Mangolte の論文

F. Mangolte,
Une surface r\'eelle de degr\'e 5 dont l'homologie est enti\`erement engendr\'ee par des cycles alg\'ebriques,
C. R. Acad. Sci. Paris, S\'erie I, {\bf 318} (1994), 343--346.

F. Mangolte,
Cycles alg\'ebriques reels sur les surfaces,
Th\`ese de doctorat, Universit\'e Montpellier II, 1994.

F. Mangolte,
Cycles algebriques sur les surfaces K3 reelles,
Math.Z., 225 (1997), 559--576.

この論文の中のある定理は，曲線の実部（S^1のdisjoint union）を先に与えたとき，それを実部に持つような複素曲線の存在に関する結果であり，下の論文で，対合付き格子の不変量 H_{-1} の位相的解釈を証明する際に有効であった：

V.V.Nikulin and Saito, Real K3 surfaces with non-symplectic involution and applications, Proc. London Math. Soc., 2007.

Borel and Haefliger

A. Borel, A. Haefliger,
{\it
La classe d'homologie fondamentale d'un espace analytique,}
Bull. Soc. Math. France {\bf 89} (1961), 461--513.

M-smoothing 関係の論文

V.M. Kharlamov, O. Ya Viro,
Extension of Gudkov-Rohlin congruence,
in \cite{Viro88}, pp. 357--406.

実特異点の摂動に関する M-smoothing は，興味深い．

この論文，少々読解が難しい部分がある．

複素共役による商空間とRP^2上の領域（定義多項式が正の値をとる部分）は，特異点の近くでどのように貼り合わされているのか？

Zvonilovの論文

V.M. Kharlamov, J.-J. Risler,
Blowing-up construction of maximal smoothings of real plane curve singularities,
in

"Real Analytic and Algebraic Geometry",

ed. by F. Broglia, M. Galbiati, A. Tognoli, (1995), 169--188.

V. M. Kharlamov, S. Yu. Orevkov, E. I. Shustin,
Singularity which has no M-smoothing,
The Arnoldfest (Toronto, 1997), 273--309,

Fields Inst. Commun., 24,

Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

複素共役と反正則対合

Silhol著　　　Real Algebraic Surfaces　 に，

非特異実射影多様体上の反正則対合は，複素共役である，といえるのか？

書いてあります．

(後日，もっときちんと述べたい)

複素共役による商空間

W. S. Massey,
The quotient space of the complex projective plane under conjugation is a 4-sphere,
Geometriae Dedicata 2 (1973), 371--374.

N. H. Kuiper,
The quotient space of CP^2 by complex conjugation is the four sphere,
Math. Ann.　208 (1974), 175--177.

M. Letizia,
Quotients by complex conjugation of nonsingular quadrics and cubics in P_C^3 defined over R,

Pacific J. of Math.

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メモ

K3曲面上の反正則対合は，そのK3曲面の複素構造を取り替えることにより，（異なる複素構造を持つ）K3曲面上の正則対合となることがある．　（cf. K3曲面上のhyperkaehler構造）　

すると，もとのK3曲面の反正則対合による商空間は，トポロジカルには，あとのK3曲面の正則対合による商空間と同じであるので，これを調べればよい．

特に，「反シンプレクティックな正則対合を持つK3曲面」については，その商空間はEnriques曲面または有理曲面であり，多くのことが調べられている(Alexeev & Nikulin)．この研究は，複素共役による商空間についての例をも与えているのではないだろうか？

(Last updated 2008/12/17)

変換群関係の参考文献

involutionはZ_2 作用なので，変換群論も，ヒルベルト16問題の研究には使われてきた．特に，Smith完全系列は重要．

これを用いて，「M-curve」の概念が高次元の場合の「M-manifold」へ拡張された．（G.Wilson の論文など参照）

参考文献：

P. A. Smith,
Transformation of finite period,
Ann. of Math., {\bf 39} (1938), 127--164.

P. A. Smith,
Fixed points of periodic transformations,
Appendix B in S. Lefschetz,
Algebraic Topology, Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, {\bf 27}, New York, 1942.

A. Borel et al.,
Seminar on transformation groups,
Ann. of Math. Studies, {\bf 46},
Princeton Univ. Press, 1960.

G. E. Bredon,
Introduction to compact transformation groups,
Academic Press, New York, London, 1972.

P.E. Conner, E.E. Floyd,
Differentiable Periodic Maps,
Springer-Verlag, 1964.

（不動点集合が多様体になる（次元はバラバラかも知れない）という定理が，この本の中に書かれている）

内田伏一,

『変換群とコボルディズム論』, 紀伊國屋書店, 1974.

