以前の記事の続きです。
図形を折り返したとき角度や面積がどうなるかという「図形の折り返し」の問題を今回取り上げます。
角度①（共立女子2023）
下の図は、長方形を折り返した図形です。角𝓧の大きさは何度ですか。
下図の青の直角三角形に注目すると
- アは 180－112＝68°
- イは 180－90－ア＝22°
- ウは 90－イ＝68°
よって折り返した角は等しいから ウ＝イ＋𝓧 より
𝓧＝ウ－イ＝68－22＝46°
面積①（日出学園2023）
長方形ABCDを図のように折り曲げるとEFの長さが17cmになりました。このとき、三角形AFEの面積を求めなさい。
「長さが17cm」のEFを底辺とみると辺ABを折り返した辺A(B)が高さとなるので
17×15÷2＝127.5㎡
角度②（奈良学園2023）
図1の長方形を点線に沿って折ったところ、図2のようになり、角アと角イの角度の比は5：8となりました。このとき、角アの角度は▢度です。
「角アと角イの角度の比は5：8」より角ア、イの角度をそれぞれ⑤、⑧とおく。このとき下図の青の四角形に注目すると角ウ、エ、オについて
- 角ウはアを折り返した角なので⑤
- 角エはウの錯角なので⑤
- 角オはイの対頂角なので⑧
ここで青の四角形の内角の和360°を使うと
⑤＋エ＋オ＋90°＝360° より ⑱＝270° だから ①＝15°
よって角アは 15×5＝75°
面積②（鎌倉学園2023）
1辺の長さが32cmの正方形ABCDを、頂点Aが辺DC上の点Eに重なるように折り曲げました。辺BCと辺EFの交わった点をGとします。また、DEの長さは8cmです。
次の問いに答えなさい。
⑴ APの長さを求めなさい。
AEとPQの交わる点をRとし、Rを通るADに垂直な直線とADが交わる点をSとする。
このとき
- 折り返したところだからAR＝RE
- とすると△ADEと△ASRは相似比2：1の相似な直角三角形だから（AD＝32㎝、DE＝8㎝より）AS＝16㎝、SR＝4㎝
- また△RSPと△ASRも（3つの角が等しいので）相似だから AS：SR=RS：SP。ここからSP＝SR×SR÷AS＝4×4÷16＝1㎝とわかる
よって AP＝AS＋SP＝17㎝
⑵ CGの長さを求めなさい。
ここまでにわかった情報を書き足すと
ここで△EDPは8：15：17の直角三角形になっている。この△EDPと△GCEは相似なので（●＋×＝90°より）
CG＝CE÷15×8＝24×⁸⁄₁₅＝12.8㎝
⑶ 四角形PQGEの面積を求めなさい。
△GFQ（下図の青）もまた△GCEや△EDPと相似な直角三角形だからここでも辺の比8：15：17を使うとすべての長さが次のように決まる。
よって四角形PQGEの面積は
(台形PQFEの面積)－(直角三角形GFQの面積)
で求められるから
(17＋9)×32÷2－9×4.8÷2＝416－21.6＝394.4㎠ 
