以前の記事の続きです。
こちらも今年出された「コラッツ予想」の出題例となります。
その1（駒場東邦2023）
1より大きい整数Nについて以下の操作を考えます。
• Nが偶数のときNを2でわる
• Nが奇数のときNを3倍して1をたす
この操作を1ステップとし、整数が1になるまでこのステップをくり返します。例えば、5は
5→16→8→4→2→1
となるので、5ステップで1になります。
7ステップで1になる整数をすべて答えなさい。
逆から考える。
①2倍する、②1を引いて3で割る
という逆の操作を1からしていくと
- 1、2、4、8は①の操作しかできない
- 16ではじめて①②ができるから枝分かれする
というようにしらべていくと次の図ができる。
よって 3、20、21、128
その2（江戸川女子2023第3回）
整数Aに次の【ルール】をくり返し適用していきます。
【ルール】Aが偶数のときはA÷2, Aが奇数のときは3×A+1
例えば、この【ルール】を12に2回適用すると、12→6→3、11に2回適用すると、11→34→17となります。このとき、8にこの【ルール】を100回適用すると▢になります。
最初の6回を書いてみると
となり、適用する回数が
- （1回、4回など）3で割ると1あまる回数なら4
- （2回、5回など）3で割ると2あまる回数なら2
- （3回、6回など）3で割り切れる回数なら1
と周期3でくり返すのがわかる。
よって100回適用すると
100÷3＝33あまり1 だから 4
その3（立命館宇治2023）
2以上の整数について、次の「計算ルール」が定められているとします。この「計算ルール」にしたがって計算し、答えが1にならなければ、その答えの整数に対して、再びこの「計算ルール」にしたがって計算します。答えが1になれば計算をやめます。
「計算ルール」
• その整数が4で割り切れるときは、その整数を4で割ったときの商を答えとする。
• その整数を4で割ったときの余りが2になるときは、その整数に2を加えたものを答えとする。
• その整数を4で割ったときの余りが1または3になるときは、その整数に1を加えたものを答えとする。
たとえば、整数5をこの「計算ルール」にしたがって計算すると、その答えは、
5→6→8→2→4→1
のように、5回の計算で1になります。このような計算をするとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 整数23は、何回の計算で答えが1になりますか。計算の回数を求めなさい。
順にルールどおりやっていくと次のようになるから 6回
⑵ 3回の計算で答えが1になる整数をすべて求めなさい。
逆の操作を1からしていく。
いまのルールをまとめると
なので、その逆となると
- 原則として ①「×4」した数、②「－2」した数、③「－1」した数の3つを考える
- ただしすでに出てきた数（や1以下）になるときはその逆操作はしない
ということをしていくと次のようになる。
よって 8，12，14，15，64
⑶ 4回の計算で答えが1になる整数はいくつあるか求めなさい。
小問⑵の続きを同じようにしらべる。
- 原則として ①「×4」した数、②「－2」した数、③「－1」した数の3つを考える
- ただしすでに出てきた数になるときはその逆操作はしない
そうすると次の図になる。
よって6，7，10，11，13，32，48，56，60，62，63，256の12個 
