求めましたとさ（ぉぃ
ま、数学は複数の解き方があるのが良いところだな。
同じ長さの辺が２ペアあるとひし形になるって小学校で習ったの覚えているかな？（あれ？今違うんだっけ？俺＝昭和６１年生まれは小学校で習った）
で、同じくひし形の対角線は直交すると小学校で習った。
だから点「交」のところは直角になる。これを使って相似比を立てると求まる。
数学はこうやって計画を立てていくと解きやすくなる。何事も計画的に、だ。
ちなみに第一問のテクというのは分母の有理化。
で、cos∠OADというものが出てきた。まあ、数学を普通に勉強している高校生なら分かると思うが、一応確認しておく。
cosAというのは、角Aを挟んでいる２辺の長さの比のことで、（直角側の辺の長さ）÷（直角でない側の辺の長さ＝一番長い辺）でかける。
教科書と違う表現をしているが、「えー、知らなかった！」というヤツは教科書で復習しろよ。
同様に、sinAというものもあり、これは（角Aを挟んでいない辺の長さ）÷（直角でない側の辺の長さ＝一番長い辺）となる。覚えておけよ。
今回は残念ながら直角の角は無い。だから代わりに余弦定理ってモノを使ってcos∠OADを出す。
余弦定理。ややこしい式だが、よく使うので覚えるしかないと思うぞ。
まあ証明もできるし、試験に出たことがある。別記事でやろう。
で、どういう時に余弦定理が使えるか書いておいた。
まあ、簡単にいうと１つの辺か角が分からない時に使えるってことだ。
今回は角。公式に代入してあとは算数。
今度はACだ。離れすぎているから難しそうに見えるが、実はOCも円Oの半径なので簡単に求まる。
で、OA、OCが分かっていてcos∠OACも分かっている・・・ということは。
さっきの余弦定理だ。
残念ながらADの長さは使わないぞ。まぎらわしいんだけどな。
次は面積だ。
一応正攻法はこれだが、後でもっと簡単な方法を紹介する。
三角形の面積といえば、（底辺）×（高さ）÷２だが、直角三角形じゃないと高さは求められないんだよな。
この「高さ」をさっきのsin∠Aを使って表してみようってのが最初の公式だ。
まず、辺ACに点Bから垂線を引っ張ってくる。交点を「高」とし、上に書いたsinAの式に代入すると
sinA＝B高÷AB
となった。
で、B高が今の場合、「高さ」そのものになるんだよな。
ということは両辺にABをかけると
AB×sinA＝B高
となって、「高さ」はAB×sinAとかいてもいいことになった。
これを（底辺）×（高さ）÷２に代入したのが最初の公式だ。
sinAが何かさえ分かれば何も新しいことは無い、簡単な公式だぞ。
下の２乗を足して１の公式も三平方の定理から出てきている。
さっきの場合で考えると、sinAとcosAの式から
sinA＝B高÷AB
cosA＝A高÷AB
となるよな。両辺にABをそれぞれかけると
AB×sinA＝B高
AB×cosA＝A高
となるよな。
で、三平方の定理から（ABの２乗）＝（A高の２乗）＋（B高の２乗）だよな。
この式にA高、B高を代入して両辺を（ABの２乗）で割ればあの公式が出てくる。これも何も新しいことは無いぞ。
２つともよく出てくるので覚えるといいんだけど、忘れてもこうやって思い出せるんなら大丈夫だ。
で、この２つの公式を使って面積を出すのが正攻法で、例年のセンター試験でもほぼ必ず出る。
だが、今回の場合はもっと簡単なウラワザがあるので後で紹介しておくぞ。
今度は内接円の半径の長さを求めろときた。
内接円の半径は上に書いたような関係がある。面積から出せるんだ。
で、三平方の定理でBCを出している。だけどこれ、面積を求めるときにも使える。
そう。さっき後で紹介すると書いたウラワザだ。
直角三角形だからワザワザあの２つの公式なんて使わなくても面積は出せる。BCが高さだから。
つまり、面積はAC×BC÷２＝（５分の２４）×（５分の１８）÷２できちんと（２５分の２１６）になるぞ。
こういうのはヒラメキだ。だからヒラメかなかったら正攻法でも解けるから大丈夫だ。
で、内接円の半径を計算するとこうなる。公式が分かればただの算数だ。
図がごちゃごちゃしてきたから少し消したんだが、まだごちゃごちゃしてるよな。すまん。
問題文に従って図を描いていこう。今度は割とスラスラ描けるはずだ。
長々と書いたが、知ってほしいのは
・四角形AC肉魚が長方形
・△CAEと△ACBは合同
の２つだ。長方形なんて小学校ぶりだよな。
あ、肉とか魚とかは適当につけた名前だから気にするなよ（ぁ
で、実際にQRの長さを計算してみた。方法とかは書いてある通りだ。
するときれーーーーーーーーーいに円Qと円Rが外接した。
また菜という名前を点につけたぞ。
肉・魚・菜。あーお腹すいたな（ぁ
で、AQはAP求めたみたいに三平方の定理だ。
ACの長さが分かっている、Q菜は円Qの半径ということに気づくかがポイントだ。
あん！？もしかしてせっかく求めたACの長さとか消した！？
だから途中の計算や計算結果は消すなとあれほど言ったのに（ぇ
点A、P、Qは同一直線上にあるという話、実は長方形のところでさりげなく使ったのだが、分かりにくい人のためにPQの別の求め方を用意した。
一応、こうやって三平方の定理を繰り返し使えば、さっきの長方形のところも求められるぞ。
２つ上の図に戻ろう。
図を描いてみると分かるんだけど、PQの長さがそれぞれの円の半径より小さかったら、２つの円は２点で交わることになる。つまり、お互いの点がお互いの円の中にいるという状態になるんだ。