目次
１．問題意識
２．よく似た2つの多面体 atI と acD
３．対称性に関する復習
４．対称式とその性質
５．例示による解説
６．十字切頂多面体の扱い
７．対称性の高い多面体の対称式一覧
８．「補足情報」について
９．まとめとあとがき
今回の連載記事については、私「karaokegurui@ameblo」の著作権を主張します。
また、無断転載を禁止します。
１．問題意識
ニアミス立体とは、「ほぼ正多角形から構成される凸多面体」のことです。
ニアミス立体の英語名は”near-miss Johnson solid”であり、ニアミスジョンソン立体と訳す方が正確ですが、長いのでこのブログではニアミス立体と呼んでいます。
このブログでは、ニアミス立体のご紹介を何度も行っていますが、最初の紹介記事を貼っておきます。
ニアミス立体のご紹介1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
今回の記事を書くに至った問題意識は、次のようなものです。
正多面体は、シュレーフリ記号 {p, q} により記述できます。
ここで、pは正多面体の面を正何角形であるかを表し、qは1つの頂点を取り囲む面の数を表します。
たとえば、正12面体は {5, 3} となります。
半正多面体は、頂点構成 [p1,p2, …, pn] で記述できます。
ここで、p1,p2, …, pn は、頂点周りの面が順に何角形であるかを表します。
通常は昇順で記載しますが、時計回り、反時計回りを問いません。
たとえば、20・12面体は [3535] となります。
ジョンソン立体のうち第1類と第2類は、3>，5=c，6=+x，eD-/ といった記号で表すことができます。
ジョンソン立体を表す新たな記号法1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
それなら、ニアミス立体についても簡単な記述法が可能ではないか？ ぜひそれを発見したい！と思うのが多面体愛好者の人情というものです(^_^
ただ、正多面体と半正多面体について簡単な記号つまり最小限の情報だけで記述できるのは、規則性が高いからです。
ニアミス立体というのはただでさえ原理的に範囲の定まらない多面体グループなので、そういう記法を考えるのなら、何らかの制限を掛けた上で考察すべきでしょう。
また、そういう制限をかけても明確な範囲は決まらず、いくらでも新たなものが追加され得るので、それだけの柔軟性をもつ必要があります。
そして、ニアミス立体を記述できるのであれば、当然のこととして、正多面体や半正多面体も記述できなければなりません。
この点はいわば試金石となります。
なお、面をつくる多角形が正多角形からどの程度乖離しているかとか二面角の大きさとかは、今回の私の関心事から外れ、また私の能力を超えてもいるので、全く触れていません。
ニアミス立体にとって肝心なことが含まれていないと思う方もいるでしょうが、悪しからず。
２．よく似た2つの多面体 atI と acD
具体的には、次の記事で
20面体対称性をもつニアミス立体 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
取り上げた
Npw69 中点切切頂20面体(Rectified truncated icosahedron) atI [90,180,92]
File:Rectified truncated icosahedron2.png - Polytope Wiki (miraheze.org)
Rectified truncated icosahedron - Near-miss Johnson solid - Wikipedia
と
Npw71 中点切切稜12面体(Rectified chamfered dodecahedron) acD [120,240,122]
File:Rectified chamfered dodecahedron.png - Polytope Wiki (miraheze.org)
という2種類のニアミス立体を画面に穴が開くほどずっと見比べていて(^^;、両者の違いは何かと考えたのです。
元は次のポリトープwikiの
Near-miss Johnson solid - Polytope Wiki (miraheze.org)
下から6番目と4番目の立体です。
対比するにはこちらの方が見やすいかもしれません。
