以前の記事の続きです。
中央値、最頻値、ドットプロットなどを取り上げた入試問題の第7弾です。
平均値と中央値（大妻中野2023）
データの特徴を調べるとき、次の値を考えることができます。
•平均値…データの値を合計したものを、データの数で割った値。
•最頻（さいひん）値…データの中で、最も多く出てくる値。
•中央値…データの値を大きさの順に並べたときの中央の値。
ー データの数が奇数のときは、ちょうど真ん中の値が中央値。
ー データの数が偶数のときは、中央にある2つの値の平均値を中央値とする。
⑴ 20人の生徒に5点満点の算数のテストを行ったところ、結果は以下の表のようになりました。
このテストの点数について、平均値と中央値をそれぞれ求めなさい。
平均値は3点、中央値は3.5点
- 平均値…点数の合計60点（＝1×4＋2×2＋3×3＋4×7＋5×3）だから生徒数20人で割ると 60÷20＝3点
- 中央値…生徒数20人だから「データの数が偶数のときは、中央にある2つの値の平均値を中央値とする」ことより10番目と11番目の点数の平均値が中央値となる。人数を左から足していくと1＋4＋2＋3＝10だから10番目は3点、11番目は4点。平均すると3.5点
⑵ 20人の生徒に5点満点の国語のテストを行ったところ、結果は以下の表のようになりました。
このあと、太郎君と花子さんが同じテストを受けました。この2人の生徒の結果を加えたところ、平均値は20人のときと変わらず、最頻値が4点となりました。
花子さんの方が太郎君より点数が高いとき、太郎君のテストの点数は何点ですか。
「平均値は20人のときと変わらず、最頻値が4点」だったときの平均値、最頻値をそれぞれ調べると
- 平均値…いまの点数の合計50点（＝1×3＋2×2＋3×4＋4×4＋5×3）だから生徒数20人で割ると平均2.5点。ここに太郎くんと花子さんの点数を入れても平均値はそのままだったということは2人の平均値も同じ2.5点で2人の点数は合計5点
- 最頻値…いま「データの中で、最も多く出てくる値」は0点と3点と4点（どれも4人いる）。このうち4点だけが最頻値となるには少なくとも1人は4点だった
よって2人の点数は4点と1点だったとわかり「花子さんの方が太郎君より点数が高い」から太郎君のテストの点数は 1点
⑶ 7人の生徒に100点満点の英語のテストを行ったところ、7人の得点は以下のようになりました。(単位は点)
50, 73, 90, 34, 62, 81, 45
このあと、中野さんが同じテストを受けました。中野さんを加えた8人の生徒の結果を確認したところ、7人のときと比べて中央値が2点下がりました。中野さんのテストの点数は何点ですか。
7人のデータを小さい順に並べかえると
34, 45, 50, 62, 73, 81, 90
このとき中央値は「データの数が奇数のときは、ちょうど真ん中の値が中央値」だから62点。
ここに中野さんの点数▢点を加えると「中央値が2点下がり」60点となった。「データの数が偶数のときは、中央にある2つの値の平均値を中央値とする」から「62点」は必ず「中央にある2つの値」のうちの1つになる。
よって (62＋▢)÷2＝60 より
▢＝120－62＝58点
最頻値と中央値（日向学院2023）
右の表は、あるクラスの20人の10点満点の計算テストの結果です。得点の最頻値(さいひんち)と中央値を求めなさい。
最低点が5点、最高点が10点であることがまずわかる。そこで点数が小さい順にデータの数を数えていくと
- 5点…1
- 6点…4
- 7点…5
- 8点…6
- 9点…3
- 10点…1
よって
- 最頻値は8点
- 中央値は7.5点…20人のデータなのでデータの数が偶数のときは中央にある2つの値の平均値を中央値とする。そこで10番目と11番目のデータをさがすと10番目が7点（1＋4＋5＝10より）、11番目が8点だから平均すると7.5点
ドットプロット（武蔵野中2023）
下の図は、あるクラスの生徒20人が、ある1ヶ月間に図書館で借りた本の冊数について、ドットプロットにまとめたものです。このドットプロットから読み取れるものとして正しいものをあとのア〜エの中から1つ選び、その記号を答えなさい。
ア 借りた冊数の最頻値は10冊である。
イ 借りた冊数の中央値は5冊である。
ウ 借りた冊数の平均値は3.75冊である。
工 借りた冊数が6冊以上の生徒の割合は40%である。
最頻値は3冊なのでアは明らかにまちがい。それ以外について調べると
- 0冊…2人
- 1冊…1人
- 2冊…4人
- 3冊…5人
- 4冊…1人
- 5冊…3人
- 6冊…1人
- 8冊…2人
- 10冊…1人
❶中央値（イ）…生徒20人のデータなので10番目と11番目のデータの平均値となる。10番目も11番目も3冊（2＋1＋4＋5＝12より）だから中央値は3冊。よってイはまちがい
❷平均値（ウ）…冊数の合計は75冊（＝1×1＋2×4＋3×5＋4×1＋5×3＋6×1＋8×2＋10×1）だから生徒数20人で割ると平均値は3.75冊でウは正しい
❸借りた冊数が6冊以上の生徒の割合（エ）…借りた冊数が6冊以上の生徒は1＋2＋1＝4人。これを生徒数20人で割ると 4÷20＝0.2 より全体の20％となりエはまちがい
よって正しいものは ウ 
