超準解析入門の入門1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12538313977.html
超準解析入門の入門8：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12541524136.html
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８ 実数の超準モデルと無限小
最後に、実数の超準モデル ＊Ｒ について簡単にみておきます。
その基礎となる2階算術については、『数学基礎論序説』では有力な公理系が5つ紹介されていますが、ここでは省略します。
アルキメデス的の定義 ： 順序体Ａがアルキメデス的(Archimedian)であるとは、任意の正の元ａ，ｂ∈Ａに対し、十分大きな自然数ｎ∈Ｎが存在して、
ｂ ＜ ａ＋ａ＋・・・＋ａ
└－ ｎ個 －┘
となることである。
「アルキメデス的」の意味については、昔書いた次の記事を参考にしてください。
算数の世界8：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12471784532.html
「第10章 量 「量の三要件」 （３）アルキメデスの公理」の箇所です。
・実数の標準モデルＲ は、アルキメデス順序体である。
定理 ： 実数の超準モデル ＊Ｒ は、非アルキメデス順序体である。
証明：アルキメデス的の定義においてａ＝1，ｂ＝＊Ｒの元（1, 2, 3, ･･･, ｎ, ･･･）と置くと、
ｂ ＜ ａ＋ａ＋・・・＋ａ
└－ ｎ個 －┘
をみたす自然数ｎ∈Ｎは存在しない。／／
無限大、有限、無限小の定義 ： ＊Ｒ の元ａが無限大(infinite)であるとは、
∀ｂ∈Ｒ ｂ＜|ａ|
となることをいう。
無限大でない元を有限(finite)であるという。
＊Ｒ の元ａが無限小(infinitesimal)であるとは、
∀ｂ(＞0)∈Ｒ |ａ|＜ｂ
となることをいう。
例として、最初に登場した [（1, 2, 3, ･･･, ｎ, ･･･）] は無限大であり、[（1／1, 1／2, 1／3, ・・・）] は無限小です。
・無限小全体は、演算＋と・に関して閉じている。
証明：ε，δを無限小とする。標準実数 0＜ｂ＜2 を任意にとる。無限小の定義から、
－ｂ／2 ＜ ε, δ ＜ ｂ／2
であり、順序体の性質より －ｂ ＜ε＋δ, ε・δ ＜ ｂ となる。したがって、ε＋δ，ε・δは無限小である。／／
・ ａ が無限大であることと、 1／ａ が無限小であることは同値である。
証明： ａは無限大 ⇔ ∀ｂ∈Ｒ ｂ＜|ａ| ⇔ ∀ｂ＞0(∈Ｒ) |1／ａ|＜1／ｂ ⇔ ∀ｂ＞0(∈Ｒ) |1／ａ|＜ｂ ⇔ 1／ａは無限小．／／
＊Ｒ の元ａ，ｂに対し、
ａ～ｂ ⇔ ａ－ｂ は無限小
と定義すれば、～は同値関係であり、演算＋と・を保存しています。
・有限実数 ａ∈＊Ｒ に対し、 ａ～ｂ となる ｂ∈Ｒ がただ1つ存在する。
この ｂ を ａ の標準部分(standard part)と呼び、 st(ａ) で表す。
ａ－st(ａ) は無限小なので、
・すべての有限超実数 ａ は、標準実数 st(ａ) と無限小 ａ－st(ａ) の和として一意に表される。
・ 数列 ｓ＝（ａi）∈Ｒω について lim ａi ＝ ａ ならば、 [ｓ] ～ ＊ａ である。
★ 今回の連載も、ようやくこれで終わりです。途中から急に難しくなった感がありますが、本来難しいものに分かりやすい導入部を付けたので、まあ仕方ないですね。