atI と acD の共通点と違いについていろいろ考えてみました。
違いから見ていくと、まず構成要素の数が違います。
atI では 頂点数 V＝90，稜の本数 E＝180，面の枚数 F＝92
なのに対し、
acD では V＝120，E＝240，F＝122 です。
より細かく見ていくと、頂点はどちらの立体もすべての頂点が4価という共通点があります。
面は、どちらも3角形、5角形、6角形からなります。これも同じです。
面の枚数を数えると、5角形の数 F5 は12枚ずつで同じですが、3角形の数 F3 と６角形の数 F6 が異なっています。
表の形にすると、
V E F V4 F3 F5 F6
atI 90 180 92 90 60 12 20
acD 120 240 122 120 80 12 30
ただし、V＝V4，F＝F3＋F5＋F6．
確かに、両者には違いがありますが、これらの数値を見て、違いの本質が分かったという気にはなれませんよね。
多面体についてよく挙げられる情報としては、他に頂点構成があります。
これは、頂点の種類をその頂点を囲む多角形の辺（あるいは頂点）の数を並べて記述するものです。
どちらの立体にも、[3636] と [3536] という2種類の頂点構成をもつ頂点があります。
その点は同じですが、それぞれの数が少し異なります。
頂点構成
atI 60x[3536]，30x[3636]
acD 60x[3536]，60x[3636]
確かに、[3636] という頂点の数が atI では30個、acD では60個と異なるのですが、これも本質的かと言われると違うような気がします。
改めて考えると、頂点数、稜の数、面の数、n角形の数、n価の頂点の数、特定の頂点構成をもつ頂点数などは全体的な情報です。
これらの違いは、もっと本質的な違いが基になって現れているように感じられます。
そこで、正多面体のシュレーフリ記号や半正多面体の頂点構成を振り返ってみると、どちらも局所的な情報を記述していることが分かります。
正多面体や半正多面体は多面体全体に関する規則性が強く、そのために少数の局所的な情報から全体的な情報を得ることができるのです。
しかし、範囲をニアミス立体まで拡大したときに残る共通の規則性といえば、対称性だけです。
ニアミス立体の対称性といってもさまざまですが、最も強いものとして正多面体と同じものを選び、それをもつニアミス立体に関する表記法を考案することを目標とします。
こうした観点からみると、先のatI と acD の比較で最初に挙げるべき共通点は、どちらも正12面体や正20面体と同じ Ih 対称性をもつことです。
３．対称性に関する復習
１で述べたような経緯を経て、対称性を基にしたニアミス立体の新しい表記法を考案しました。
対称多面体の表記法を参考にしたので、それに似ている部分もありますが、対称多面体ほど数学的に厳密ではありません。
この節では、対称性についての復習を行います。
正多面体は、さまざまな対称性をもちます。
対称性というのは、次のような意味です。
回転軸を中心に一定の回転を行うと、元の形に一致します。
また、中心反転や一定の鏡映を行っても、元の形に一致します。
これらの操作を続けて行っても、同様です。
何もしないことも一種の操作と考えて、これを恒等変換と呼びます。
また、回転に対しては逆の回転があり、同じ鏡映を二度行うと元に戻ります。
したがって、群の公理である結合律、単位元の存在、逆元の存在をみたすので、これらの操作は群をつくっています。
この群を一般的には直交群といいますが、ここでは正多面体の群だけなので正多面体群と呼ぶことにします。
つまり、対称性は、正多面体群によって捉えることができるのです。
また、回転だけからつくられる群を回転群（または特殊直交群）といいます。
回転群は、正多面体群の部分群です。
以下、対称性を表す正多面体群や回転群はイタリック（斜体）で表すこととします。
具体的な例で考えていきましょう。
正多面体は、いくつかの回転軸をもちます。
正4面体 T は、頂点と反対側の面心を結ぶ3回回転軸(C3軸)を4本、向かい合う稜の中点どうしを結ぶ2回回転軸(C2軸)を3本もちます。
立方体 C は、向かい合う正方形の面心どうしを結ぶ4回回転軸(C4軸)を3本、向かい合う頂点どうしを結ぶC3軸を4本、向かい合う稜の中点どうしを結ぶC2軸を6本もちます。
