数学解説ブログ(つくば市の「数学・算数・物理に強い」プロ家庭教師 長通幸大・発信)

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中学高校の定期試験問題・大学入試問題・Twitterの数学特化系アカウントで出題された問題・閲覧した方からのご質問まで、幅広く取り扱う方針ですので、
日々の学習や数学的発想・思考力の向上にお役立ていただければ幸いな限りです。


テーマ:

次の3元連立方程式の解を求める
ax+y+z=a+1
x+ay-z=a
x+y-az=1

 

解答作成日:2018年6月26日
テーマ:三平方の定理・方程式の整数解・円と接線の性質
履修学年:高校1年(未定係数を含む3元方程式)

中学2年で履修する「2元連立方程式」では、
x,yの2つの文字にかかる数(係数)があらかじめ決まっていて、
解も1組に定まる問題が大半です。

しかし、これが高校で履修する、a,m,nなどの未定係数が関わって来ると、
ちょっと面倒になってしまうのです!

2元連立方程式では、

未知数(x,y)の係数比が一致し定数のみが異なる場合、解は存在せず、

連立の対象となる2式が全く同じ式の場合、解は無数に存在し、

その他の場合、解は1組に定まるのです。


3元連立方程式でも、いずれか2式を連立する際の考え方は同じなのです!!


 

(ⅲ)について、係数比に気を取られると見落としてしまいそうですが、
(ⅳ)を先にやってみて、a=0の例外が発生することに気付けば何のことはありませんね。

連立方程式には

「解が1組に定まる場合」

「一定条件を満たす無数の解が存在する場合」

「解が存在しない場合」の3つのパターンがありますので、

未定係数を伴う連立方程式の場合は先に各場合を分けて検証してみましょう。


テーマ:

3辺の長さが全て整数であるような直角三角形について、以下の問いに答えよ。

(i)いずれかの辺の長さが2018となる直角三角形の、3辺の長さの組合わせを全て求めよ。

(ii)内接円の半径が2018となる直角三角形の、3辺の長さの組合わせを全て求めよ。

 

解答作成日:2018年6月10日
テーマ:三平方の定理・方程式の整数解・円と接線の性質
履修学年:中学2年(円と接線の性質)・中学3年(三平方の定理)・高校1年(方程式の整数解)
 

直角三角形というのも、実に曖昧な…もとい奥が深い図形ですね。

本題では長さが2018という、結構な数値なので、かなり手間がかかってしまいそうです。

 

(ⅰ)で、三平方の定理を使い、斜辺以外の長さが2018の場合と、斜辺の長さが2018の場合に、

分ける必要があることは、数学にある程度慣れていれば想定できると思います。

しかし!!

その後が大変ですね。

 

少しでも手間を省くためにも、三平方の定理をアレンジして、

(斜辺と他1辺の長さの和)×(斜辺と他1辺の長さの差)=(その他1辺の2乗)とできることは、覚えていた方がお得です!

 

いやはや、結構な数値が飛び出てきましたね…。

 

(ⅰ)で先に偶奇の判定を行うのは、

考えられる値の範囲があまりにも莫大すぎるので、可能性がないものを排除するためです。

いわゆる、絞り出しというものですね。

 

(ⅱ)は、考え方自体は(ⅰ)よりは簡単ですが、何しろ計算が面倒です。落ち着いて解きましょう。

左辺を文字式の因数に組み替えて、右辺に余分な整数を配置して、各因数に対応する値の組み合わせを列挙する。

これは高校数学で履修する2元2次方程式でも、特にオーソドックスな解法です!!

 

円と接線の性質につきましては、少し古い記事で恐縮ですが、

フォロワー様からの挑戦状・その1の3ページ目に解説をアップロードしております。

 

「三平方の定理」や「2元2次方程式の整数解の偶奇判定」につきましては、

リクエストがございましたら、追って解説をアップロードいたします。


テーマ:

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