球面に投影した正多面体の対称線と赤道1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
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正多面体から中点切りという操作によってできるのが、準正多面体です。
正8面体と立方体からは同じ立方8面体ができ、正20面体と正12面体からは同じ20・12面体ができます。
Cuboctahedron - 立方八面体 - Wikipedia
Icosidodecahedron - 二十・十二面体 - Wikipedia
また、正4面体に中点切りを行うと、正8面体となります。
したがって、新たにできる準正多面体は2種類だけです。
さて、準正多面体3種類（ここでは正8面体も含める）は、いずれもある面で切断することにより同形の多面体2つに等分できます。
その多面体は正多角形の面からなりますが、対称性が低いのでジョンソン立体です。
切断面は、次の赤道多角形になります。
準正多面体 等分したもの 赤道多角形 {h}
正8面体 正4角錐 正方形 {4}
立方8面体 正3角台塔 正6角形 {6}
20・12面体 正5角丸塔 正10角形 {10}
準正多面体を等分する面が通る稜の連なりを“赤道”と呼びます。
赤道は正多角形を描くので、それを準正多面体の赤道多角形(equatorial polygon)と呼び、 {h} で表します。
赤道多角形は、正8面体では正方形 {4}、立方8面体では正6角形 {6}、20・12面体では正10角形 {10} です。
準正多面体の赤道を、対応する球面タイル貼りに写します。
1本の赤道に含まれる点1の数はh個、円弧の数もh本です。
球面タイル貼りでの赤道は、数字で記述すると順に
(1111)＝(14)， (111111)＝(16)， (1111111111)＝(110)
となっています。
これらは、点0も点2も通らないため、対称線とは全く異なります。
なお、赤道は準正多面体における対称線にもなっていない点にご注意ください。
h の値は、p や q に次いで重要です。
次に、球面タイル貼りにおける赤道の本数をかぞえます。
まず、赤道に含まれる円弧を考えます。
1個の点1から4本の円弧が出ています。
一方で、1本の円弧は両端に2個の点1をもちます。
点1の数が N1 個なので、すべての赤道に含まれる円弧の数は全部で 2N1 本です。
1本の赤道に含まれる円弧の数は、点1の数と同じなので、h本です。
どの円弧もただ1つの赤道に含まれるので、赤道の数は割り算により 2N1/h 本となります。
準正多面体 頂点構成 頂点数 赤道
[pqpq] N1 {h} 本数 全体
正8面体 [3333] 6 {4} 3 3×(14)
立方8面体 [3434] 12 {6} 4 4×(16)
20・12面体 [3535] 30 {10} 6 6×(110)
これまで見てきたようにhの具体的値はすでに分かっていますが、それは準正多面体の形を見たからであって、理論的に求めたものではありません。
ここでは、赤道の数を使ってhの値を表す式を求めます。
2N1/h 本の赤道どうしは、向かい合う2つの点1で交わっているので、
2N1/h －1 ＝ h/2 ・・・ (2)
赤道の数は、式(2)から 2N1/h＝(h＋2)/2 本と表すこともできます。
(2)式から
4N1 ＝ h(h＋2)
∴ 4N1＋1 ＝ (h＋1)2
h＞0 なので、
h ＝ √(4N1＋1) －1
これが、hの値を表す式です。
次の段落は特に分かりづらいので、準正多面体の画像を見ながらお読みください。
準正多面体 {p} の稜の長さを 2 とします。
{q}
その頂点図形は長方形で、長方形の対角の2頂点はある赤道多角形 {h} の隣接する辺の中点にあります。
2頂点を結ぶ対角線の長さは、2 cos π/h となります。
一方で、長方形の辺の長さは 2 cos π/p と 2 cos π/q なので、対角線の長さは 2 √(cos2π/p＋cos2π/q) に等しくなります。
したがって、次の等式が成り立ちます。
cos2π/h ＝ cos2π/p ＋cos2π/q．
次に、対称線と赤道の関係から対称線の本数を導きます。
対称線と赤道は異なる大円なので、互いに球面の反対に位置する2点で交わります。
したがって、1本の赤道にすべての対称線が交わります。
その本数を求めます。
赤道を構成する1個の点1では、2本の対称線が交わります。
また、2個の点1の間には、円弧 02 を含む対称線が通ります。
したがって、1個の点1に対して3本の対称線があります。
点1の数はh個なので、対称線の数は 3h/2 本となります。
対称線に含まれる円弧の数は全部で 6N1 本なので、1本の対称線に含まれる円弧の数は
6N1 ／ 3h/2 ＝ 4N1/h
です。
ここで、赤道と対称線の値を求める式およびそれにより得られる具体的値を整理しておきます。
赤道と対称線を求める式
1本の円弧数 本数 円弧総数
赤道 h × 2N1/h ＝ 2N1
対称線 3h/2 × 4N1/h ＝ 6N1
(注) 「1本の円弧数」とは、1本の赤道/対称線に含まれる円弧の数のこと。
