以前の記事の続きです。
今年の中学入試で出された旅人算の問題の第8回です。
その1（女子学院2024）
はじめさんがA駅から家まで帰る方法は2通りあります。
方法1：A駅から20km先にあるB駅まで電車で行き、B駅から家までは自転車で行く
方法2：A駅から18km先にあるC駅までバスで行き、C駅から家までは歩いて行く
電車は時速75km、バスは時速40kmで進み、はじめさんが自転車で進む速さは、歩く速さよりも毎分116m速いです。方法1と方法2のかかる時間はどちらも同じで、はじめさんが電車に乗る時間と自転車に乗る時間も同じです。また、B駅から家までと、C駅から家までの道のりは合わせて3263mです。
C駅から家までの道のりは何mですか。
図を書いて考えると
- 方法1…「電車は時速75km」だから「A駅から20km先にあるB駅まで」電車に乗る時間▢分とすると 75km：60分＝20km：▢分より ▢＝16分。「電車に乗る時間と自転車に乗る時間」は同じだから自転車に乗る時間も16分
- 方法2…「バスは時速40km」だから「A駅から18km先にあるC駅まで」バスに乗る時間△分とすると 40km：60分＝18km：△分より △＝27分。「方法1と方法2のかかる時間はどちらも同じ」だから歩く時間は 16+16－27＝5分
- 「自転車で進む速さは、歩く速さよりも毎分116m速い」からはじめさんの歩く速さを分速①ｍとすると自転車の速さは分速(①+116)ｍ
- したがって「B駅から家までと、 C駅から家までの道のりは合わせて3263m」だから ①×5+(①+116)×16＝3263 より ㉑＝1407 だから①＝67
よってC駅から家まではじめさんが歩いて5分の道のりだから
①×5＝335ｍ
その2（夙川2024）
夙子さんは自転車で分速200mの速さで、家から2kmはなれた駅へ向かいました。ところが、家を出発してから4分後にタイヤがパンクしたので、すぐに家の方向へ分速80mの速さで自転車をおしながら引き返し、家から▢mはなれた自転車屋で修理してもらいました。修理は20分かかりました。修理後すぐに、自転車屋から自転車で分速240mの速さで駅へ向かいました。その結果、予定より23分おくれて駅に着きました。
夙子さんの家と自転車屋、駅は一直線上にあり、移動は常に最短の道を進むものとします。
わかりやすいように家を8時に出たものとして考えると
- 「夙子さんは自転車で分速200mの速さで、家から2kmはなれた駅へ」向かったから（2×1000÷200＝）10分後の8:10に着く予定だった
- 実際は「予定より23分おくれて駅に」着いたから実際には8:33に駅に着いた
- 「家を出発してから4分後にタイヤがパンクした」からその時刻は8:04でその場所は家から800ｍ（＝200×4）のところ
- ここから「家から2kmはなれた駅」まで残り1200ｍ。これを（自転車修理後に）「分速240mの速さ」で進むと5分（＝1200÷240）かかる。つまり自転車屋を出たのは8:28（駅に着いた8:33の5分前）
- この8:28から8:04（パンクした時刻）までの24分間のうち自転車屋での「修理は20分」だったからパンクした場所から自転車屋までの往復時間は4分（＝24－20）
- このときパンクした場所から自転車屋まで「分速80m」、自転車屋からパンクした場所にもどるまで「分速240m」だった。同じ距離を進むのに速さの比が80：240＝1：3なのでその逆比でかかった時間の比は3：1。つまりパンクした場所から自転車屋まで引き返すのに3分（＝4分×¾）かかったとわかるから、引き返した距離は240ｍ（＝80×3）
よって家から自転車までの距離▢ｍは
800－240＝560ｍ 
