以前の記事の続きです。
今年出されたコラッツ予想風の数の操作問題です。
ある数を2倍する操作をA、ある数から1を引く操作をBとします。はじめの数を1として、A、Bの操作を何回か行います。（女子学院2024）⑴ 操作をA→A→B→B→Aの順に行うと、数は▢になります。
Aが「×2」、Bが「－1」だから
(1×2×2－1－1)×2＝4 より ▢＝4
⑵ Aの操作だけを▢回行うと、数は初めて2024より大きくなります。
Aの操作は「×2」だから2、4、8、16、…と2倍ずつしていくと
- Aを10回行うと（つまり「×2」を10回すると）1×2×2×…×2＝1024
- Aを11回行うと（「×2」を11回すると）1×2×2×…×2×2＝2048
よって▢＝11
⑶ できるだけ少ない回数の操作で、数を2024にします。このとき操作の回数は▢回で、はじめてBの操作を行うのは▢回目です。
まず「できるだけ少ない回数の操作」にするにはAの操作「×2」をできるだけ多く使うことだというのはすぐわかる。
- そこでAの逆の操作を考えてゴールの2024から割り切れるところまで「÷2」をしていくと2024→1012→506→253 となる。あとは最短の操作で253を作ることを考えればよい。
- そうなるとスタートの1からAの操作「×2」をしていくと①253に一番近いのは256で、②その次に近いのは128
- そこで逆の操作で253を①256か②128とつなぐ最短の方法を考えると（わり算を先にするふつうの計算とちがい「+1」と「÷2」はいつも左から順に計算していくこととなる）
①253｢+1｣｢÷2｣｢+1｣＝128
②253｢+1｣｢+1｣｢+1｣＝256
- そして①②をくらべると①の方が1回少ない回数で128にたどり着ける
なお、それ以外の操作の方法もある（たとえば③506｢+1｣｢+1｣｢÷2｣｢+1｣｢+1｣＝256など）がどうしても①より長い回数の操作となってしまう
よって
1→2→4→8→16→32→64→128→127
→254→253→506→1012→2024
というのが最短だから操作の回数は13回、このときはじめてBの操作を行うのは（128→127となるところの）8回目 
