以前の記事の続きです。
中国の算術書に起源をもつ「中国剰余定理」という数のあまりについての定理を取り上げた問題です。
次の文章を読み、あとの問いに答えなさい。（三重中2024）
ある日、教室でAさんがBさんにマジックをひろうしています。
A「Bさん、あなたの年れいを3で割った余りはいくつですか?」
B「2」
A「5で割った余りは?」
B「1」
A「7で割った余りは?」
B「4」
A「う〜ん…、ということは…、Bさんの年れいは▢才だ！」
B「正解！でも同級生なんだから、二択で正解してしまうよ。」
A「そうだね。それじゃあBさんが思いうかべた2けたの数をあてよう。何でもいいから好きな数字を1つ決めてください。」
B「…、よし、決まった！」
A「その数を3で割った余りはいくつですか?」
B「2」
A「5で割った余りは?」
B「3」
A「7で割った余りは?」
B「2」
A「よ〜し、ちょっと待ってて…、あなたが思いうかべた数字は23ですね。」
B「正解！なんで分かったの!?」
AさんがBさんにひろうしたマジックは「数理マジック」と呼ばれるものです。数理マジックは、数学の知識を利用したマジックです。ここで利用した数学の知識は、「ₓ中国剰余定理」というもので、3〜5世紀ごろ成立したと言われている中国の算術書『孫氏算経』にも登場します。
では、どうやってAさんがBさんの数字をあてたか、具体的に見ていきましょう。
3つの余りを答えてもらったら、次のように、3つの数字を求めます。
5と7の最小公倍数は35
→35の倍数のうち3で割った余りが2であるもの…140
3と7の最小公倍数は21
→21の倍数のうち5で割った余りが3であるもの…63
3と5の最小公倍数は［ア］
→［ア］の倍数のうち7で割った余りが2であるもの…［イ］
3つの数字の和は140+63+［イ］＝［ウ］です。ここで、3と5と7の最小公倍数は［エ］なので、［ウ］が2けたの数になるように［エ］を［オ］回引くと、相手が思いうかべた数字の23になります。
⑴ 文章中の［ア］〜［オ］にあてはまる数を答えなさい。
- 『3と5の最小公倍数は［ア・15］→［ア・15］の倍数のうち7で割った余りが2であるもの…［イ・30］』
- 『3つの数字の和は140+63+［イ・30］＝［ウ・233］です。ここで、3と5と7の最小公倍数は［エ・105］なので、［ウ・233］が2けたの数になるように［エ・105］を［オ・2］回引くと、相手が思いうかべた数字の23になります。』
⑵ 文章中の▢にあてはまる数を答えなさい。
問題文より、Bさんの年れいを3で割った余りは2、5で割った余りは1、7で割った余りは4
- たとえば（5と7の最小公倍数）35の倍数のうち3で割った余りが2の数として140、（3と7の最小公倍数）21の倍数のうち5で割った余りが1の数として21、（3と5の最小公倍数）15の倍数のうち7で割った余りが4の数として60を考える
- このとき3つの数の和は140+21+60＝221。ここで221が2けたの数になるように105を2回引くと221－105×2＝11
よって▢＝11
⑶ 下線部Xについて、中国剰余定理によると、「3, 5, 7」以外の数字の組でも、「どの2つの数も1以外の公約数を持たない数字の組」であれば、数理マジックで使うことができます。次のア〜エのうち、数理マジックに使うことができる数の組はどれですか。記号ですべて答えなさい。
ア 2, 3, 4 イ 3, 4, 5 ウ 12, 21, 28 エ 22, 35, 39
順に見ていくと
- ア…2と4は1以外の公約数2を持つので❌
- イ…〇
- ウ…12と21は1以外の公約数3を持つので❌
- エ…〇
よってイとエ
⑷ Bさんは、この数理マジックを利用して担任のC先生の年れいを聞き出そうとしました。しかし、質問をするときに数をまちがってしまったため、次のような情報が得られました。
C先生の年れいを2で割った余りは1である。
C先生の年れいを5で割った余りは2である。
C先生の年れいを7で割った余りは5である。
このとき、C先生が正しく答えていたとすると、C先生の年れいは何才ですか。
C先生の年れいを「2で割った余りは1」、「5で割った余りは2」、「7で割った余りは5」だから
- たとえば5と7の最小公倍数35の倍数のうち2で割った余りが1の数として35、2と7の最小公倍数14の倍数のうち5で割った余りが2の数として42、2と5の最小公倍数10の倍数のうち7で割った余りが5の数として40がある
- このとき3つの数の和は35+42+40＝117。ここで117が2けたの数になるように70を1回引くと117－70＝47
よってC先生は47才 
