場合の数2024② | 受験算数はきょうもおもしろい
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受験算数はきょうもおもしろい

場合の数2024②

以前の記事の続きです。

 

今年出された場合の数の問題の第2弾です。

 

  その1（洛南高等学校附属2024）

 

図形を形の異なるいくつかの部分に分け、赤、青、緑の3色でぬり分けます。となり合う部分は異なる色でぬるものとし、3色すべてを使わなくてもよいものとします。
次の図において、色のぬり分け方はそれぞれ何通りありますか。
⑴ 四角形を①から④の部分に分ける

 

右矢印 まずは少し条件を変えて「となり合う部分は異なる色でぬる」が①と④が同じ色でもよいものとして考えると色のぬり方は

  • ①の選び方が3通り
  • ②の選び方が①以外の色で2通り
  • ③の選び方が②以外の色で2通り
  • ④の選び方が③以外の色で2通り

だから 3×2×2×2＝24通り

 

ここから①と④が同じ色のぬり方を引けばよい。これは

 「①と④」、②、③

の3か所を3色でぬるぬり方だから 3×2×1＝6通り

 

よって 24－6＝18通り

 

⑵ 六角形を①から⑥の部分に分ける

 

右矢印 六角形を考える前に、いったん①から⑤の部分がある五角形の色のぬり分けを考えてみる。

  1. まず「となり合う部分は異なる色でぬる」が①と⑤が同じ色でもよいとして考えると 3×2×2×2×2＝48通り
  2. ここから①と⑤が同じ色のぬり方を引けばよい。これは「①と⑤」、②、③、④の4か所を3色でぬるぬり方だから18通り（小問⑴より）
  3. したがって  48－18＝30通り

これをもとにこんどは①から⑥の部分がある六角形について考える。

  1. 「となり合う部分は異なる色でぬる」が①と⑥が同じ色でもよいとすると色のぬり方は 3×2×2×2×2×2＝96通り
  2. ここから①と⑥が同じ色のぬり方を引く。これは「①と⑥」、②、③、④、⑤の5か所を3色でぬるぬり方だから30通り（上で求めた）
よって  96－30＝66通り 
 

⑶ 十角形を①から⑩の部分に分ける

 

 

右矢印 ここまでで見つかった規則性を利用すると

  • 七角形…3×2×2×2×2×2×2－六角形の通り数＝192－66＝126通り
  • 八角形…3×2×2×2×2×2×2×2－七角形の通り数＝384－126＝258通り
  • 九角形…3×2×2×2×2×2×2×2×2－八角形の通り数＝768－258＝510通り
  • 十角形…3×2×2×2×2×2×2×2×2×2－九角形の通り数＝1536－510＝1026通り

よって 1026通り 

 

 

  その2（甲陽学院2024第2日）

 

1、2、3、4、5、6、7を用いて5けたの数をつくります。ただし、同じ数字を何回用いてもかまいません。
⑴ 15127のようにとなり合ったどの2つの位の数字の和も3の倍数となる数を考えます。
(ア) このような数のうち、ー万の位が1であるものは何通りありますか。

 

右矢印「一万の位が1」のとき、千の位は2か5、百の位は1か4か7、十の位は2か5、一の位は1か4か7という組み合わせのとき条件に合う。

よって 1×2×3×2×3＝36通り

 

(イ) このような数は全部で何通りありますか。

 

右矢印 (ア)でわかるのはこの問題では1,4,7は同じものとみることができるということ。また2,5も同じもの、3,6も同じものとみることができる。

そこでこのあとは【1,4,7】【2,5】【3,6】の3つのグループに分けて考える（それぞれのグループを代表する数として1、2、3についてだけしらべていく）

 

一万の位の数で場合分けをしてしらべると

❶一万の位が1、4、7の場合

千の位以下は(ア)と同じ組み合わせとなる。

したがって 3×2×3×2×3＝108通り

❷一万の位が2、5の場合

次の組み合わせのとき条件に合う。

したがって 2×3×2×3×2＝72通り

❸一万の位が3、6の場合

次の組み合わせのとき条件に合う。

したがって 2×2×2×2×2＝32通り

 

よって❶+❷+❸より

 108+72+32＝212通り

 

⑵ 12345のように、となり合ったどの3つの位の数字の和も3の倍数となる数は何通りありますか。

 

右矢印 こんどは百の位の数で場合分けをしてしらべると

❶百の位が1,4,7の場合

  • 千の位が1のとき最小の数は11111。となるとすべての組み合わせは次のように決まる。このとき 3×3×3×3×3＝243通り

  • つぎに千の位が2のとき最小は32132。となるとすべての組み合わせは次の左図のように決まる。また千の位が3のとき最小は23123ですべての組み合わせは次の右図のとおり（この2つの表は左右がちょうど入れかわった形となっている）。この2パターンの合計で (2×2×3×2×2)×2＝96通り

 

したがって❶百の位が1,4,7の数はぜんぶで339通り（＝243+96）

 

❷百の位が2,5の場合

  • 千の位が1のとき最小の数は31231。となるとすべての組み合わせは次の左図のとおり。また千の位が3のとき最小は13213と左右ちょうど入れかわった形となる（次の右図）。この2パターンの合計で (2×3×2×2×3)×2＝144通り

  • つぎに千の位が2のとき最小は22222。となるとすべての組み合わせは次のとおりで 2×2×2×2×2＝32通り

 

したがって❷百の位が2,5の数はぜんぶで176通り（＝144+32）

 

❸百の位が3,6の場合

  • 千の位が1のとき最小の数は21321。となるとすべての組み合わせは次の左図のとおり。また千の位が2のとき最小は12312と左右ちょうど入れかわった形となる（次の右図）。この2パターンの合計で (2×3×2×2×3)×2＝144通り

  • つぎに千の位が3のとき最小は33333。となるとすべての組み合わせは次のとおりで 2×2×2×2×2＝32通り

 

したがって❸百の位が3,6の数はぜんぶで176通り（＝144+32）

 

よって❶+❷+❸より

 339+176+176＝691通り 完了