正12面体 D は、向かい合う正5角形の面心どうしを結ぶ5回回転軸(C5軸)を6本、向かい合う頂点どうしを結ぶC3軸を10本、向かい合う稜の中点どうしを結ぶC2軸を15本もちます。
群の位数とは、その群の土台となる集合の濃度（元の数）のことです。
たとえば、正4面体は24種類の異なる変換操作の結果、元の形と一致します。
回転群の位数は次のように計算します。
・正4面体 T の回転群 T 12
1 ＋(3－1)×4 ＋(2－1)×3 ＝ 1＋8＋3 ＝ 12．
・立方体 C の回転群 O 24
1 ＋(4－1)×3 ＋(3－1)×4 ＋(2－1)×6 ＝ 1＋9＋8＋6 ＝ 24．
・正12面体 D の回転群 I 60
1 ＋(5－1)×6 ＋(3－1)×10 ＋(2－1)×15 ＝ 1＋24＋20＋15 ＝ 60．
各式の最初の 1 とカッコ内の －1 は、恒等変換（何もしないこと）です。
正多面体群の位数は、それぞれの回転群の2倍です。
正多面体群の元となる操作は、回転（回転群の元）だけでなく、回転に中心反転を掛けた（操作を続けて行った）ものが加わるので、2倍となるわけです。
後者には、鏡映も含まれます。
回転では右手は右手のまま、左手は左手のままですが、中心反転を行うと右手と左手が入れ替わります。
右手と左手を入れ替えない操作（正格変換）と入れ替える操作（変格変換）の数は、同数です。
規則性の大きい多面体は、正多面体と同じ対称性をもちます。
その対称性は、同様に正多面体群によって表されます。
正多面体群は、次の3種類です。
正多面体群
記号 位数 該当する正多面体
Td 24 正4面体 T
Oh 48 立方体 C，正8面体 O
Ih 120 正12面体 D，正20面体 I
ここまでが前提知識の整理です。
------------------------ 続 く ----------------------
★ 同名の記事を昨年12月23日に投稿していますが、手もとで全体をいったん完成させてから最初の部分も一部書き直したので、前回投稿は削除します。4回連載となる予定です。12月の投稿が14件に減るけど、し方ありません。
★★ 今日のロジバン 不思議の国のアリス144
.i ja’e bo simlu lo ka tolzdile gi’e bebna kei fa lo nu lo nunjmive cu ca’o fadni
なので、人生が普通のやり方で続くというのは、すごくつまらなくてばかばかしく思えたのです。
ja’e ： ～を結果として/となって。法制詞BAI類 <-jalge 結果
simlu ： 見受けられる，x1は x2(性質)であるよう x3(者)に x4(状態条件)の下で；x1はx2らしい気がx3にする
tolzdile ： つまらない <- tol+zdile, tol<- to’e 段階反対
zdile ： 面白い/愉しい，x1(事)は x2にとって x3(性質)について；楽しむ，x2は x1 を。-zdi-
bebna ： 愚か/馬鹿げている/思慮が無い，x1は x2(性質)に関して；x1は阿呆/馬鹿。-beb-
nunjmive ： 人生だ<- nun+jmive, nun<- nu,
jmive ： 生きている，x1は x2(観点/基準)において；x1は生物/生体/有機体 。-miv-, -ji’e-
ca’o ： 進行。～している。～の間/において。相制詞ZAhO類 <- cabna 現在
fadni ： 平凡/通常/普通だ，x1は x2(性質)･x3(集合)において。-fad-
主述語は simlu で、そのx1は項番明示 fa で後ろに回されている出来事抽象節 { fa lo nu lo nunjmive cu ca’o fadni } 、x2は性質抽象節 { lo ka tolzdile gi’e bebna kei } 「つまらなくてバカげている」です。
simlu の前に { ja’e bo } が付いて、前の文の内容の結果であることを示しています。
性質抽象節内は、gi’e で結ばれた複述構文です。
この場合は { lo ka } で始まった抽象節が閉じることを明示する kei が役立っています。
出来事抽象節内の主述語は、{ cu ca’o fadni } 「普通に続く」で、そのx1は { lo nunjmive } です。
nunjmive は辞書にはなかったのですが「生きるという出来事だ」なので、「人生だ」の意味になります。
出典は、