以前の記事の続きです。
今年出された場合の数の問題です。
その1（市川中2024）
次の図のような、1列目と2列目は2人がけ、3列目は3人がけの7人乗りの車に、大人3人、子ども4人が乗るときの座り方を考えます。運転席には大人が座り、各列とも子どもが座る隣（となり）に最低1人の大人が座るとき、座り方は何通りあるか答えなさい。
まず条件に合う大人と子どもの配置のしかたは次の2通りだけ（青が大人の席）
次に誰が座るかをたとえば上図左の場合について考えると
- 大人の決め方…3×2×1＝6通り
- 子どもの決め方…4×3×2×1＝24通り
だから 6×24＝144通り
よって（上図右の場合も同じ通り数があるので）144×2＝288通り
その2（ラ・サール中2024）
右図のように、4つの地点、A、B、C、Dが、道でつながっています。Aを出発地点として同じ道を通らないように8つの道すべてを通る道順のうち、地点間の移動が次のようになる道順は何通りありますか。
⑴ A→B→Aではじまる道順
- A→Bが2通り、B→Aは残った道に自動的に決まるから2通り
- 残りのA→D→C→B→C→D→Aの道順…A→Dが2通り、D→Cが2通り、C→Bが2通り、そのあとB→C→D→Aは残った道に自動的に決まるから 2×2×2＝8通り
よって 2×8＝16通り
⑵ A→B→C→D→Aではじまる道順
- A→B、B→C、C→D、D→Aでそれぞれ2通りずつあるから 2×2×2×2＝16通り
- 残りのAからAまでの道順…まだ通っていない道がAB間、BC間、CD間、DA間にそれぞれ1本ずつあり、これを右まわりで行くか左まわりで行くかで2通り
よって16×2＝32通り
⑶ Aを出発地点とするすべての道順
A→Bという左回りの行き方だけ考える（A→Dという右回りの行き方も同じ通り数あるので最後に2倍する）。
このとき、小問⑴⑵をヒントに考えると、すべての道順は
❶A→B→Aではじまる道順
❷A→B→C→D→Aではじまる道順
❸A→B→C→D→Cではじまる道順
❹A→B→C→B→Aではじまる道順
の4つに場合分けできることがわかる。
そして❶は16通り（小問⑴）、❷は32通り（小問⑵）とわかったから、残る❸❹の場合についてしらべると
❸A→B→C→D→Cではじまる道順
- A→Bが2通り、B→Cが2通り、C→Dが2通り、D→Cは自動的に決まるから 2×2×2＝8通り
- 残りのC→B→A→D→Aの道順…C→B、B→Aは自動的に決まる。A→Dは2通り、D→Aは自動的に決まるから2通り
❹A→B→C→B→Aではじまる道順
- A→Bが2通り、B→Cが2通り、そのあとC→B、B→Aは自動的に決まるから 2×2＝4通り
- 残りのA→D→C→D→Aの道順…A→Dが2通り、D→Cが2通り、そのあとは自動的に決まるから 2×2＝4通り
したがって 4×4＝16通り
よって左回りだけで❶+❷+❸+❹＝16+32+16+16＝80通り あるから（右回りの80通りと合わせて）ぜんぶで160通り
その3（渋谷教育学園幕張2024）
1から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、全部で9枚あり、2つの空の袋A、Bがあります。次の各問いに答えなさい。
⑴ はじめに、9枚のカードから1枚のカードを選び、袋Aに入れます。次に、残ったカードから3枚のカードを選び、袋Bに入れます。袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき、どのカードを取り出しても、取り出した2枚のカードに書かれている数の積が10の倍数となるような、袋A、Bに入れるカードの入れ方は、何通り考えられますか。
「積が10の倍数」となるには素因数分解したときに5×2が入っていることが必要。そして「1から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ」あるときにそうなる積は 5×2、5×4、5×6、5×8 の4通り。
よってAは5が入る1通り、Bは2、4、6、8の4枚のうち3枚を入れる入れ方（入れない1枚を決める決め方と同じ）で4通りだから
1×4＝4通り
⑵ はじめに、9枚のカードから1枚以上4枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Aに入れます。次に、残ったカードから1枚以上4枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Bに入れます。袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき、どのカードを取り出しても、取り出した2枚のカードに書かれている数の積が10の倍数となるような、袋A、Bに入れるカードの入れ方は、何通り考えられますか。
「取り出した2枚のカードに書かれている数の積が10の倍数となる」ためには「袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき」のどちらか1枚は必ず5であることが必要。
そこでAに5が1枚入っているときの入れ方を考える（Bに5が1枚入っているときの入れ方も同じ通り数があるから最後に2倍する）
このときBに2、4、6、8のうちどれか1枚～4枚が入っていればA×Bは必ず10の倍数となる。
そこでBに入っている枚数で場合分けしてしらべると
- 1枚だけ入っている…4通り
- 2枚入っている…4×3÷2＝6通り
- 3枚入っている…4通り
- 4枚とも入っている…1通り
⑶ はじめに、9枚のカードから1枚以上3枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Aに入れます。次に、残ったカードから1枚以上3枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Bに入れます。袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき、どのカードを取り出しても、袋Aから取り出したカードに書かれている数が、袋Bから取り出したカードに書かれている数より6以上大きくなるような、袋A、Bに入れるカードの入れ方は、何通り考えられますか。
Aにカードを何枚入れるかで場合分けをすると
❶まずAに1枚だけ入れる場合を考えると次の11通り
- Aに9を入れるとき…（どのカードを取り出しても9よりも6以上小さくなるようにするには）Bに入るのは3、2、1のうちどれか1枚～3枚。そして1枚の選び方が3通り、2枚の選び方が3通り、3枚の選び方が1通りだから 3+3+1＝7通り…①
- Aに8を入れるとき…Bは2か1かその両方で3通り…②
- Aに7を入れるとき…Bは1だけで1通り…③
❷つぎにAに2枚入れる場合は次の5通り
- Aに9と8を入れるとき…Aに8があるので②と同じく3通り
- Aに9と7を入れるとき…Aに7があるので③と同じく1通り
- Aに8と7を入れるとき…Aに7があるので③と同じく1通り
❸最後にAに3枚入れる場合は次の1通りだけ
- Aに9と8と7を入れるとき…Aに7があるので③と同じく1通り