Atiyah-Singer G index theorem

Signatures of involutions

Rokhlinは，1970年代初めに，ヒルベルト第16問題の研究に，Atiyah-Singer G-index therem を応用することにより，RP^2における実代数曲線のisotopy型に関するある合同式（Gudkovの予想）を証明しました．

ここでは，群GはZ_2です．複素多様体への複素共役（→対合 involution）の作用を考えるからです．

（複素共役　→　反正則対合　→smoothな対合）

M.F. Atiyah, I.M. Singer,
The index of elliptic operators III,
Ann. of Math., {\bf 87} (1968), 546--603.

K. J\" anich, E. Ossa,
On the signature of an involution,
Topology {\bf 8} (1969), 27--30.

Guillou and Marin の論文

トポロジーの範疇のテーマです．

あまり正確な説明ではないかも知れませんが（後で修正します），

Brown invariant は，Rokhlin形式（有限２次形式）に対する不変量で，

Hilbert 16 問題の研究では，複素共役による商空間を考える手法の中で，よく使われます．

これは，もしかしたら，

Nikulin のdiscriminant form (これも有限２次形式)に関わるのかも知れません・・・（？）

参考文献

L. Guillou and A. Marin,
Une extension d'un th\'eor\`eme de Rohlin sur la signature,
C. R. Acad. Sci.
Paris S\'er. A-B \textbf{285} (1977), no. 3, A95--A98.

L. Guillou and A. Marin,
Une extension d'un th\'eor\`me de Rohlin sur la signature,
S\'eminaire sur la g\'eom\'etrie alg\'ebrique r\'eelle
(J.J.Risler ed.), pp. 69--80
Publ. Math. Univ. Paris VII 9. 1980

A. Marin,
Quelques remarques sur les courbes alg\' ebriques planes r\' eelles,
in [Risler80], 51--68.

L. Guillou and A. Marin,
Une extension d'un th\'eor{\`e}me de Rohlin sur la signature.
A la recherche de la topologie perdue, 97--118,
Progr. Math., 62, Birkh\"auser Boston, 1986.

Rokhlin の定理

有名なRokhlinの定理（mod 16の合同式）は，松本幸夫著「４次元トポロジー」でも紹介されているが，

田村一郎,
『微分位相幾何学 I,II,III』,
岩波講座基礎数学, 岩波書店, 1977,1978.

にも，証明付きで紹介されている．

ただ，Hilibert 16 問題でいうところの「Rokhlin の定理」は，

involution の作用のindexに対する mod 16 の合同式で，

Atiyah-Singer G-index theorem から導かれるものです．

Hilbert 16th problem (books)

●Lecture Notes in Math. 959, Springer-Verlag (1982).

●J.-J. Risler,

Seminaire sur la geometrie algebrique reelle,
Publ. mathematiques de l'Universite Paris VII, No.9.

●石川剛郎

実平面代数曲線のトポロジー　-- ヒルベルト第16問題 --

京都大学微分トポロジーセミナーノート 2 (February, 1983)

●Lecture Notes in Math. 1060 (1984)

●Guillou et Marin,
A la recherche de la topologie perdue,

Progr. Math. 62, Birkhauser Boston, 1986.

●O.Ya. Viro (ed.),

Topology and Geometry --Rohlin Seminar,

Lecture Notes in Math 1346, Springer, 1988.

●R. Silhol,
Real Algebraic Surfaces,
Lecture Notes in Math. 1392, Springer, 1989.

●Real Algebraic Geometry,

Proceedings, Rennes 1991,
Lecture Notes in Math. 1524, Springer, 1992.

●O.Ya. Viro (ed.),
Topology of manifolds and varieties,
Adv. Soviet Math., 18, Amer. Math. Soc., Providence, (1994).

●V.M. Kharlamov, A. Korchagin, G. Polotovskii, O. Viro, (eds.)
Topology of Real Algebraic Varieties and Related Topics.
Dedicated to the memory of Dmitrii Andreevich Gudkov,
Amer. Math. Soc. Transl., (2), 173,

Advances in the Mathematical Sciences, 29, Amer. Math. Soc., Providence, (1996).

●J. Bochnak, M. Coste and M.-F. Roy,

Real Algebraic Geometry,

Springer-Verlag (1998).

●石川・齋藤・福井　共著，

「代数曲線と特異点」

第II部　「実代数幾何学と特異点」　--ヒルベルト第16問題とその周辺--

特異点の数理４，共立出版，2001．