「本数」とは、赤道/対称線全部の本数のこと。
「円弧総数」とは、赤道/対称線すべてに含まれる円弧の総数のこと。以下同様
赤道と対称線の具体的値
赤道 対称線
{p,q} N1 h 本数 円弧総数 1本の円弧数 本数 円弧総数
{3,3} 6 4 × 3 ＝ 12 6 × 6 ＝ 36
{3,4} 12 6 × 4 ＝ 24 8 × 9 ＝ 72
{3,5} 30 10 × 6 ＝ 60 12 × 15 ＝ 180
ここで、対称線の具体的な形についてまとめておきます。
また、合わせて平面正タイル貼りの対称線も載せておきます。
球面正タイル貼りとは異なり、平面正タイル貼りは無限に広がっていますが、その対称線についても同様に表記することができるからです。
平面正タイル貼りのうち正方形タイル貼り { 4,4 } を記号で図示します。
0 1 0 1
1 2 1 2
0 1 0 1
1 2 1 2
これは正方形によるタイル貼りで、この繰り返しが平面上に無限に広がっています。
縦横には (01)∞ と (12)∞ という対称線があり、斜めには (02)∞ という対称線があります。
ただし、1∞ は対称線にはなっていません。
{ 3,6 } の方は、残念ながら記号では上手く描けません。
双対となるものについては p≦q となる方だけを記載すると、球面上と平面上の正タイル貼りの対称線は次のようになります。
正タイル貼りの対称線の具体的形
球面正タイル貼りの対称線（大円） 012 でできる直角3角形
{ 3,3 } ： 6×(010212) π/3, π/3 の球面直角2等辺3角形
{ 3,4 } ： 6×(0212)2 ＋3×(01)4 π/3, π/4 の球面直角3角形
{ 3,5 } ： 15×(010212)2 π/3, π/5 の球面直角3角形
平面正タイル貼りの対称線（直線）
{ 3,6 } ： ∞×(0212)∞ ＋∞×(01)∞ π/3, π/6 の直角3角形
{ 4,4 } ： ∞×(01)∞ ＋∞×(02)∞ ＋∞×(12)∞ π/4 , π/4 の直角2等辺3角形
pとqのどちらかも奇数の場合は対称線が1種類、少なくとも一方が偶数の場合は対称線が複数となります。
前者の場合は 0, 1, 2 のすべてを含む対称線だけです。
それに対し、後者の場合には (01)n という形の対称線も現れます。
平面正タイル貼りの場合、無限本、無限繰り返しなので、情報量が少し減りますね。
最後に、対角線どうしの交差から、hの値を求めるもう一つの式を導きます。
対称線どうしが交差する回数は、
3h/2 ×(3h/2－1) ／2 ＝ 3h(3h－2)/8
ただ、同じ点での交差もあります。
1個の点0における交差数は q(q－1)/2 であり、点0は N0 個あるので、点0における交差数全体は次の通り。
q(q－1)N0 /2
1個の点1における交差数は 1 であり、点1は N1 個あるので、点1における交差数全体は次の通り。
N1
1個の点2における交差数は p(p－1)/2 であり、点2は N2 個あるので、点2における交差数全体は次の通り。
p(p－1)N2 /2
2本の対称線は向かい合う2点で交わるので、合計を2で割ります。
3h(3h－2)/8 ＝ (q(q－1)N0/2 ＋N1 ＋p(p－1)N2/2) ／2．
この式に、N0＝2N1/q，N2＝2N1/p を代入して整理すると、
3h(3h－2) ＝ 4((q－1)N1＋N1＋(p－1)N1) ＝ 4N1(p＋q－1)．
さらに、4N1＝h(h＋2) を代入して整理すると、
3h(3h－2) ＝ h(h＋2) (p＋q－1)．
p＋q－1 ＝ (9h－6)/(h＋2) ＝ 9 －24/(h＋2)．
∴ h＋2 ＝ 24/(10－p－q)．
あるいは
ｈ ＝ 2(p＋q＋2)．
10－p－q
h の値を、N1を経由せずにpとqで直接表すこの式を、Steinbergの公式といいます。
多面体など幾何の連載一覧 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
★ 本日12月8日、第48期棋王戦ｺﾅﾐｸﾞﾙｰﾌﾟ杯挑決敗者復活2回戦があり、後手番の藤井聡太竜王が羽生善治九段に勝利して、挑決二番勝負への進出を決めました。藤井竜王は敗者復活組なので、佐藤天彦九段に2回勝てば、渡辺明棋王への挑戦が決まります。天彦九段には1度負けているのですが、雪辱を期して頑張っていただきたいと思います。
★★ 今日のロジバン
.oi .u’i dai 「オイ ウヒ ダイ」
なんてこった、滑稽に思われるだろうな。
oi ： 苦情･苦痛。文句を言いたい、不満を訴えたい気持ち。心態詞(純粋感情) UI1類
.u’i ： 愉快。面白く感じて愉しさを覚える気持。心態詞(純粋感情) UI1類
dai ： 共感。先行の心態詞に対する話者の共感/同情を示す。心態詞(修飾系) UI5類
心態詞だけから構成される文の例です。
出典は、.cogas.さんの
味噌煮込みロジバン: Lojban Lessons – ４章 (心態詞(attitudinals)) (misonikomilojban.blogspot.com)